图的最短路径
- 【对于非网图】没有边上的权值，它的最短路径就是两个顶点之间经过的边数目最少的路径。
- 【对于网图】最短路径是指两顶点之间经过的边上权值之和和最少的路径，并且称路径上的第一个顶点是源点，最后一个顶点是终点。
-
非网图可以看做所有边的权值都为
1的网图。 - 求解最短路径的方法有两种：
- 从某个源点到其余各个顶点的最短路径问题：迪杰斯特拉(Dijkstra)算法。
- 图中所有到多有顶点的最短路径问题：弗洛伊德(Floyd)算法
本文所用图
一、迪杰斯特拉(Dijkstra)算法
迪杰斯特拉(Dijkstra)算法核心：按照路径长度递增的次序产生最短路径。
迪杰斯特拉(Dijkstra)算法步骤：（求图中v0到v8的最短路径）并非一下子求出v0到v8的最短路径，而是一步一步求出它们之间顶点的最短路径，过过程中都是基于已经求出的最短路径的基础上，求得更远顶点的最短路径，最终得出源点与终点的最短路径。
迪杰斯特拉(Dijkstra)算法代码实现
核心代码
/**
* Dijkstra算法，求有向网G的v0顶点到其余顶点v的最短路径P[v]及带权长度D[v]
* P[v]的值为前驱顶点下标，D[v]表示v0到v的最短路径长度和
*/
void ShortestPath_Dijkstra(MGraph G, int v0, Patharc * P, ShortPathTable * D){
int v, w, k = 0, min;
int final[MAXVEX]; // final[w] = 1 表示求得顶点v0到vw的最短路径
for (v = 0; v < G.numVertexes; v++) { // 初始化数据
final[v] = 0; // 全部顶点初始化为未知最短路径状态
(*D)[v] = G.arc[v0][v]; // 将与v0点有连线的顶点加上权值
(*P)[v] = 0; // 初始化路径数组P为0
}
(*D)[v0] = 0; // v0到v0路径为0
final[v0] = 1; // v0到v0不需要求路径
for (v = 1; v < G.numVertexes; v++) { // 开始主循环，每次求得v0到某个v顶点的最短路径
min = INFINITY;
for (w = 0; w < G.numVertexes; w++) { // 寻找离v0最近的顶点
if (!final[w] && (*D)[w] < min) {
k = w;
min = (*D)[w]; // w顶点离v0顶点更近
}
}
final[k] = 1; // 将目前找到的最近的顶点置为1
for (w = 0; w < G.numVertexes; w++) { // 修正当前最短路径及距离
if (!final[w] && (min + G.arc[k][w] < (*D)[w])) { // 如果经过v顶点的路径比现在这条路径的长度短的话
// 说明找到了根断的路径
(*D)[w] = min + G.arc[k][w]; // 修改当前路径长度
(*P)[w] = k;
}
}
}
}
完整代码和测试
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#define MAXEDGE 20
#define MAXVEX 10
#define INFINITY 65535
typedef struct {
int vex[MAXVEX];
int arc[MAXVEX][MAXVEX];
int numVertexes, numEdges;
}MGraph;
typedef int Patharc[MAXVEX]; // 用于存储最短路径下标的数组
typedef int ShortPathTable[MAXVEX]; // 用于存储到各点最短路径的权值和
/**
* 创建图
*/
void CreateMGraph(MGraph * G){
int i, j;
G->numVertexes = 9; // 9个顶点
G->numEdges = 16; // 16条边
for (i = 0; i < G->numVertexes; i++) // 初始化图
G->vex[i] = i; //给顶点编号 这里是0 到 8
for (i = 0; i < G->numVertexes; i++) { // 初始化图
for (j = 0; j < G->numVertexes; j++) {
if (i == j)
G->arc[i][j] = 0;
else
G->arc[i][j] = G->arc[j][i] = INFINITY;
}
}
G->arc[0][1] = 1;
G->arc[0][2] = 5;
G->arc[1][2] = 3;
G->arc[1][3] = 7;
G->arc[1][4] = 5;
G->arc[2][4] = 1;
G->arc[2][5] = 7;
G->arc[3][4] = 2;
G->arc[3][6] = 3;
G->arc[4][5] = 3;
G->arc[4][6] = 6;
G->arc[4][7] = 9;
G->arc[5][7] = 5;
G->arc[6][7] = 2;
G->arc[6][8] = 7;
// 利用邻接矩阵的对称性
for (i = 0; i < G->numVertexes; i++)
for (j = 0; j < G->numVertexes; j++)
G->arc[j][i] = G->arc[i][j];
}
/**
* Dijkstra算法，求有向网G的v0顶点到其余顶点v的最短路径P[v]及带权长度D[v]
* P[v]的值为前驱顶点下标，D[v]表示v0到v的最短路径长度和
*/
void ShortestPath_Dijkstra(MGraph G, int v0, Patharc * P, ShortPathTable * D){
int v, w, k = 0, min;
int final[MAXVEX]; // final[w] = 1 表示求得顶点v0到vw的最短路径
for (v = 0; v < G.numVertexes; v++) { // 初始化数据
final[v] = 0; // 全部顶点初始化为未知最短路径状态
(*D)[v] = G.arc[v0][v]; // 将与v0点有连线的顶点加上权值
(*P)[v] = 0; // 初始化路径数组P为0
}
(*D)[v0] = 0; // v0到v0路径为0
final[v0] = 1; // v0到v0不需要求路径
for (v = 1; v < G.numVertexes; v++) { // 开始主循环，每次求得v0到某个v顶点的最短路径
min = INFINITY;
for (w = 0; w < G.numVertexes; w++) { // 寻找离v0最近的顶点
if (!final[w] && (*D)[w] < min) {
k = w;
min = (*D)[w]; // w顶点离v0顶点更近
}
}
final[k] = 1; // 将目前找到的最近的顶点置为1
for (w = 0; w < G.numVertexes; w++) { // 修正当前最短路径及距离
if (!final[w] && (min + G.arc[k][w] < (*D)[w])) { // 如果经过v顶点的路径比现在这条路径的长度短的话
// 说明找到了根断的路径
(*D)[w] = min + G.arc[k][w]; // 修改当前路径长度
(*P)[w] = k;
}
}
}
}
int main(int argc, const char * argv[]) {
int i, j, v0;
MGraph G;
Patharc P;
ShortPathTable D;
v0 = 0; // 求v0到其余各点的最短路径
CreateMGraph(&G);
ShortestPath_Dijkstra(G, v0, &P, &D);
printf("源点到各个顶点的最短路径如下：\n");
for (i = 1; i < G.numVertexes; i++) {
printf("v%d - v%d 最短路径为：%2d 所经过顶点: ",v0, i, D[i]);
j = i;
while (P[j] != 0) {
printf("v%d ", P[j]);
j = P[j];
}
printf("\n");
}
return 0;
}
测试结果
代码解释
-
用邻接矩阵构建图。
- 用
Patharc数组存储最短路径下标,用ShortPathTable数组存储各点最短路径的权值和。 - 最终返回的数组
D和数组P，是可以得到v0到任意一个顶点的最短路径和路径长度的。 - 该算法的时间复杂度为
O(n^2)（因为有一个for循环嵌套）。
二、弗洛伊德(Floyd)算法
弗洛伊德(Floyd)算法是一个经典的动态规划算法。
弗洛伊德(Floyd)算法思路
- 从任意节点
i到任意节点j的最短路径不外乎2种可能:1是直接从i到j，2是从i经过若干个节点k到j。 - 所以，我们假设
Dis(i,j)为节点u到节点v的最短路径的距离，对于每一个节点k，我们检查Dis(i,k) + Dis(k,j) < Dis(i,j)是否成立; - 如果成立，证明从
i到k再到j的路径比i直接到j的路径短，我们便设置Dis(i,j) = Dis(i,k) + Dis(k,j)，这样一来，当我们遍历完所有节点k，Dis(i,j)中记录的便是i到j的最短路径的距离。
弗洛伊德(Floyd)算法描述
- 从任意一条单边路径开始。所有两点之间的距离是边的权，如果两点之间没有边相连，则权为无穷大.
- 对于每一对顶点
u和v，看看是否存在一个顶点w使得从u到w再到v比己知的路径更短。如果是更新它。
弗洛伊德(Floyd)算法代码实现
弗洛伊德(Floyd)算法核心代码
/**
* Floyd算法，求网图G中各个顶点v到其余各个顶点w的最短路径P[v][w] 以及带权长度D[v][w]
*/
void ShortestPaht_Floyd(MGraph G, Patharc *P, ShortPathTable *D){
int v,w,k;
for (v = 0; v < G.numVertexes; v++) { // 初始化D与P
for (w = 0; w < G.numVertexes; w++) {
(*D)[v][w] = G.arc[v][w]; //(*D)[v][w] 值即为对应点之间的权值
(*P)[v][w] = w;
}
}
for (k = 0; k < G.numVertexes; k++) {
for (v = 0; v < G.numVertexes; v++) {
for (w = 0; w < G.numVertexes; w++) {
if ((*D)[v][w] > (*D)[v][k] + (*D)[k][w]) { // 如果经过下标为K顶点路径比原两点间路径更短
(*D)[v][w] = (*D)[v][k] + (*D)[k][w]; // 将当前两点间权值设置为更小的一个
(*P)[v][w] = (*P)[v][k]; // 路径设置为经过下标为k的顶点
}
}
}
}
}
完整代码+测试代码
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#define MAXEDGE 20
#define MAXVEX 10
#define INFINITY 65535
typedef struct {
int vex[MAXVEX];
int arc[MAXVEX][MAXVEX];
int numVertexes, numEdges;
}MGraph;
typedef int Patharc[MAXVEX][MAXVEX];
typedef int ShortPathTable[MAXVEX][MAXVEX];
/**
* 创建图
*/
void CreateMGraph(MGraph * G){
int i, j;
G->numVertexes = 9; // 9个顶点
G->numEdges = 16; // 16条边
for (i = 0; i < G->numVertexes; i++) // 初始化图
G->vex[i] = i; //给顶点编号 这里是0 到 8
for (i = 0; i < G->numVertexes; i++) { // 初始化图
for (j = 0; j < G->numVertexes; j++) {
if (i == j)
G->arc[i][j] = 0;
else
G->arc[i][j] = G->arc[j][i] = INFINITY;
}
}
G->arc[0][1] = 1;
G->arc[0][2] = 5;
G->arc[1][2] = 3;
G->arc[1][3] = 7;
G->arc[1][4] = 5;
G->arc[2][4] = 1;
G->arc[2][5] = 7;
G->arc[3][4] = 2;
G->arc[3][6] = 3;
G->arc[4][5] = 3;
G->arc[4][6] = 6;
G->arc[4][7] = 9;
G->arc[5][7] = 5;
G->arc[6][7] = 2;
G->arc[6][8] = 7;
// 利用邻接矩阵的对称性
for (i = 0; i < G->numVertexes; i++)
for (j = 0; j < G->numVertexes; j++)
G->arc[j][i] = G->arc[i][j];
}
/**
* Floyd算法，求网图G中各个顶点v到其余各个顶点w的最短路径P[v][w] 以及带权长度D[v][w]
*/
void ShortestPaht_Floyd(MGraph G, Patharc *P, ShortPathTable *D){
int v,w,k;
for (v = 0; v < G.numVertexes; v++) { // 初始化D与P
for (w = 0; w < G.numVertexes; w++) {
(*D)[v][w] = G.arc[v][w]; //(*D)[v][w] 值即为对应点之间的权值
(*P)[v][w] = w;
}
}
for (k = 0; k < G.numVertexes; k++) {
for (v = 0; v < G.numVertexes; v++) {
for (w = 0; w < G.numVertexes; w++) {
if ((*D)[v][w] > (*D)[v][k] + (*D)[k][w]) { // 如果经过下标为K顶点路径比原两点间路径更短
(*D)[v][w] = (*D)[v][k] + (*D)[k][w]; // 将当前两点间权值设置为更小的一个
(*P)[v][w] = (*P)[v][k]; // 路径设置为经过下标为k的顶点
}
}
}
}
}
int main(int argc, const char * argv[]) {
int v, w,k;
MGraph G;
Patharc P;
ShortPathTable D;
CreateMGraph(&G);
ShortestPaht_Floyd(G, &P, &D);
printf("各顶点间最短路径如下：\n");
for (v = 0; v < G.numVertexes; v++) {
for (w = v+1; w < G.numVertexes; w++) {
printf("v%d - v%d weight：%d", v,w,D[v][w]);
k = P[v][w]; // 获得第一个路径顶点下标
printf(" path: %d", v); // 打印源点
while (k != w) { // 如果路径顶点下标不是终点
printf(" —> %d",k); // 打印路径顶点
k = P[k][w]; // 获得下一个路径顶点下标
}
printf(" -> %d\n", w);
}
printf("\n");
}
return 0;
}
弗洛伊德(Floyd)算法
代码解释
- 弗洛伊德(Floyd)算法的代码非常简洁，就是一个二重初始化加上一个三重循环权值修正，就完成了所有顶点到所有顶点的最短路径计算。
- 弗洛伊德(Floyd)算法的时间复杂度为
O(n^3)。
