X=1是方程吗？

（100—50)/3=x是方程吗？

3x-3x=1是方程吗？

是：教材给出的定义——含有未知数的等式是方程

不是：这样的讨论，几近文字游戏，对于理解方程思想方法并无裨益，一本正经地专门讨论，毫无必要。

通过此，我们可以看出教材中给出的定义是有问题的。

所有的教科书上都用黑体字写着：“含有未知数的等式叫方程”。然后笔锋一转，就自说自话地改成“含有字母的等式叫方程”了。教科书上用一堆含有字母的代数式，让学生判别：“是不是等式？”、“有没有字母？”来认识方程。闹了半天，没有增加任何对方程概念本质属性的认识，很有点“庸人自扰”的味道。

张奠宙教授认为最明显的漏洞是把“未知数替换成为字母”，成了“含有字母的等式，称为方程”。

首先，将“含有未知数的等式”偷换为“含有字母的等式”在逻辑上是不允许的。其次，“含有字母的等式”种类很多，可以具有不同的意义。这就是说，“含有字母的等式”未必都是方程。方程只是“含有字母的等式”的一种情形。这个所谓的方程定义，在逻辑上“以偏概全”。

方程中的字母是一个特定的数字，叫做根。但是字母可以表示其他的意义。以下是三个例子：

    1.字母泛指任意数。例如，描述加法交换律的式子a + b = b + a , 也是含有字母的等式，但这并不是方程。

     2.字母表示某类数。例如，三角形面积公式d × h，其中d是底边，h是这条底边上的高，这也和方程求未知数没有关系。

     3.字母表示变量。例如，函数也是含有字母的等式：，等等，它们虽然可以看作是某条曲线的方程，但是一旦作为函数进行研究，在意义上是表示两个变量的依赖关系，这与方程求根也是不相同的。

     这就是说，认为“方程是含有字母的一种等式”是可以的，反过来，认为所有“含有字母的等式都是方程”就不对了。“含有字母的等式叫方程”不能当作严格的定义来看待。如果非要拿它当基本出发点来判断是非，硬要人们承认x = 1是方程，恐怕是一种自我折腾，不足为训。

我在这里打一个比方，什么是饭？首先要说的是中国人的主食，满足食欲；其次说“指煮熟了的谷物”。离开了“人”这一因素，只谈“煮熟了的谷类事物”构不成饭的感念。

可见，只描述方程的外貌的定义是不能称为是定义。一个定义，最好是能够帮助人们进行理解的，正如认识一个人，光靠一张照片是不够的，最好有一份简历。好的定义是要能够揭示所定义对象的本质。因此，传统教材中对方程的定义需要修改，且需要突出方程的本质含义。

那方程的定义应该是怎样的呢？方程的本质是什么？

1.方程的由来

通过方程二字的来由说起——方程两个字，西方是没有的，西方有的只是“等式”，英文是equation。方程两个字是来源于我国的《九章算术》中的解线性方程组《九章算术》第八卷，标题是方程（郭书春, 2004）。所讨论的问题是：

“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。问上、中、下禾实一秉各几何？”课件

用今天的语言叙述，这是求解三元一次方程组的问题。中国古代，将方程组的各项系数和“实”之数，用算筹布列成矩阵状（即今之增广矩阵，也是“方”字的由来），然后用消元法变换这些系数（“程”就是计量），最后求得问题的解。

即，方程中的“方”的意思是说，把线性方程组的系数排成一个方阵（由系数与常数构成的方阵）；“程”的意思是按照一定的程式进行运算的过程（程就是程式），合起来可以说是矩阵的初等变换，也就是加减消元法。即方程的本义是列成方阵作程式化求解。所以教材中不该狭隘地理解为“含有未知数的等式”。

2.方程的发展

那么“方程”的涵义又是如何发展的呢？

刘徽（魏晋时代人，生卒不详）是这样界定方程的：“群物总杂，各列有数，总言其实，令每行为率。二物者再程，三物者三程，皆如物数程之。立列为行，故谓之方程。” （郭书春, 2004）

结合《九章算术》方程章的问题，就可以知道，“方程”二字，其核心思想是借助一组等式关系求出未知数，所面对的是一个多元一次方程组。

     同时，中国古代在高次方程求解上贡献很大，世称“天元术”。明末清初，西方的algebra 传入中国。中文音译为“阿尔热巴喇”，也称之为“借根方”术，那时没有把“天元术”和方程联系在一起。直到，1859年，李善兰（1811 ~ 1882）和伟烈亚力（A. Wylie, 1815 ~ 1887）合作翻译英国著名数学家德摩根（又译棣么甘, A. De Morgan, 1806 ~1871）著的《代数学》（Elements of Algebra）。第一次将equation译成方程。原文是：

“Every collection of algebraical symbols is called an expression, and when two expressions are connected by the sign = , the whole is called an equation.”（A. De Morgan, 1837）李善兰和伟烈亚力将这句话译为“并代数之几数名为式，两式之间作等号，谓之方程。”（棣么甘, 1859）

从原文来看，equation 就是“将两个代数式用等号连接起来的式子”，全然还是等式的原始本意，并没有任何“未知数”之类的意思。那么为什么李善兰没有将equation直译为等式，而是意译为“方程”呢？这其实就是对数学概念、西方学术里融入中华文化，这是一个意义深远的中国式再创造。

在李善兰看来，中国的天元术和解线性方程组，都是从一个或一组等式求出那些符号所代表的未知数之值。这样一来，方程就是一种等式关系，但又超出了“等式”原来的含义。

中国的方程一词，是和“求未知数”、“求满足等式的根”这样的含义联系在一起的。因而“方程”一词具有中国算学特色，和西方的“等式”一词并不对等。

事实上，方程作为最重要的一种等式，在中国以及东方的汉字文化圈里得到传播，使后学从中受惠。至于仅仅把方程看作“含有字母的等式”，那是过于简单化，也是辜负了李善兰的一番苦心。

3.方程的定义

那基于此，如何该给方程下定义呢？

数学大师关肇直先生说过：“在一些问题中，有些量是已知的，有些量是未知的，根据问题的内容，可以知道未知量与已知量之间的关系，从而可以由这个关系从已知量计算出未知量，这就是解方程的问题”。虽然，关先生把方程的本质、定义说地非常透彻，但是因为字数的原因，并不适合直接拿到小学教材中用。于是，张奠宙先生就代替性地认为方程的定义应该是：“方程是为了寻求未知数，在未知数和已知数之间建立起来的等式关系”。这样的定义，即把方程的核心价值——寻求未知数提出来了，又明确方程是一种关系，其特征是“等式”，这种关系把未知数和已知数联系起来了，同时，人们借助这层关系可以找到我们需要的未知数。

这样的提法，既保持了中国古代借数量关系求未知数的核心含义，又符合西方数学中突出等式的界定，体现了中华文化与西方数学的一种融合。

 总而言之，中国人对方程二字的理解，应该具有中华文化的底蕴，才能够更加深入地体会其中所蕴含的数学思想方法。如果我们把方程仅仅理解为含有字母的等式，那就有点缺乏民族文化自觉性了。

小结：

方程的概念：方程是为了寻求未知数，在未知数和已知数之间建立起来的等式关系

方程的核心：方程的核心价值——求未知数

小学生为什么不喜欢用方程解题

小明的爸爸今年36岁，比小明年龄的3倍还多6岁，求小明的年龄。

算术方法：

（36—6）÷3=小明的年龄

思维：这是从已知的爸爸的年龄36出发，减去6，再除以3，一步一步接近小明的年龄，最终得到答案10

方程方法：

设小明的年龄为x，则有方程：3x + 6=36，解得x=10

这是从未知数的小明的年龄x出发，建立和已知的爸爸年龄的关系，根据关系解出未知数x，即通过对消方法，将未知数还原出来。

通过这一例子，我们可以很清晰地看到。算术方法和方程方法在解题思维上是相反的。打个比方说：如果将要求的答案比喻为河对岸的一块宝石，

那么算术方法好像摸着石头过河——从我们知道的岸边开始，一步一步摸索着接近对岸的未知目标；

而代数方法好像是将一根带钩的绳子甩过河，拴住对岸的未知数（建立一种关系），然后利用这根绳子（关系）慢慢地拉过来，最终获得这块宝石。（用字母代表数，赋予字母与已知数同等地位参与运算，就可以化逆向思考为顺向思考）

两者的思维不同，但得到的结果相同。

由此看出，方程方法解题思维过程简单、直接，是顺向思维。但是，在我们日常教学中却发现，除非教师、试卷要求用方程外，学生都不愿意用方程方法来解题。其大致原因分为两类：

1.学了方程没有用

A.小学数学中为小学生提供的问题都比较简单，学生们完全可以用自己非常熟悉的算术方法解决出来，那何必还要费脑用方程呢？

学生不愿意用方程，那自然而然就无法体会到方程的优越性。

B.相对于直接列算式解决问题，列方程还要写设和解，算出答案，而且答案后面还不能写单位，与算术方法相比多了不少“清规戒律”，在学生眼里是非常繁琐的。

2.学了方程不够用

简单的题，不用方程，用算术方法就能很快解决，但是有难度的题呢？即使学生能够很顺利地列出方程，但是解方程是会涉及到“移项、负数的运算”，而这些在小学的知识里，是不足以帮助学生解决这些问题的。