文／逆水行舟eli
首先声明这是一篇对《基础实验心理学》心理物理学一章的读书笔记，有公式，慎入。另外为方便，数据引用不作标记。
以人耳感觉声音为例，我们的耳朵对声音的感觉是有范围的，感觉到的声音和实际声音也是不一样的，比如对音调的感觉。物体振动发出声音的频率决定人对音调的感觉，实际上存在人耳听不到的高频声音和低频声音，一个健康成年人人耳能感觉到声音的频率范围是20～20000赫兹，这些极端的点就是感觉阈限研究的范围。此外，人感觉到音调高一个单位的量和对应的实际声音频率增长的量也是不一致的，这也是心里物理学研究的范围。
这门研究心理感觉量和物理刺激量的关系的学科，就是费希纳开创的心理物理学，有费希纳定律、史蒂文斯的幂定理、信息检测论的辨别力和反应偏向指标等重要的心理物理学定律。
心理物理学可以归类在我的《心理学研究要掌握的三项基本研究方法》这篇读书笔记中说的小样本实验设计中，不离开实验的三项基本要素的框架。我先用感觉阈限为例展开对心理物理学的理解。
1、感觉阈限
感觉阈限的定义是说刚好感觉到某种物理刺激的临界值。但是根据这个定义，我们是不容易做实验的，原因是人对刺激的感觉是不稳定的，对同一个物理刺激的报告可能是矛盾的。 按照实验的三项基本要素中对实验假设和推论的要求，我们需要对感觉阈限下一个操作定义。
科学家们对感觉阈限下的操作定义是，在实验中有50%的概率感觉到物理刺激的点。比如呈现1个刺激给我们，我们有50%的概率能感觉到，那么这个刺激的值就是我们得到的一个测量值。这样，三项基本要素中的第一项，实验假设和推论就有了。
接下来是设计什么方法来找出这个临界值的位置。对此，心理物理学研究中有最小变化法、数量估计法和平均误差法三种方法。
以最小变化法测量感觉阈限实验为例。我们先摆出10～20个强度水平的刺激，把它们按照大小顺序排列好。如果刺激是递增序列的，就把最小的极端刺激设计成被试感觉不到的刺激强度水平，相反，如果是递减排列，就把最大的极端刺激设计成被试能感觉到的范围内的刺激强度水平。
被试依次感受呈现的刺激后，要向研究者报告自己的感觉结果——“有”或“无”，被试必须给出答案，不能放弃。当实验中被试的报告出现转折时，测量停止。比如说，刺激增序排列的情况下，被试本来一直报告没有感觉，当他第一次报告有感觉的时候，测量停止。反之，刺激降序排列的情况也是相同道理。为了实验的准确性，每个递增和递减序列都要测试50次，也就是至少100次。所以这相当费时费力，加上人与人之间感觉阈限的差别非常小，所以心理物理学可以做小样本设计。
通过最小变化法我们得到很多测量值，按照感觉阈限的操作定义知道，我们需要的感觉阈限的值就是报告转折的那两个刺激点的中点，得到这些数值，然后计算出平均值，就是感觉阈限。
最小变化法存在一些误差，有习惯误差、期望误差、练习误差、疲劳误差，这时候就需要使用到三项基本要素中对实验的控制来排除这些误差。方法有ABBA控制法，这个方法在我的《心理学研究要掌握的三项基本研究方法》中已经提过。
2、费希纳定理
有了感觉阈限，我们还想知道阈限以上的感觉和物理刺激之间存在怎样的对应关系。研究者把心理感觉量和物理刺激量分别对应画在坐标图上，横坐标是物理刺激强度，纵坐标是相应的感觉的心理反应强度，这样得到心理量表。心理量表有顺序量表、等距量表、比例量表几种，费希纳定理就是等距量表通过相应的方法推导出来的。
在费希纳之前，德国生理学家韦伯在研究可觉差和物理刺激之间的精确关系后，发现了韦伯分数，推导出一个公式叫韦伯定律：韦伯分数C＝最小可觉差所增加的刺激量Δ𝜙／当前的刺激𝜙。
费希纳在韦伯定律的基础上，做了两个假设，第一是假设每个最小可觉差在感觉上是相等的，第二是假设较强的感觉等于许多最小可觉差之和。
如果设绝对感觉阈限为a，对应零点，那么1对应a（1+c），2对应a（1+c）^2，n对应a(1+c)^n，推导出心理量值𝚿＝log（1+c）（𝜙／a）。
简化后是：𝚿＝klg𝜙。
把费希纳定律转化成白话就是，心理感觉量的增长慢于物理刺激量的增长，心理感觉量和物理刺激量的对数成正比，也就是说当心理量呈算数级增长时，物理刺激量要呈几何级增长。
费希纳定律提出100年一直在被广泛应用，直到科学家发现了最小可觉差的主观大小其实并不是一个常数，韦伯定律也不是适用所有的刺激感觉水平时，现在科学家证明了没有非常精确的心理物理量的关系图谱，我们得到的只是近似的一个关系图。
3、史蒂文斯幂定理
另一个重要的心理物理学定律，是现代心理物理学的奠基者史蒂文斯的幂定理。史蒂文斯用数量估计法制作比例量表，过程是：先准备一个标准刺激，标定一个主观值，比如10，然后让被试拿这个主观值做标准，对其他呈现给被试用来比较的刺激做一个主观估计，得到估计数字比如8。研究者对被试依次比较标准刺激得到的估计值，计算出它们的几何平均数或中数，然后绘制成图表，横坐标是物理刺激值，纵坐标是感觉到的主观估计值，这就是感觉比例量表。比例量表是最高水平的心理量表，因为它有绝对零点和等距单位。
史蒂文斯发现，通过这个方法得到的数值和费希纳定律不完全相符，于是他进一步研究，提出了幂定理，这成为了现代心理物理学的开端。
心理感觉量s＝b＊I^a
b是由量表单位决定的常数，a是感觉通道和刺激强度决定的幂指数，决定曲线形状，I是物理刺激值。数量估计法的假设是，被试主观给出的数字和刺激引起的感觉量成正比。
4、信号检测论
上述种种测量方法，也还是有缺陷的，并没有对感受性和非感受性因素进行区分。实际上，上述测量得到的感觉量包含了感受性因素，也包含了非感受性因素如动机、反应偏好等，于是，信号检测论出现了。
信号检测论能对被试的主观因素进行分离，进一步推动了阈限概念和测量方法的发展，改变了传统心理物理学对阈限的理解。它把辨别力和反应偏向分开，也就把感受性和非感受性分开，提出了辨别力d'指标和反应偏向的似然比𝛽和报告标准C，提升了心理物理法的应用价值。
4.1、有哪些非感性因素？
先定概率和决策后果。
4.1.1先定概率
传统心理物理学在进行测量实验时，物理刺激是百分百呈现的，所以P（s）＝1。
但是如果没有刺激呈现的时候，被试会如何反应呢？
针对这个问题，格希徳将对反应的测量从两个变成四个，增加了漏报和虚报两个指标，因此报告“有”的概率P（y）＝P（H击中）＋P（FA虚报）。P（y）和P（s）之间不是没有影响的，格希徳的研究的结论是，当刺激出现概率很大时，被试倾向于回答“有”，当概率很小时，被试倾向于回答“无”。
4.1.2决策后果
如果判断对刺激的感觉“有”或“无”，和作出这种判断的利害得失相联系，是否会造成报告受到影响呢？
当被试报告击中或正确拒斥时得到了奖励，那么被试就会更倾向于报告击中或者正确拒斥。比如雷达探测员因为漏报导弹袭击的代价太大了，所以更倾向于做出“有”的反应和判断。
4.2、信号和噪声
信号检测论的两个概念是信号和噪声。信号相当于刺激，噪声则是指对信号起干扰作用的因素。假设噪声存在于背景，是始终存在的，那么传统阈限感觉实验是在信号和噪声背景分不清楚的条件下实验的，被试实际上要判断接收的是两种情况，一种是只有噪声背景的，一种是在噪声背景上叠加信号的。于是，得到两个感觉分布，一个是噪声分布fN（x），一个是信号叠加到噪声上的信号分布fSN（x），如图1。
比较后发现，传统心理物理学认为被试的感觉强度无论对噪声和信号都是唯一的，而信号检测论则认为，对于噪声和信号，被试的感觉强度并不是唯一的，而是两个感觉强度的正态分布。
如果噪声分布和信号分布两条曲线重叠，重叠部分的意思是，同样的心理感受既可能是由噪声引起的，也可能是由信号引起的，重叠的程度决定了被试对噪声和信号的辨别力，也就是感受性。
4.3、如何区分感受性和非感受性
信号检测论借助反应偏向和辨别力两个独立指标，区分了感受性和非感受性。两种独立指标都可以通过四种反应的概率计算出来。被试在感觉辨别实验中的反应有四种：击中、虚报、漏报和正确拒斥，如图2。
四种反应概率之间的关系是：P（H击中）＋P（M漏报）＝1，P（FA虚报）＋P（CR正确拒斥）＝1。
4.3.1辨别力d'指标
辨别力d’反映客观感受性，实际上是噪声分布fn（x）和信号叠加噪声分布fsn（x）之间的距离，如图3。
当d’越大时，感觉的敏感性越高。
4.3.2反应偏向
反应偏向有两个指标，一个是似然比𝛽，一个是报告标准C。科学家用似然比𝛽或报告标准C对反应偏向进行测量。
决策标准是在先定概率和决策后果因素影响下形成的，决定了被试的反应偏向。被试决策标准越严，被试判断越倾向于报告无，相反，被试决策标准越松，被试判断越倾向于报告有。如果改变先定概率的大小或决策后果，𝛽和C的值会相应改变。
4.3.2.1 似然比𝛽
什么是似然比𝛽？假设一个心理感受量值x，必定落在噪声分布和信号分布的心理感受范围内，如果x很弱，不属于信号分布，那么它一定属于噪声分布，反之，如果x很强，离开了噪声分布，那么就一定属于信号分布。两个分布重叠部分的心理感受量值x既可能对应于信号，也可能对应于噪声，这种到底是属于谁的可能性可以用两个分布中对应的纵线高度（O）来衡量，两个纵线高度的比值就是似然比，记作L（x），L（x）＝O（sn信号叠加噪声）／O（n噪声）。如果某一个比值正好是判断分辨的临界点，那么这个比值就是𝛽。
现在把被试自己选的L（x）和𝛽的大小关系做比较。如果L（x）⦥𝛽，说明被试认为是信号。L（x）＝O（sn信号叠加噪声）／O（n噪声）＝O击中／O虚报，根据P2O转换表，只要知道击中概率P（H）和虚报概率P（FA），就可以得到O击中和O虚报的值，也就可以求出𝛽值。如果𝛽值大于1，说明被试掌握的标准较严，反之较轻。
𝛽和d’之间的变化关系是，当设𝞫＝1时，辨别力d’会出现≈3、≈2、≈1三种情况：
1、输入感觉刺激比较强，敏感性强。当信号叠加噪声出现时，击中率为93%，当噪声单独出现时，虚报率为（1-93%）＝7%，辨别力d’＝Z击中－Z虚报，其中Z击中和Z虚报是通过先计算击中率和虚报率，然后查P2O转换表得到，d'≈1。
2、当感觉辨别能力降低时，击中率是84%，虚报率是16%，d’≈2。
3、当被试相对不敏感，或刺激相对比较弱的时候，击中率下降为70%，虚报率为30%，d’＝0.524-（－0.524）≈1，如图4。
4.3.2.2 报告标准C
报告标准C是横轴上的判定标准位置，是与被试选择的反应标准相对应的物理强度。
公式是：C＝［（高强度刺激I2-低强度刺激I1）/d‘］＊Z1+I1
C越大，和𝛽大于1一样，表示被试的判断标准越严格。
4.4、ROC曲线
接受者操作特性曲线，简称ROC曲线，指在特定刺激条件下由于被试采用不同的判断标准得出的虚报概率和击中概率关系的曲线。
偶然事件对角线是击中率＝虚报率，击中率和虚报率都是50%的情况，辨别力d’是0，说明只是靠猜测。
把ROC曲线和偶然事件对角线进行比较，如图5，切线的斜率表示判断标准。
5、对自己的要求
5.1、熟悉费希纳定律𝚿＝klg𝜙、史蒂文斯幂定理s＝b＊I^a
5.2、熟悉信息检测论中辨别力指标d'和反应偏向指标的概念，报告标准C的公式C＝［（高强度刺激I2-低强度刺激I1）/d‘］＊Z1+I1
文／逆水行舟eli
