高等代数理论基础45：线性变换的定义

线性变换的定义

线性空间是某一类事物从量的方面的一个抽象,事物之间的联系反映为线性空间的映射

线性空间V到自身的映射称为V的一个变换,其中线性变换是最基本的

定义

定义：数域P中,线性空间V的一个变换 $\mathscr{A}$ ,若 $\forall \alpha,\beta\in V,\forall k\in P$ 有

$\mathscr{A}(\alpha+\beta)=\mathscr{A}+\mathscr{A}(\beta)$

$\mathscr{A}(k\alpha)=k\mathscr{A}(\alpha)$

则称 $\mathscr{A}$ 为线性变换

注：

1. $\mathscr{A}(\alpha),\mathscr{A}\alpha$ 表示元素 $\alpha$ 在变换 $\mathscr{A}$ 下的像

2.线性变换保持向量的加法和数量乘法

单位变换

线性空间V中定义变换, $\mathscr{E}(\alpha)=\alpha(\alpha\in V)$ , $\mathscr{E}$ 是线性变换,称为恒等变换或单位变换

零变换

线性空间V中定义变换, $\mathscr{O}(\alpha)=0(\alpha\in V)$ , $\mathscr{O}$ 是线性变换,称为零变换

数乘变换

V是数域P上的线性空间, $k\in P$ ,定义变换 $\mathscr{K}:\alpha\to k\alpha,\alpha\in V$ ,是线性变换,称为由数k决定的数乘变换

k=1时,即为恒等变换

k=0时,即为零变换

性质

1.设 $\mathscr{A}$ 是V的线性变换,则 $\mathscr{A}(0)=0,\mathscr{-\alpha}=-\mathscr{A}(\alpha)$

2.线性变换保持线性组合与线性关系式不变,即

若 $\beta=k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_r\alpha_r$

则 $\mathscr{A}(\beta)=k_1\mathscr{A}(\alpha_1)+k_2\mathscr{A}(\alpha_2)+\cdots+k_r\mathscr{A}(\alpha_r)$

3.线性变换把线性相关的向量组变成线性相关的向量组,也可把线性无关的向量组也变成线性相关的向量组,如零变换

例

1.平面上的向量构成实数域上的二维线性空间,将平面绕坐标原点逆时针旋转 $\theta$ 角,即一个线性变换,用 $\mathscr{G}_\theta$ 表示

若 $\alpha$ 在直角坐标系下坐标为 $(x,y)$ ,则像 $\mathscr{G}_\theta(\alpha)$ 的坐标 $(x’,y’)$ 为

$\begin{pmatrix}x’\\y’\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}cos\theta&-sin\theta\\sin\theta&cos\theta\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$

注：空间中绕轴的旋转也是一个线性变换

2.设 $\alpha$ 是几何空间中一固定的非零向量,将每个向量 $\zeta$ 变到它在 $\alpha$ 上的内射影的变换是一个线性变换,以 $\Pi_\alpha$ 表示

即 $\Pi_\alpha(\zeta)={(\alpha,\zeta)\over (\alpha,\alpha)}\alpha$ ,其中 $(\alpha,\zeta),(\alpha,\alpha)$ 表示内积

3.在线性空间 $P[x]$ 或 $P[x]_n$ 中,求微商是一个线性变换, $\mathscr{D}(f(x))=f’(x)$

4.定义在闭区间 $[a,b]$ 上全体连续函数组成实数域上一线性空间 $C(a,b)$

在该空间中,变换 $\mathscr{G}(f(x))=\int_a^x f(t)dt$ 是一线性变换

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