《魔鬼数学》 第一部分 线性

关键词：线性思考，大数定律，大数定律，大数定律（重要的关键词说三遍），百分比的滥用

该部分简介：《魔鬼数学》第一部分，强调了“概率思考”的第一个重要方面，即“世界不是线性变化的”，避免盲目的线性思考。第一章和第三章举例介绍了几个线性思考陷阱，第二章介绍了我们倾向于线性思考的原因，第四章介绍了非常重要的大数定律，少量样品导致的波动性明显大于多样品的波动性，第五章强调了百分比的滥用和关注数学问题的现实意义的价值。

第一章 线性思考举例1

针对“美国是否要学习瑞典模式？”的问题，很多人对美国学习瑞典模式持批评意见，这就是一种典型的线性思考。

我们很多人的推理，都隐含这一种线性思考，这样就容易走极端。

作者以阐述税率和政府税收关系的拉弗曲线为例，强调两个变量的变化很可能并非线性变化，而是呈现n型变化，最优位置可能不在两端而是中间，所以 我们现在到底位于什么位置上呢？这是问题的难点所在。
所谓凡事过犹不及。

第二章 为什么倾向于线性思考

我们都知道不是所有的线都是直线，但线性推理却无处不在。本章介绍了我们为什么习惯于线性思考。

作者介绍古代数学家如何基于勾股定理计算圆的面积，方法是计算外切和内接多边形的面积，不断细分靠近，本质上，我们将圆这种非线性问题转变成线性问题来解决。这就反映了我们通常把非线性问题转化成线性问题来解决，微积分也是如此。

记住：局部是直线，整体是曲线。【如果我们只看局部，就很容易陷入线性思考 】

所有的平滑曲线，只要我们无限接近地观察，都跟直线非常相似。

这也是我们习惯于线性思维的原因之一：我们对时间与运动的理解，是在生活中观察到的各种现象的基础上形成的。甚至在牛顿提出他的那些定律之前，我们就已经知道物体会沿直线运动，除非有外力改变这种状况。

第三章 线性思考举例2

关于美国人的肥胖问题，有一个推论是“到2048年，人人都是胖子”，这个结论的典型错误是使用线性回归。

《失败的逻辑》一书中也分析了类似的错误，本书强调了“线性思维是一种典型的思维方式倾向，容易让我们看不清复杂的世界“，该书举的是德国的艾滋病的传染情况，其中强调的领先和暂态效应完全可以解释本章提到的美国人的肥胖问题，即肥胖人口增速，肯定会随着时间降低而非一直持续不变。

我们对时间的敏感性导致我们处理时间序列问题时出现明显的错误，比如（1）将随时间发展的不同阶段的事情视为彼此独立的事件，（2）预测未来时采用简单地从当前时刻外推，而这种外推过程又存在过度关注显著特征的问题和采用线性和“单调的”方式外推的问题。——《失败的逻辑》读书笔记

第四章 大数定律

核心观点：按比例推测，大数定律和小数定律，线性思考

首先介绍了流行的“按比例推测”，比如以色列因为战争死了几个人，就按比例推测相当于美国死了几千人。作者指出这种分析的不合理性，核心就依然是前面所强调的线性思考， 作者通过大数定理来指出“按比例推测”的错误。

只要一个小国家有很多人遭遇不幸，社论作者们就会拿出“比例尺”：这个数字相当于有多少美国人死于非命呢？

这是赤裸裸的“线性中心主义”（lineocentrism）。

作者以抛硬币为例介绍大数定律，如下图所示，抛的硬币越多，正面朝上的比例就越接近于50%；但是如果抛的硬币很少比如只有10枚，出现极端情况的概率就大很多，正面朝上的比例既有可能是高达80%又有可能低至20%。

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大数定理：抛的硬币越多，正面朝上的比例为80% 的概率就越小。事实上，如果抛的硬币足够多，结果为有51%的硬币正面朝上的概率也是微乎其微的！在抛 10枚硬币的情况下，如果得到高度失衡的结果，并不值得我们关注。但是，如果抛100枚硬币，结果仍然失衡，那就让人吃惊了，我们甚至会怀疑：是不是有人在硬币上动了手脚？

随着实验不断重复，实验结果往往会趋于稳定，并接近一个固定的平均值。

除了上面的抛硬币，作者又举了两个例子，一是评选“NBA最佳投手”，需要设定最低上传时间，否则有些不知名球员如果只上场一次且尝试并投入一球，那么他的的投篮命中率就高达100%，

NBA的各种排名都对上场时间设定了最低要求，否则，由于小样本的特点，上场时间很短的不知名球员就会上榜。

另外一个例子是“学校评比”，小规模学校的学生少，更容易集体发挥超常或者失常，所以成绩波动性明显大于大规模的学校，如此一来，优秀学校称号就很容易在小规模学校之间轮换了。

事实上，在北卡罗来纳州的这次评比中，规模较小的学校大多取得了不错的成绩。

值得强调的是，《思考，快与慢》一书也详细介绍了大数定律，从思维方式的角度阐述了我们大脑在概率上的倾向性，可惜一直没有整理这一部分读书笔记，之前只整理了第四部分即《思考，快与慢》第四部分 选择与风险（一）

第五章

关键词：正数和负数，负数和百分比的冲突，滥用百分比概念，著名经济学家也会犯这种低级错误

本章介绍了现实生活中我们对百分比的滥用，尤其是涉及到负数的情况下，所以出现了超过100%的饼状图；甚至在纯粹表达正数的情况下，我们也会滥用百分比。

涉及到负数的情况，本书举了两个例子，一是美国的就业情况统计，因为有的部门岗位萎缩，所以增长部门的岗位就占总增长岗位的100%以上；二是美国居民的收入情况，有的居民收入萎缩，有的居民收入增长，如果只看增长部分，就会出现“前1%去掉前0.01%人口新增收入占据全美新增收入的17%，而前0.01%人口新增收入占据全美新增人口的93%，两者之和超过100%”的怪事。

2000~2008 年，贸易部门的就业岗位有所减少，缩水了大约 300 万个，而非贸易部门则新增 700 万个就业岗位。在 400 万个新增岗位中，非贸易部门贡献了 700 万个，占总数的175%。

因此，我们要牢记：在数字有可能为负数时，不要讨论他们的百分比。

其次，本章强调了数学问题和现实世界的关系很重要，不要为了解答数学题而解答，将现实问题转变成正确的数学问题也很重要，因为给出错误问题的正确答案没有任何意义。