重采样常用于音频处理。在用麦克风对音频进行采集的时候，常见的采样率有8k（电话）、44.1k（CD）、48k（视频音轨）、96k/192k（Hi-Res），而某些系统会有默认固定的输出采样率（如Android的默认输出采样率为44.1k），此时就需要对输入音频数据进行重采样。

重采样的源样本序列为x[n]

x[n]=xc(nT)

重采样的目标序列为x′[n]

x′[n]=xc(nT′)

如何通过x[n]得到x′[n]就是本文的讨论内容。

本文假设以采样周期为T对xc(t)进行采样满足奈奎斯特采样定律。

减采样（downsampling）

减小采样率的过程被称为减采样，这一小节讨论的是按整数倍减小采样率。

按照我们一般的思维来说，按整数倍（倍数为M）减少采样率应该是直接对源样本序列每隔M个样本提取一个值

xd[n]=x[nM]=xc(nMT)

这种提取方法被称为采样率压缩器，简称压缩器（compressor）。可以看到所得的新序列是原始连续信号的一部分，并且新序列的采样周期为Td=MT。对于该新序列，我们可以分为两种情况进行讨论：

Td符合奈奎斯特采样定理，即新序列能通过一个低通滤波器还原为原始的连续信号

Td不符合奈奎斯特采样定理，即新序列发生混叠，无法还原为原始的连续信号

如下图假设信号在M=2时恰好满足奈奎斯特采样定理，那么在M=3时则会发生混叠

如果在采用了压缩率为M的压缩器后，离散时间信号处理序列仍然符合奈奎斯特采样定理，我们可以直接进行使用xd[n]=x[Mn]来得到减采样序列。而发生混叠的情况则稍微复杂一点。观察混叠的频谱，可以发现只有低频部分保持了与原始信号频谱的一致性，而相当多的高频由于混叠而失去了原始频谱。

频谱丢失得越多说明信号的失真越大，因此为了减少失真，需要尽可能保留更多的原始信号频谱。我们可以先对元素信号进行低通滤波，然后再对滤波后的信号进行周期为MT的采样即可得到失真更少的序列。按照这种思想，采样周期固定为MT，如果一个被采样信号的采样周期为MT，那么采样后不会混叠的条件就是该信号的截至频率为πMT，因此低通滤波的截至频率为πMT。

很明显，先低通滤波后采样的这种方法能最大限度地减低频谱的丢失，从而降低信号失真。

X~d(jΩ)=Xc(jΩ)HM(jΩ)

其中Xd(jΩ)就是对原始信号进行低通滤波后的信号xd(t)的傅里叶变换，低通滤波器的傅里叶变换为HM(jΩ)。不过我们手中的并不是原始信号xc(t)，而是序列x[n]，为了进入上述流程，我们需要先用x[n]重构出xc(t)，才能进行低通滤波以及后续采集

xd(t)=F−1Xd(jΩ)=F−1{Xc(jΩ)HM(jΩ)}=F−1{X(ejΩT)Hr(jΩ)HM(jΩ)}=F−1{X(ejΩT)THM(jΩ)}⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪Hr(jΩ)HM(jΩ)={T,0,|Ω|<π/Telse={1,0,|Ω|<π/MTelse=F−1{Xs(jΩ)THM(jΩ)}=xs(t)∗[MT⋅hm(t)]/Mfourier convolution theorem={∑n=−∞∞x[n]δ(t−nT)}∗{sin(πt/MT)πt/MT}/M=∑n=−∞∞x[n]sin[π(t−nT)/MT]π(t−nT)/MT/M

然后从xd(t)中以MT为周期采集得到xd[n]

xd[n]=xd(nMT)=∑k=−∞∞x[k]sin[π(t−kT)/MT]π(t−kT)/MT/M∣∣∣∣t=nMT=∑k=−∞∞x[k]sin[π(nMT−kT)/MT]π(nMT−kT)/MT/M=∑k=−∞∞x[k]sin[π(nM−k)/M]π(nM−k)/M/M

如果要从连续时间系统来理解的话，我们可以发现重建的连续信号x~d(t)是由无数个x[k]分别对相应位置的截至频率为π/MT的sinc函数进行加权后叠加，然后对叠加得到的信号的幅度除以M得到的。

如果要从离散时间系统来理解x~d[n]的构造公式的话，可以发现上面公式中的sinc函数有如下规律（下二）

H(ejω)={M,0,|ω|<π/MelseH(ejω)={1,0,|ω|<π/Melse⇔⇔h[n]=sin[πn/M]πn/Mh[n]=sin[πn/M]πn/M/M

可以发现该sinc函数是一个增益为1、截至频率为π/M的低通滤波器，该滤波器后接因子为M的压缩器。那么，前面的公式可以理解为：用该滤波器对x[k]进行滤波后再用因子为M的压缩器即可得到x~d[n]。这一过程又被称为抽取（decimation）。