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首先了解一下向量
在3D笛卡尔坐标系，一个顶点就是XYZ坐标空间上的一个位置，而空间中给定一个位置恰恰是由一个单独的XYZ定义的，而这样的XYZ就是向量。有方向和大小。
向量的长度（向量的模）计算公式：
向量的模的计算.png
如果一个向量不是单位向量，而我们把它缩放到1，这个过程叫做标准化，将一个向量进行标准化就是将它的模缩为1；也叫单位化向量。
单位化向量：使用一个非零向量除以它的模（向量的长度），得到方向相同的单位向量。 -
向量的点乘
点乘只能在2个向量之间进行。2个（三维向量）单元向量之间进行点乘运算得到的是一个标量。它表示两个向量之间的夹角。
前提条件：2个向量必须为单位向量；
动作：2个三维向量之间进行点乘；
结果：返回一个[-1,1]范围的值，这个值其实就是夹角的cos值（余弦值）。
点乘
math3d库中提供了关于点乘的API
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m3dDotProduct3函数获得2个向量之间点乘的结果。 -
m3dGetAngleBetweenVector3获取2个向量之间夹角的弧度。
float m3dDotProduct3(const M3DVector3f u,const M3DVector3f v);
float m3dGetAngleBetweenVector3(const M3DVector3f u,const
M3DVector3f v);
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向量叉乘
向量之间的叉乘，也是在业务开发里非常有用的一个计算方式；2个向量之间叉乘就可以得到另外一个向量，新的向量会与原来2个向量订阅的平面垂直，同时进行叉乘不必为单位向量。
前提：2个普通向量。
动作：向量与向量叉乘。
结果：向量---垂直于原来2个向量定义的平面的向量。
image.png
math3d 库中提供了了关于叉乘的API
m3dCrossProduct3 函数获得2个向量之间的叉乘结果得到一个新的向量
void m3dCrossProduct3(M3DVector3f result,const M3DVector3f u ,const
M3DVector3f v);
- 矩阵Matrix
矩阵只有一行或者一列都是合理的，只有一行或者一列数字的可以称为向量，也可以称为矩阵。
//三维矩阵/四维矩阵的声明
typedef float M3DMatrix33f[9];
typedef float M3DMatrix44f[16];
在其他编程标准中, 许多矩阵库定义⼀个矩阵时,使⽤用二维数组;
OpenGL的约定里,更多倾向使用 一维数组; 这样做的原因是: OpenGL 使用的是 Column-Major(以列列为主)矩阵排序的约定;
行优先矩阵：一行一行读取
列优先矩阵：一列一列读取
一个4*4的矩阵是如何在3D空间中表示一个位置和方向的呢？
奥秘之出在于这16个值表示空间中一个特定的位置；这4列中，每以列都是有4个元素组成的向量。
如果将一个对象所有的顶点向量乘以这个矩阵，就能让整个对象变换到空间中给定的位置和方向。
列向量进行了特别的标注：矩阵的最后一行都为0，只有最后一个元素为1。
//单元矩阵初始化方式1
GLFloat m[] = {
1,0,0,0, //X Column
0,1,0,0, //Y Column
0,0,1,0, //Z Column
0,0,0,1 // Translation
}
//单元矩阵初始化方式2
M3DMatrix44f m = {
1,0,0,0, //X Column
0,1,0,0, //Y Column
0,0,1,0, //Z Column
0,0,0,1 // Translation
}
//单元矩阵初始化⽅方式3
void m3dLoadIdentity44f(M3DMatrix44f m);
- 矩阵的点乘
矩阵可以进行点乘的前提：两个矩阵的行列数相等
矩阵A · 矩阵B = 矩阵C
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规则： 矩阵A的第一个元素与矩阵B的第一个元素的乘积 = 矩阵C的第一个元素
点乘 矩阵的叉乘
矩阵可以进行叉乘的前提：第一个矩阵的列数 = 第二个矩阵的行数
矩阵A X 矩阵B = 矩阵C
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规则：矩阵A第一行与矩阵B第一列对应元素乘积的综合 = 矩阵C的第一个元素
叉乘
在线性代数数学的维度,为了了便便于书写. 所以坐标计算. 都是从左往右顺序,进⾏行行计算. 必须将mvp矩阵放在右边，属于右乘。如下列公式:
变换后顶点向量量 = V_local * M_model * M_view * M_pro
变换后顶点向量量 = 顶点 x 模型矩阵 x 观察矩阵 x 投影矩阵;
OpenGL中的矩阵规定是以列为主，所以顶点以列向量的方式表示
从OpenGL角度理解mvp矩阵的计算，由于顶点是列向量，如果项进行矩阵规则，就需要满足矩阵相乘的条件，需要将mvp矩阵的顺序颠倒为pvm，且放在列向量的左边，属于左乘
在OpenGL 的维度. 如下列列公式:
变换顶点向量量 = M_pro * M_view * M_model * V_local
变换顶点向量量 = 投影矩阵 x 视图变换矩阵 x 模型矩阵 x 顶点
inline void MultMatrix(const M3DMatrix44f mMatrix) {
M3DMatrix44d mTemp;
m3dCopyMatrix44(mTemp, pStack[stackPointer]);
m3dMatrixMultiply44(pStack[stackPointer], mTemp, mMatrix);
}
通过上述源码可知：
- 从栈顶获取栈顶矩阵，复制到mTemp。
- 将栈顶矩阵mTemp左乘mMatrix。
- 将结果放回栈顶空间里。
所以我们在进行模型变换的时候有如下代码：
GLMatrixStack modelViewMatrix;
GLMatrixStack projectionMatrix;
GLFrame cameraFrame;
GLFrame viewFrame;
// 投影矩阵：projectionMatrix
modelViewMatrix.PushMatrix();
M3DMatrix44f pm;
projectionMatrix.GetMatrix(pm);
modelViewMatrix.MultMatrix(pm);
// 观察者（视图变换）矩阵：viewMatrix
modelViewMatrix.PushMatrix();
M3DMatrix44f mCamera;
cameraFrame.GetCameraMatrix(mCamera);
modelViewMatrix.MultMatrix(mCamera);
// 模型变换矩阵
M3DMatrix44f mObjectFrame;
viewFrame.GetMatrix(mObjectFrame);
modelViewMatrix.MultMatrix(mObjectFrame);
基础变化
OpenGL中涉及的基础变化主要有以下5种
| 变换 | 解释 |
|---|---|
| 视图变换 | 指定观察者位置 |
| 模型变换 | 在场景中移动物体 |
| 模型视图 | 描述视图/模型变换的二元性 |
| 投影 | 改变视景体大小和设置它的投影方式 |
| 视口 | 伪变化，对窗口上最终输出进行缩放 |
- 视图变换
- 视图变换是应⽤到场景中的第⼀种变换, 它用来确定场景中的有利位置，在默认情况下，透视投影中位于原点(0,0,0)，并沿着z轴负方向进行观察（先显示器内部“看过去”）。
- 当观察者点位于原点(0,0,0) 时,就像在透视投影中⼀样。
- 视图变换将观察者放在你希望的任何位置.并允许在任何方向上观察场景, 确定视图变换就像 在场景中放置观察者并让它指向某一个方向;
- 从⼤大局上考虑, 在应用任何其他模型变换之前, 必须先应⽤视图变换. 这样做是因为, 对于 视觉坐标系⽽而⾔言, 视图变换移动了当前的⼯作的坐标系; 后续的变化都会基于新调整的坐标系进行。
截⾃自 <OpenGL 超级宝典 第5版 > 第96⻚
- 模型变换
模型变换就是物体通过平移、旋转、缩放的操作，将物体移动到你想要的位置的一个过程。
平移：物体沿着给定的轴进行移动
void m3dTranslationMatrix44(M3DMatrix44f m, floata x, float y, float z);
旋转：物体围绕给定的坐标轴进行旋转
void m3dRotationMatrix44(m3dDegToRad(45.0), floata x, float y, float z);
缩放：根据物体大小进行了放大/缩小的操作
void m3dScaleMatrix44(M3DMatrix44f m, floata xScale, float yScale, float zScale);
模型变换中，两个变换的顺序是不能交换的，交换后的矩阵相乘结果是不一致的。
- 投影变换
- 投影变换将在模型视图变换之后应用到顶点上，它将指定一个完成的场景（所有模型变换都已完成）是如何投影到屏幕上的最终图像。
- 正投影：所有多边形都是精确地按照指定的相对大小来在屏幕上绘制的。
- 透视投影：透视投影的特点是透视缩短，这种特性使得远处的物体看起来比进出同样大小的物体更小一些。
- 视口变换
当所有变换完成后，就得到了一个场景的二维投影，它将被映射到屏幕上某处的窗口上。这种到物理创口标的映射是我们最后要做的变换，称为视口变换。
