机器学习算法与Python实践这个系列主要是参考《机器学习实战》这本书。因为自己想学习Python，然后也想对一些机器学习算法加深下了解，所以就想通过Python来实现几个比较常用的机器学习算法。恰好遇见这本同样定位的书籍，所以就参考这本书的过程来学习了。

       机器学习中有两类的大问题，一个是分类，一个是聚类。分类是根据一些给定的已知类别标号的样本，训练某种学习机器，使它能够对未知类别的样本进行分类。这属于supervised learning（监督学习）。而聚类指事先并不知道任何样本的类别标号，希望通过某种算法来把一组未知类别的样本划分成若干类别，这在机器学习中被称作 unsupervised learning （无监督学习）。在本文中，我们关注其中一个比较简单的聚类算法：k-means算法。

一、k-means算法

       通常，人们根据样本间的某种距离或者相似性来定义聚类，即把相似的（或距离近的）样本聚为同一类，而把不相似的（或距离远的）样本归在其他类。

       我们以一个二维的例子来说明下聚类的目的。如下图左所示，假设我们的n个样本点分布在图中所示的二维空间。从数据点的大致形状可以看出它们大致聚为三个cluster，其中两个紧凑一些，剩下那个松散一些。我们的目的是为这些数据分组，以便能区分出属于不同的簇的数据，如果按照分组给它们标上不同的颜色，就是像下图右边的图那样：

       如果人可以看到像上图那样的数据分布，就可以轻松进行聚类。但我们怎么教会计算机按照我们的思维去做同样的事情呢？这里就介绍个集简单和经典于一身的k-means算法。

       k-means算法是一种很常见的聚类算法，它的基本思想是：通过迭代寻找k个聚类的一种划分方案，使得用这k个聚类的均值来代表相应各类样本时所得的总体误差最小。

       k-means算法的基础是最小误差平方和准则。其代价函数是：

式中，μc(i)表示第i个聚类的均值。我们希望代价函数最小，直观的来说，各类内的样本越相似，其与该类均值间的误差平方越小，对所有类所得到的误差平方求和，即可验证分为k类时，各聚类是否是最优的。

      上式的代价函数无法用解析的方法最小化，只能有迭代的方法。k-means算法是将样本聚类成 k个簇（cluster），其中k是用户给定的，其求解过程非常直观简单，具体算法描述如下：

1、随机选取 k个聚类质心点

2、重复下面过程直到收敛  {

      对于每一个样例 i，计算其应该属于的类：

      对于每一个类 j，重新计算该类的质心：

}

      下图展示了对n个样本点进行K-means聚类的效果，这里k取2。

其伪代码如下：

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创建k个点作为初始的质心点（随机选择）

当任意一个点的簇分配结果发生改变时

       对数据集中的每一个数据点

              对每一个质心

                     计算质心与数据点的距离

              将数据点分配到距离最近的簇

       对每一个簇，计算簇中所有点的均值，并将均值作为质心

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二、Python实现

我使用的Python是2.7.5版本的。附加的库有Numpy和Matplotlib。具体的安装和配置见前面的博文。在代码中已经有了比较详细的注释了。不知道有没有错误的地方，如果有，还望大家指正（每次的运行结果都有可能不同）。里面我写了个可视化结果的函数，但只能在二维的数据上面使用。直接贴代码：

kmeans.py 

from numpy import *  

import time  

import matplotlib.pyplot as plt  

# calculate Euclidean distance  

def euclDistance(vector1, vector2):  

return sqrt(sum(power(vector2 - vector1, 2)))  

# init centroids with random samples  

def initCentroids(dataSet, k):  

    numSamples, dim = dataSet.shape  

    centroids = zeros((k, dim))  

for i in range(k):  

index = int(random.uniform(0, numSamples))  

        centroids[i, :] = dataSet[index, :]  

return centroids  

# k-means cluster  

def kmeans(dataSet, k):  

numSamples = dataSet.shape[0]  

# first column stores which cluster this sample belongs to,  

# second column stores the error between this sample and its centroid  

clusterAssment = mat(zeros((numSamples,2)))  

clusterChanged =True  

## step 1: init centroids  

    centroids = initCentroids(dataSet, k)  

while clusterChanged:  

clusterChanged =False  

## for each sample  

for i in xrange(numSamples):  

minDist  =100000.0  

minIndex =0  

## for each centroid  

## step 2: find the centroid who is closest  

for j in range(k):  

                distance = euclDistance(centroids[j, :], dataSet[i, :])  

if distance < minDist:  

                    minDist  = distance  

                    minIndex = j  

## step 3: update its cluster  

if clusterAssment[i, 0] != minIndex:  

clusterChanged =True  

clusterAssment[i, :] = minIndex, minDist**2  

## step 4: update centroids  

for j in range(k):  

pointsInCluster = dataSet[nonzero(clusterAssment[:,0].A == j)[0]]  

centroids[j, :] = mean(pointsInCluster, axis =0)  

print 'Congratulations, cluster complete!'  

return centroids, clusterAssment  

# show your cluster only available with 2-D data  

def showCluster(dataSet, k, centroids, clusterAssment):  

    numSamples, dim = dataSet.shape  

if dim != 2:  

print "Sorry! I can not draw because the dimension of your data is not 2!"  

return 1  

mark = ['or', 'ob', 'og', 'ok', '^r', '+r', 'sr', 'dr', '

if k > len(mark):  

print "Sorry! Your k is too large! please contact Zouxy"  

return 1  

# draw all samples  

for i in xrange(numSamples):  

markIndex = int(clusterAssment[i,0])  

plt.plot(dataSet[i,0], dataSet[i, 1], mark[markIndex])  

mark = ['Dr', 'Db', 'Dg', 'Dk', '^b', '+b', 'sb', 'db', '

# draw the centroids  

for i in range(k):  

plt.plot(centroids[i,0], centroids[i, 1], mark[i], markersize = 12)  

    plt.show() 

三、测试结果

      测试数据是二维的，共80个样本。有4个类。如下：

testSet.txt

1.658985    4.285136  

-3.453687   3.424321  

4.838138    -1.151539  

-5.379713   -3.362104  

0.972564    2.924086  

-3.567919   1.531611  

0.450614    -3.302219  

-3.487105   -1.724432  

2.668759    1.594842  

-3.156485   3.191137  

3.165506    -3.999838  

-2.786837   -3.099354  

4.208187    2.984927  

-2.123337   2.943366  

0.704199    -0.479481  

-0.392370   -3.963704  

2.831667    1.574018  

-0.790153   3.343144  

2.943496    -3.357075  

-3.195883   -2.283926  

2.336445    2.875106  

-1.786345   2.554248  

2.190101    -1.906020  

-3.403367   -2.778288  

1.778124    3.880832  

-1.688346   2.230267  

2.592976    -2.054368  

-4.007257   -3.207066  

2.257734    3.387564  

-2.679011   0.785119  

0.939512    -4.023563  

-3.674424   -2.261084  

2.046259    2.735279  

-3.189470   1.780269  

4.372646    -0.822248  

-2.579316   -3.497576  

1.889034    5.190400  

-0.798747   2.185588  

2.836520    -2.658556  

-3.837877   -3.253815  

2.096701    3.886007  

-2.709034   2.923887  

3.367037    -3.184789  

-2.121479   -4.232586  

2.329546    3.179764  

-3.284816   3.273099  

3.091414    -3.815232  

-3.762093   -2.432191  

3.542056    2.778832  

-1.736822   4.241041  

2.127073    -2.983680  

-4.323818   -3.938116  

3.792121    5.135768  

-4.786473   3.358547  

2.624081    -3.260715  

-4.009299   -2.978115  

2.493525    1.963710  

-2.513661   2.642162  

1.864375    -3.176309  

-3.171184   -3.572452  

2.894220    2.489128  

-2.562539   2.884438  

3.491078    -3.947487  

-2.565729   -2.012114  

3.332948    3.983102  

-1.616805   3.573188  

2.280615    -2.559444  

-2.651229   -3.103198  

2.321395    3.154987  

-1.685703   2.939697  

3.031012    -3.620252  

-4.599622   -2.185829  

4.196223    1.126677  

-2.133863   3.093686  

4.668892    -2.562705  

-2.793241   -2.149706  

2.884105    3.043438  

-2.967647   2.848696  

4.479332    -1.764772  

-4.905566   -2.911070 

测试代码：

test_kmeans.py

from numpy import *  

import time  

import matplotlib.pyplot as plt  

## step 1: load data  

print "step 1: load data..."  

dataSet = []  

fileIn = open('E:/Python/Machine Learning in Action/testSet.txt')  

for line in fileIn.readlines():  

lineArr = line.strip().split('\t')  

dataSet.append([float(lineArr[0]), float(lineArr[1])])  

## step 2: clustering...  

print "step 2: clustering..."  

dataSet = mat(dataSet)  

k =4  

centroids, clusterAssment = kmeans(dataSet, k)  

## step 3: show the result  

print "step 3: show the result..."  

showCluster(dataSet, k, centroids, clusterAssment)  

运行的前后结果是：

不同的类用不同的颜色来表示，其中的大菱形是对应类的均值质心点。

四、算法分析

       k-means算法比较简单，但也有几个比较大的缺点：

（1）k值的选择是用户指定的，不同的k得到的结果会有挺大的不同，如下图所示，左边是k=3的结果，这个就太稀疏了，蓝色的那个簇其实是可以再划分成两个簇的。而右图是k=5的结果，可以看到红色菱形和蓝色菱形这两个簇应该是可以合并成一个簇的：

（2）对k个初始质心的选择比较敏感，容易陷入局部最小值。例如，我们上面的算法运行的时候，有可能会得到不同的结果，如下面这两种情况。K-means也是收敛了，只是收敛到了局部最小值：

（3）存在局限性，如下面这种非球状的数据分布就搞不定了：

（4）数据库比较大的时候，收敛会比较慢。

       k-means老早就出现在江湖了。所以以上的这些不足也被世人的目光敏锐的捕捉到，并融入世人的智慧进行了某种程度上的改良。例如问题（1）对k的选择可以先用一些算法分析数据的分布，如重心和密度等，然后选择合适的k。而对问题（2），有人提出了另一个成为二分k均值（bisecting k-means）算法，它对初始的k个质心的选择就不太敏感，这个算法我们下一个博文再分析和实现。

五、参考文献

[1] K-means聚类算法

[2] 漫谈 Clustering (1): k-means

原文参考：http://blog.csdn.net/zouxy09/article/details/17589329