内容提要：本节通过广义动量定理Fαt=MV中的力量来分析亚当·斯密的绝对优势和大卫李嘉图·比较优势的例子，给出了n国生产多产产品通用的数学函数，使用MATLAB绘制了各种情况下的三维图形，并且给出了各种情况下的函数解，指出绝对优势和比较优势是特定初始状态下的特解，约束条件为帕累托限制。使用Fαt=MV中的时间来分析杨小凯专业化例子，指出了其比较劣势点不能获得的理论漏洞。
创新要点：
1.给出了绝对优势和比较优势等的通用数学函数，可扩展为多国生产多重产品的情况，将其应用范围大大扩展。
2.指出绝对优势和比较优势的解是在特殊初始状态下获得的，并不是唯一解，指出其解应该满足帕累托限制。
3.使用MATLAB绘制了绝对优势和比较优势的三维模型，使其更直观，更容易理解。
4.使用广义动量定理Fαt=MV中的力量和时间因素分析了绝对优势和比较优势，提供了一种简单的分析方法。
5.指出了在产出总需求量有限制情况下的求解方法，使其适用范围增加。
当有n国生产2种产品时，可以写出如下的带约束的函数，
其中Fi1和Fi2分别为i国生产1单位产品1和产品2所需劳动量，xi为i国用于生产1产品的劳动量。亚当•斯密的绝对优势和李嘉图的比较优势均可以以上述函数数学化，当涉及多种产品的生产时，可以将以上函数进行相应扩展。
亚当•斯密的绝对优势和李嘉图的比较优势是函数在特定初始状态下的一个特解。
亚当•斯密提出绝对优势理论，各国集中力量生产有绝对优势的产品，然后进行贸易可以增加产出。大卫李嘉图提出了比较优势理论，处于比较优势的国家，应集中力量生产优势较大的商品，处于比较劣势的国家，应集中力量生产劣势较小的商品然后进行贸易，也可以增加总产出。比较优势理论是国际贸易的基础理论。
表6-5亚当•斯密的绝对优势案例—为分工前情况
英国生产1单位的衣料需要100单位劳动，生产1单位葡萄酒需要120单位劳动。葡萄牙生产1单位的衣料需要110单位劳动，生产1单位葡萄酒需要80单位劳动。英国生产1单位衣料上所用劳动比葡萄牙少，英国具有绝对优势；葡萄牙生产1单位葡萄酒所用劳动比英国少，葡萄牙具有绝对优势（如表6-5所示）。
表6-6亚当•斯密的绝对优势案例—专业化后情况
两国进行专业化生产，生产具有绝对优势的产品，并且以1.1:1.1进行交换。英国生产2.2单位的衣料，葡萄牙生产2.375单位的葡萄酒，总产量为4.575，比非专业化时的总产量4增加了0.575单位。两国进行交易后，英国获得1.1单位的衣料，比非专业化时多，获得1.1单位葡萄酒，也比非专业化多。葡萄牙获得1.1单位的衣料，比非专业化时多，获得1.275单位葡萄酒，也比非专业化多。社会福利增加。专业化生产具有绝对优势的商品，然后进行交易，社会福利会增加，这是亚当•斯密专业化生产的理论基础（如表6-6所示）。
在MATLAB中输入如下命令，可以得到亚当•斯密的绝对优势例子的最大值（如图6-25所示）。
[x,y]=meshgrid(0:0.5:220,0:0.5:190);
z=(1/100*x+1/120*(220-x)+1/110*y+1/80*(190-y)).*((1/100*x+1/110*y>=2)&(1/120*(220-x)+1/90*(190-y)>=2));
surf(x,y,z),shadingflat
title('亚当斯密的绝对优势')
xlabel('x英做衣料劳动数')
ylabel('y葡做衣料劳动数')
zlabel('z衣料和葡萄酒总产量')
图6-25亚当•斯密的绝对优势
那么如果英国生产1单位葡萄酒需要90单位的劳动，会出现什么结果呢？
表6-7绝对优势的反例—专业化前情况
此时英国生产1单位的衣料所需劳动量比葡萄牙少，英国在生产衣料上具有绝对优势；葡萄牙生产1单位的葡萄酒所需劳动量比英国少，葡萄牙在生产葡萄酒上就有绝对优势（如表6-7所示）。按照亚当•斯密的绝对优势指导原则，英国应该专业化生产衣料，葡萄牙应该专业化生产葡萄酒，然后两国进行交易，可以得到社会福利的增加。但结果并非总是如此，如下表（如表6-8所示）。
表6-8绝对优势的反例—专业化后情况
英国专业生产衣料，衣料的总产量为1.9单位，无论英国和葡萄牙以如何比例进行交换，至少有一国的衣料获得量要少于未专业化分工之前的获得量，不符合帕累托约束，即不满足“在没有使任何人境况变坏的前提下，使得至少一个人变得更好。”
大卫·李嘉图在其代表作《政治经济学及赋税原理》中提出了比较成本贸易理论（后人称为“比较优势贸易理论”）。比较优势理论认为，国际贸易的基础是生产技术的相对差别（而非绝对差别），以及由此产生的相对成本的差别。每个国家都应根据“两利相权取其重，两弊相权取其轻”的原则，集中生产并出口其具有“比较优势”的产品，进口其具有“比较劣势”的产品。比较优势贸易理论在更普遍的基础上解释了贸易产生的基础和贸易利得，大大发展了绝对优势贸易理论。广义动量定理Fαt=MV角度来说，作用点不同，产出的成果不同。从战争引出的核心原则为，集中自己的优势打击敌人的弱点可以获得最大的成果。自己的比较优势也就是对方的比较弱点，所以将力量集中打击在敌人的弱点可以获得最大的成果。比较优势是军事原则的集中优势兵力，而打击点则是敌人的劣势，也就是自己机会成本最小的地方。此战争理论核心与比较优势本质是相同的，区别就是战争是毁灭性的的，是负成果，而比较优势是创造性的，是正成果。
表6-9比较优势—专业化前情况
如上数字可见，无论生产衣料或葡萄酒，葡国都有绝对优势（absolute advantage）：两种产品，产量同样是一，葡国所需的劳工都比英国所需的少。然而，从劳力成本的比例上看，英国一衣料单位的成本是0.833单位葡萄酒（100除以120），而葡国一衣料单位的成本是1.125葡萄酒（90除以80）（如表6-9所示）。这是说，衣料的成本英国比葡国低。英国在衣料生产上有比较优势，如果英国专业化生产衣料，葡萄牙专业生产葡萄酒，然后1:1进行交换，两国所得均比不专业生产多（如表6-10所示）。
表6-10比较优势—专业化后情况
由此可见，“两优择其甚，两劣权其轻”，是比较优势理论的基本原则。
这是李嘉图所提出的比较优势理论，也是国际贸易的基础理论。根据比较优势原理，一国在两种商品生产上较之另一国均处于绝对劣势，但只要处于劣势的国家在两种商品生产上劣势的程度不同，处于优势的国家在两种商品生产上优势的程度不同，则处于劣势的国家在劣势较轻的商品生产方面具有比较优势，处于优势的国家则在优势较大的商品生产方面具有比较优势。两个国家分工专业化生产和出口其具有比较优势的商品，进口其处于比较劣势的商品，则两国都能从贸易中得到利益。这就是比较优势原理。也就是说，两国按比较优势参与国际贸易，通过“两利取重，两害取轻”，两国都可以提升福利水平。
在MATLAB中输入如下命令，可以得到李嘉图比较优势例子的定义域与值域的图形（如图6-26所示）。
[x,y]=meshgrid(0:0.5:220,0:0.5:170);
z=1/100*x+1/120*(220-x)+1/90*y+1/80*(170-y);
surf(x,y,z),shading flat
title('李嘉图比较优势例子的定义域和值域')
xlabel('x英做衣料劳动数')
ylabel('y葡做衣料劳动数')
zlabel('z衣料和葡萄酒总产量')
图6-26李嘉图比较优势例子的定义域和值域
在MATLAB中输入如下命令，可以得到李嘉图例子最大值的图形（如图6-27所示）。
[x,y]=meshgrid(0:0.5:220,0:0.5:170);
z=(1/100*x+1/120*(220-x)+1/90*y+1/80*(170-y)).*((1/100*x+1/90*y>=2)&(1/120*(220-x)+1/80*(170-y)>=2));
surf(x,y,z),shading flat
title('李嘉图比较优势例子')
xlabel('x英做衣料劳动数')
ylabel('y葡做衣料劳动数')
zlabel('z衣料和葡萄酒总产量')
图6-27李嘉图的比较优势
绝对优势和比较优势中的分析的作用点可以是劳动F，可以是金钱，可以是资源，因为金钱和资源也是力量的一种，这一点我们已经论述过了。分析的作用点可以是速度V和时间t，后边章节中杨小凯所举的例子将涉及速度V与时间t。
如果分析的是金钱或时间，分析方法相同，不一一论述（如表6-11所示）。
表6-11基于金钱分析的比较优势
资源禀赋的例子与上述例子相同。
那么比较优势的理论是绝对正确的吗？答案是否定的。
1.比较优势能导致各国的福利增加吗？
本文将通过例子和数学推理来说明专业化生产比较优势的产品未必是达到社会福利最大化。绝对优势的例子可以做类同分析。
改变李嘉图比较优势的经典例子中的一个参数，改变后的例子依旧符合李嘉图的比较优势，然后验证结果是否是使社会福利增加。
将葡萄牙生产每单位葡萄酒所需的劳动量从80单位改变到100单位，其他条件不变，如下图（如表6-12所示）。
表6-12更改条件的比较优势
从劳力成本的比例上看，英国一衣料单位的成本是0.833单位葡萄酒（100除以120），而葡国一衣料单位的成本是0.9葡萄酒（90除以100）。这是说，衣料的成本英国比葡国低。英国在衣料生产上有比较优势，如果英国专业化生产衣料，葡萄牙专业生产葡萄酒，然后1.1:0.9进行交换，两国得到的不比非专业化多，因为葡萄牙专业化后只能生产1.9单位的葡萄酒，而未专业化分工前两个国家的总产量为2，专业化之后葡萄酒的产量变少，不符合帕累托最优，帕累托最优的要求为：在没有使任何人境况变坏的前提下，使得至少一个人变得更好。无论英国和葡萄牙以如何比例分配葡萄酒，至少会有一个国家的葡萄酒占有量比未专业化分工前少（如表6-13所示）。
表6-13比较优势的反例—专业化的结果
所以李嘉图的比较优势理论未必能导致各国福利的增加。
2.比较优势的专业化分工一定能导致国家的总产出最大化吗？答案是否定的。
以上例继续分析，
设英国用在生产衣料上的劳工为x，x取值范围为[0，220]，衣料的产量为x/100；则用在生产葡萄酒上的劳工为220-x，葡萄酒的产量为(220-x)/120。设葡萄牙用在生产衣料上的劳工为y，y取值范围为[0，190]，衣料的产量为x/90；则用在生产葡萄酒上的劳工为190-y，葡萄酒的产量为(190-y)/100。设总产量为z，求z的最大值，z等于
其中前两个约束为定义域约束，表示自变量的取值范围。后两个约束是为了满足帕累托最优而设置的约束，即英国与葡萄牙的衣料产量不少于之前的最小值2个单位，英国与葡萄牙的葡萄酒产量不少于之前最小值2个单位。
通过最优化或者函数优化的方法进行求解，得到产量的最大值为4.08，英国使用208单位的劳工在生产衣料上，产出2.08单位的衣料；使用12单位的劳工在生产葡萄酒上，产出0.1单位的葡萄酒。葡萄牙使用0单位的劳工在生产衣料上，产出0单位的衣料；使用190单位的劳工在生产葡萄酒上，产出1.9单位的葡萄酒。衣料的总产量为2.08单位，葡萄酒的总产量为2单位。英国以1.04单位的衣料交换葡萄牙0.9单位的葡萄酒，两国均获得1.04单位的衣料和1单位的葡萄酒，比没有进行优化之前，每国得到的葡萄酒数量相同为1单位，而衣料为1.04单位，比之前多了0.4单位。两国因为选择了优化而使社会的总产出增加，并且满足帕累托最优的要求，每国的福利均增加（如表6-14所示）。
表6-14比较优势反例—优化方法的结果
在MATLAB中输入如下命令来表述上边的函数，可以得到下边的图形（如图6-28所示）。
[x,y]=meshgrid(0:.5:220,0:0.5:190);
z=(1/100*x+1/120*(220-x)+1/90*y+1/100*(190-y)).*((1/100*x+1/90*y>=2)&(1/120*(220-x)+1/100*(190-y)>=2));
surf(x,y,z),shading flat
title('带帕累托约束的比较优势例子')
xlabel('x英做衣料劳动数')
ylabel('y葡做衣料劳动数')
zlabel('z衣料和葡萄酒总产量')
图6-28带帕累托约束的比较优势例子
图形中显示出最大值为4.08，英国用在生产衣料的劳工为208，葡萄牙用来生产衣料的劳工为0。
当约束要求葡萄酒的总产量不小于2.05时，输入如下命令，得到最大值为4.07，英国用在生产衣料的劳工为202，产生2.02单位衣料，用在生产葡萄酒的劳工为18，产生0.15单位的葡萄酒；葡萄牙用在生产衣料的劳工为0，生产0单位衣料，用在生产葡萄酒的劳工为190，生产1.9单位的葡萄酒。两国共生产2.02单位衣料和2.05单位葡萄酒（如图6-29所示）。
[x,y]=meshgrid(0:0.5:220,0:0.5:190);
z=(1/100*x+1/120*(220-x)+1/90*y+1/100*(190-y)).*((1/100*x+1/90*y>=2)&(1/120*(220-x)+1/100*(190-y)>=2.05));
surf(x,y,z),shading flat
title('比较优势反例--葡萄酒产量≥2.05')
xlabel('x英做衣料劳动数')
ylabel('y葡做衣料劳动数')
zlabel('z衣料和葡萄酒总产量')
图6-29比较优势反例—葡萄酒产量≥2.05
随着约束要求的增加，最终导致不存在同时满足两个不等式的解。比如要求衣料的产量大于等于2，葡萄酒的产量大于等于2.1，会导致无解，图形如下所示（如图6-30所示）。
图6-30葡萄酒约束产量≥2.1，导致无解
图6-31《可以量化的经济学》全书结构
图6-32《可以量化的经济学》封面
