brensenham 画线算法

1. 推导过程

画线过程中由于屏幕像素点坐标为整数，无法严格的直线化。那么画线过程中，对像素取点就要取离理论上最近的那个像素点，这个过程也叫做光栅化。

这是一张高倍放大的像素图

当直线由( $x_{i},y_{i}$ ) 步进到 $点 D（x ,y) 时，x=x_{i+1}, y = ?$ 时， y 是取 $y_{i},还是y_{i}+1$ 呢？

推导思路：

如图所示，我们可以比较 $d_{1}$ 和 $d_{2}$ 的大小，

当 $d_{1}\geq d_{2}$ 的时候 $y=y_{i}+1$ ,

当 $d_{1} < d_{2}$ 时， $y=y_{i}$

假设已知条件：

$\bullet$ 直线的方程式： y = kx + b , $0\leq k\leq 1$ , $x_{1} <x_{2}$ (x方向步进)

$\bullet$ $x_{i+1} =x_{i}+1$

对于 D(x,y) y = $kx_{i+1}+b$

$d_{1} =y-y_{i}=kx_{i+1}+b-y_{i}$

$d_{2} =y_{i+1} - y = y_{i}+1-kx_{i+1}-b$

可以通过d1 和d2 做差，判断d1 和d2 的大小

$d_{1} -d_{2}=2k(x_{i}+1)+2b-2y_{i}-1$ (其中 k = $\frac{\Delta y }{\Delta x}$ )

由于 $\Delta x >0$ , 两边都乘 $\Delta x$

$\Delta x(d_{1}-d_{2}) = 2\Delta yx_{i}-2\Delta xy_{i}+2\Delta y+2b\Delta x-\Delta x$

令 p = $\Delta x(d_{1}-d_{2})$

p = $2\Delta yx_{i}-2\Delta xy_{i}+2\Delta y+2b\Delta x-\Delta x$

令常数 = c 得到 $p_{i} 的一般式子$

$p_{i} = 2\Delta yx_{i}-2\Delta xy_{i}+c$ ( $c=2\Delta y+2b\Delta x-\Delta x$ )

当 $p_{i} \geq 0 即 d_{1}>d_{2}, y_{i+1}= y_{i}+1$ ,

$当p_{i}<0,即 d_{1}<d_{2},y_{i+1}= y_{i}$

当我们知道任意的 $p_{i}$ 时，需要知道 $p_{i+1}$ 与 $p_{i}$ 的关系，这样就可以通过 $p_{i}$ 推导出 $p_{i+1}$ ,再由 $p_{i+1}$ 推导出 $p_{i+2}, ...$

$p_{i+1}-p_{i}=2\Delta y-2\Delta x(y_{i+1}-y_{i})$

那么可以得出以下的结论：

$p_{i} = 2\Delta yx_{i}-2\Delta xy_{i}+c$ （其中 $c=2\Delta y+2b\Delta x-\Delta x$ ）

$当p_{i} \geq 0 即 d_{1}>d_{2}, y_{i+1}= y_{i}+1,p_{i+1}=p_{i}+2\Delta y-2\Delta x$

$当p_{i}<0,即 d_{1}<d_{2},y_{i+1}= y_{i}, p_{i+1}=p_{i}+2\Delta y$

有了以上的结论后我们需要第一个点 $p_{1}$ , 令 $x_{1} = x_{1}, y_{1} = kx_{1}+b, 那么\Delta xy_{1}=\Delta yx_{1}+b\Delta x$ (1)

当i= 1 时， $p_{1} = 2\Delta yx_{1}-2\Delta xy_{1}+2\Delta y + 2b\Delta x-\Delta x$

带入上面(1) 可以得出

$p_{1} = 2\Delta y - \Delta x$

综上：

总结一下，得出下面3条结论：

1. $p_{1} = 2\Delta y - \Delta x$ （当i= 1）

2. $当p_{i} \geq 0 即 d_{1}>d_{2}, y_{i+1}= y_{i}+1,p_{i+1}=p_{i}+2\Delta y-2\Delta x$

3. $当p_{i}<0,即 d_{1}<d_{2},y_{i+1}= y_{i}, p_{i+1}=p_{i}+2\Delta y$

最后编辑于：2021.08.24 11:35:50

人面猴
序言：七十年代末，一起剥皮案震惊了整个滨河市，随后出现的几起案子，更是在滨河造成了极大的恐慌，老刑警刘岩，带你破解...
沈念sama阅读 202,607评论 5赞 476
死咒
序言：滨河连续发生了三起死亡事件，死亡现场离奇诡异，居然都是意外死亡，警方通过查阅死者的电脑和手机，发现死者居然都...
沈念sama阅读 85,047评论 2赞 379
救了他两次的神仙让他今天三更去死
文/潘晓璐我一进店门，熙熙楼的掌柜王于贵愁眉苦脸地迎上来，“玉大人，你说我怎么就摊上这事。” “怎么了？”我有些...
开封第一讲书人阅读 149,496评论 0赞 335
道士缉凶录：失踪的卖姜人
文/不坏的土叔我叫张陵，是天一观的道长。经常有香客问我，道长，这世上最难降的妖魔是什么？我笑而不...
开封第一讲书人阅读 54,405评论 1赞 273
港岛之恋（遗憾婚礼）
正文为了忘掉前任，我火速办了婚礼，结果婚礼上，老公的妹妹穿的比我还像新娘。我一直安慰自己，他们只是感情好，可当我...
茶点故事阅读 63,400评论 5赞 364
恶毒庶女顶嫁案：这布局不是一般人想出来的
文/花漫我一把揭开白布。她就那样静静地躺着，像睡着了一般。火红的嫁衣衬着肌肤如雪。梳的纹丝不乱的头发上，一...
开封第一讲书人阅读 48,479评论 1赞 281
城市分裂传说
那天，我揣着相机与录音，去河边找鬼。笑死，一个胖子当着我的面吹牛，可吹牛的内容都是我干的。我是一名探鬼主播，决...
沈念sama阅读 37,883评论 3赞 395
双鸳鸯连环套：你想象不到人心有多黑
文/苍兰香墨我猛地睁开眼，长吁一口气：“原来是场噩梦啊……” “哼！你这毒妇竟也来了？” 一声冷哼从身侧响起，我...
开封第一讲书人阅读 36,535评论 0赞 256
万荣杀人案实录
序言：老挝万荣一对情侣失踪，失踪者是张志新（化名）和其女友刘颖，没想到半个月后，有当地人在树林里发现了一具尸体，经...
沈念sama阅读 40,743评论 1赞 295
护林员之死
正文独居荒郊野岭守林人离奇死亡，尸身上长有42处带血的脓包…… 初始之章·张勋以下内容为张勋视角年9月15日...
茶点故事阅读 35,544评论 2赞 319
白月光启示录
正文我和宋清朗相恋三年，在试婚纱的时候发现自己被绿了。大学时的朋友给我发了我未婚夫和他白月光在一起吃饭的照片。...
茶点故事阅读 37,612评论 1赞 329
活死人
序言：一个原本活蹦乱跳的男人离奇死亡，死状恐怖，灵堂内的尸体忽然破棺而出，到底是诈尸还是另有隐情，我是刑警宁泽，带...
沈念sama阅读 33,309评论 4赞 318
日本核电站爆炸内幕
正文年R本政府宣布，位于F岛的核电站，受9级特大地震影响，放射性物质发生泄漏。R本人自食恶果不足惜，却给世界环境...
茶点故事阅读 38,881评论 3赞 306
男人毒药：我在死后第九天来索命
文/蒙蒙一、第九天我趴在偏房一处隐蔽的房顶上张望。院中可真热闹，春花似锦、人声如沸。这庄子的主人今日做“春日...
开封第一讲书人阅读 29,891评论 0赞 19
一桩弑父案，背后竟有这般阴谋
文/苍兰香墨我抬头看了看天上的太阳。三九已至，却和暖如春，着一层夹袄步出监牢的瞬间，已是汗流浃背。一阵脚步声响...
开封第一讲书人阅读 31,136评论 1赞 259
情欲美人皮
我被黑心中介骗来泰国打工，没想到刚下飞机就差点儿被人妖公主榨干…… 1. 我叫王不留，地道东北人。一个月前我还...
沈念sama阅读 42,783评论 2赞 349
代替公主和亲
正文我出身青楼，却偏偏与公主长得像，于是被迫代替她去往敌国和亲。传闻我的和亲对象是个残疾皇子，可洞房花烛夜当晚...
茶点故事阅读 42,316评论 2赞 342

brensenham 画线算法

1. 推导过程

推导思路：

令 p =

那么可以得出以下的结论：

综上：

推荐阅读更多精彩内容

令 p = $\Delta x(d_{1}-d_{2})$