近世代数理论基础2：映射

映射

定义

给定非空集合A,B,从A到B的映射是指一个对应法则,通过该法则,对于A中任一元a,有B中唯一的一个元b与之对应

记作 $f:A\to B$ 或 $A\overset{f}{\to}B$ ,其中A称为映射f的定义域,B称为值域,b称为a在映射f下的像,a称为b在映射f下的原像,记作 $b=f(a)$ 或 $f:a\mapsto b$

映射三要素

定义域,值域,对应法则f

映射相等

设f,g是从集合A到集合B的两个映射,若 $\forall x\in A$ ,有 $f(a)=g(a)$ ,则称这两个映射相等,记作 $f=g$

集合上的映射

若映射f的定义域A和值域B相同,即 $A=B$ ,则称映射f是定义在集合A上的映射

像的唯一性(良性定义)

对于任意 $a\in A$ ,存在唯一 $b\in B$ 与之对应,在定义映射时,若元a有不同的表示形式,则 $b=f(a)$ 必须与a的表示形式没有关系

例

令 $A=B=Z/5Z=\{[0],[1],[2],[3],[4]\}$ ,定义对应法则 $f:A\to B$ 如下：

$f([x])=\begin{cases}[x/2]\qquad 若x为偶数\\ [x]\qquad 若x为奇数\end{cases}$

则f不是从A到B的映射

显然 $[1]=[6],[1]=f([1])=f([6])=[3]$ 矛盾

特殊映射

单射：若 $\forall a_1,a_2\in A$ , $a_1\neq a_2$ 时有 $f(a_1)\neq f(a_2)$ ,则称f是单射

满射：若 $\forall b\in B$ , $\exists a\in A$ 使 $b=f(a)$ ,则称f是满射

双射：若f既是单射又是满射,则称f为一一映射,也称双射

限制：给定映射 $f:A\to B$ , $C\subseteq A$ ,则f诱导一个映射 $f_1:C\to B$ , $\forall a\in C$ , $f_1(a)=f(a)$ ,称映射 $f_1$ 为映射f在集合C上的限制,记作 $f_1=f|C$

扩张(开拓)：给定映射 $f_1:C\to B$ , $C\subseteq A$ ,设 $f:A\to B$ ,若 $\forall x\in C$ ,有 $f(x)=f_1(x)$ ,则称映射f为 $f_1$ 在集合A上的扩张

(注：限制是唯一的,扩张可能不是唯一的)

注：一个给定映射 $f:X\to Y$ ,仅存在一个对于X的给定子集A的限制,一个映射 $g:A\to Y$ ,到一个包含A的集合X上的开拓通常是很多的

例：设y为Y中任一点,定义映射 $e_y:X\to Y$

$e_y(x)\begin{cases}g(x)\qquad x\in A\\y\qquad x\in X\backslash A\end{cases}$

为给定映射 $g:A\to Y$ 在X上的一个开拓

注：上述给定映射 $e_y:X\to Y$ 的定义为组合映射构造的一个特殊情况

合成：给定映射 $f:A\to B$ , $g:B\to C$ ,则由f和g可诱导出一个映射 $h:A\to C$ , $\forall a\in A,h(a)=g(f(a))$ ,称h为映射g与f的合成,记作 $h=g\circ f$

恒等映射：给定映射 $f:A\to A$ ,若 $\forall x\in A$ 有 $f(x)=x$ ,则称f为恒等映射,记作 $I_A$

(注：恒等映射也称为单位映射, $f\circ I_A=f,I_B\circ f=f$ )

包含函数： $X\subset Y$ , $\forall x\in X$ , $i(x)=x\in Y$ ,记作 $i:X\subset Y$

定理

定理：给定三个映射 $f:A\to B$ , $g:B\to C$ , $h:C\to D$ ,则 $(h\circ g)\circ f=h\circ(g\circ f)$

证明：

$显然,(h\circ g)\circ f,h\circ(g\circ f)都是从A到D的映射$

$\forall a\in A,有$

$((h\circ g)\circ f)(x)=(h\circ g)(f(x))=h(g(f(x)))$

$(h\circ (g\circ f))(x)=h((g\circ f)(x))=h(g(f(x)))$

$即(h\circ g)\circ f=h\circ (g\circ f)\qquad \mathcal{Q.E.D}$

定理： $\phi=g\circ f$ 表示 $f:X\to Y$ , $g:Y\to Z$ 的合成

$\forall A\subset X,\phi(A)=g(f(X))$

$\forall C\in Y,\phi^{-1}(C)=f^{-1}(g^{-1}(x))$

注：满射函数的合成是满射函数,单射函数的合成是单射函数

定理： $\phi=g\circ f$ 表示 $f:X\to Y$ , $g:Y\to Z$ 的合成

若 $\phi$ 是满射,则g也是满射

若 $\phi$ 是单射,则f也是单射

证明：

$设\phi是满射,由定义,$

$Z=\phi(X)=g(f(X))\subset g(Y)\subset Z$

$\therefore g(Y)=Z$

$\therefore g为满射$

$设\phi是单射,由定义,$

$令a,b为X中使f(a)=f(b)的任意两点$

$\therefore \phi(a)=g(f(a))=g(f(b))=\phi(b)$

$\because \phi为单射$

$\therefore a=b\qquad\mathcal{Q.E.D}$

像与原像

给定映射 $f:A\to B$

像： $\forall S\subseteq A$ ,令 $f(S)=\{f(a)|a\in S\}$ ,称 $f(S)$ 为S在映射f下的像

原像：令 $f^{-1}(T)=\{a\in A|f(a)\in T\}$ ,称 $f^{-1}(T)$ 为T在映射f下的原像

注：整个定义域A在f下的像称为f的像,并表示为 $Im(f)$

定理：给定映射 $f:A\to B$ ,则

(1) $\forall S\subseteq A$ ,有 $S\subseteq f^{-1}(f(S))$

(2) $\forall T\subseteq B$ ,有 $f(f^{-1}(T))\subseteq T$ ,当f为满射时,等号成立

定理：对映射 $f:X\to Y$ 的定义域X的任意两个子集A与B

$f(A\cup B)=f(A)\cup f(B)$

$f(A\cap B)\subset f(A)\cap f(B)$

例： $X=\{a,b\},A=\{a\},B=\{b\},Y=\{y\}$

令 $f:X\to Y$ 表示唯一的映射

$f(A\cap B)=f(\varnothing)=\varnothing$

$f(A)\cap f(B)=Y$

定理：对于映射 $f:X\to Y$ 的值域Y的任意两个子集A与B

$f^{-1}(A\cup B)=f^{-1}(A)\cup f^{-1}(B)$

$f^{-1}(A\cap B)=f^{-1}(A)\cap f^{-1}(B)$

$f^{-1}(A\backslash B)=f^{-1}(A)\backslash f^{-1}(B)$

注：逆像的特性较像的特性好,因而逆像的概念使用的多

判断单射、满射和双射

定理：给定映射 $f:A\to B$ ,则

(1)f是单射 $\Leftrightarrow$$\exists g:B\to A$ 使 $g\circ f=I_A$

(2)f是满射 $\Leftrightarrow$$\exists g:B\to A$ 使 $f\circ g=I_B$

(3)f是双射 $\Leftrightarrow$$\exists g:B\to A$ 使 $g\circ f=I_A,f\circ g=I_B$ ,且 $g$ 唯一,记作 $f^{-1}$

(注：g称为映射f的逆映射,当A与B之间存在一个双射时,这两个集合含有一样多的元,即|A|=|B|,称为他们为等势的)

证明：

$(1)f是单射\Leftrightarrow \exists g:B\to A使g\circ f=I_A$

$必要性$

$若f为单射,即\forall x_1,x_2\in A$

$若x_1\neq x_2,则f(x_1)\neq f(x_2)$

$\therefore 定义映射g:B\to A$

$g(b)=\begin{cases}a\qquad 若存在a\in A使f(a)=b\\a_0\qquad 若不存在a\in A使f(a)=b\end{cases}$

$其中a_0为A中任一固定元$

$则有$

$(\mathrm{i})g是映射$

$即\forall b\in B,\exists ! a\in A使g(b)=a$

$(\mathrm{ii})g\circ f=I_A$

$\forall a\in A,令b=f(a)$

$则g\circ f(a)=g(f(a))=g(b)=a$

$\therefore g\circ f=I_A$

$充分性$

$\forall x_1,x_2\in A,若f(x_1)=f(x_2)$

$I_A=g\circ f$

$\therefore x_1=I_A(x_1)=g\circ f(x_1)=g(f(x_1))$

$=g(f(x_2))=g\circ f(x_2)=x_2$

$\therefore f是单射\qquad \mathcal{Q.E.D}$

$(2)f是满射\Leftrightarrow\exists g:B\to A使f\circ g=I_B$

设 $X=\{1,2,3,\cdots,n\}$ 为n元集合,令 $S_n=\{从X到X上所有的一一映射\}$ ,则 $\forall \sigma \in S_n$ , $\sigma$ 可如下表示

$\sigma=\begin{pmatrix}1&2&3&\cdots&n\\i_1&i_2&i_3&\cdots&i_n\end{pmatrix}$

其中 $i_1,i_2,\cdots,i_n$ 是元 $1,2,\cdots,n$ 的一个置换,这个映射表示 $\sigma(1)=i_1,\sigma(2)=i_2,\cdots,\sigma(n)=i_n$

函数族

设F为X的给定的子集族,假设F复盖X,即X等于在F中的集的并,且假设 $\forall A\in F$ ,有 $f_A:A\to Y$ ,可得以族F的元素为函数标号的函数族 $\phi=\{f_A|A\in F\}$

$\forall A,B\in F$ , $f_A:A\to Y$ 与 $f_B:B\to Y$ 在 $A\cap B$ 上相等,则称族 $\phi$ 可组合,即 $f_A|A\cap B=f_B|A\cap B$

若函数族 $\phi$ 可组合,则 $\phi$ 可唯一确定一函数 $f:X\to Y,f(x)=f_A(x)$ ,若 $x\in A\in F$ ,函数f称为函数族 $\phi$ 的组合函数

序列

一个从自然数集N到给定集X的函数 $f:N\to X$ 称为在X中(点的)序列, $\forall n\in N$ ,像 $x_n=f(n)$ 称为序列f的第n项,序列f写成 $f=\{x_1,x_2,\cdots,x_n,\cdots\}$

注：若X为实数集R,则称f为实数列,若X为整数集Z,则称f为整数列

特征函数

给定集X, $\forall A\subset X$ ,定义函数 $\mathcal{X_A}:X\to R$

$\mathcal{X_A}=\begin{cases}1\qquad x\in A\\0\qquad x\in X\backslash A\end{cases}$

称为在X中的子集A的特征函数

带标集族

令 $2^X$ 表示给定集X的所有子集的集,对任一函数 $f:M\to 2^X$ , $\forall \alpha\in M$ ,像 $E_\alpha=f(\alpha)$ 为X的一个子集,函数f可写成 $f=\{E_\alpha\subset X|\alpha\in M\}$

称为以集M作为标号的带标集族

若M为自然数集N,则称f为集序列

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