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最近在研究选址问题，顺便就做了一个归纳整理。
这篇文章是第一部分，关于传统的、基于统计学的选址。
之后会有另一篇，是关于机器学习、深度学习在现代的选址问题的应用。

以下内容纯理论~~

1 选址问题

【来自百度】选址问题是运筹学中经典的问题之一。选址问题在生产生活、物流、甚至军事中都有着非常广泛的应用，如工厂、仓库、急救中心、消防站、垃圾处理中心、物流中心、导弹仓库的选址等。选址是最重要的长期决策之一，选址的好坏直接影响到服务方式、服务质量、服务效率、服务成本等，从而影响到利润和市场竞争力，甚至决定了企业的命运。好的选址会给人民的生活带来便利，降低成本，扩大利润和市场份额，提高服务效率和竞争力，差的选址往往会带来很大的不便和损失，甚至是灾难，所以，选址问题的研究有着重大的经济、社会和军事意义。

所谓选址问题，就是指在规划区域里选择一个或多个设施的位置，使得目标最优。
PS：这个“设施”可以是工厂、饭店等实体，为了统一，我们都称呼它为设施。

从它的定义，我们可以抓住四个要素：设施、规划区域、位置（距离）、目标，我们来一个个分析：

1.1 设施

按照设施的空间维度划分，可以将选址问题分为：

1. 立体选址问题：设施的高度不能被忽略，如集装箱装箱问题。
2. 平面选址问题：设施的长、宽不能被忽略，如货运站的仓位布局问题。
3. 线选址问题：设施的宽度不能被忽略，如在仓库两边的传送带布局问题。
4. 点选址问题：设施可以被简化为一个点，绝大多数时候我们遇到的都是这类问题。

还有，按照设施的规划数量划分，可以将选址问题分为：

1. 单设施选址
2. 多设施选址

1.2 规划区域

按照规划区域的结构划分，可以将选址问题分为：

1. 连续选址问题：设施可以在给定范围的任意位置选址，设施的候选位置为无穷多。
2. 离散选址问题：设施的候选位置是有限且较少的，实际中最常遇到这类问题。
3. 网格选址问题：规划区域被划分为许多的小单元，每个设施占据其中有限个单元。

1.3 位置

或许说距离会更合适，因为我们确定设施位置的目的，就是为了获得设施与其他需求点的距离。
按照设施与需求点位置的关系，可以将所要获取的距离分为：

1. 间接距离
   如下赋权有向图，从点v₁到点v₇有许多条路径，上面的数字代表了距离，不考虑中途的成本、时间等因素，如何选择路线使得距离最短？（学过运筹学的同学应该都知道标号法吧）
   
2. 直接距离：
   如果没有向上图那样特别给出，我们需要根据两点坐标自行计算，一般可以选择Lp距离作为两点之间的距离，又称闵式距离(Minkowski Distance)。Lp距离计算方式如下：
   d = (Σ(x_1i-x_2i)^p)^1/p

特别地，当：

• p=1：L1范式，又称曼哈顿距离，在二维平面上 d=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|。假设在曼哈顿街区乘坐出租车从 P 点到 Q 点，白色表示高楼大厦，灰色表示街道，则下图中红线、蓝线、黄线的行驶距离都是一样的，都是曼哈顿距离。
  
• p=2：L2范式，又称欧氏距离，定义于欧几里得空间中，是最常见的距离度量方式，在二维平面上 d=((x₁-x₂)²+(y₁-y₂)²)^1/2，即两点间的直线距离，上图中的绿线。
  上面两种距离用得最多，再介绍一个不太常用的距离：
• p=∞：切比雪夫距离（Chebyshev distance），在二维平面上 d=max(|x₁-x₂|, |y₁-y₂|)。玩过国际象棋的都知道，国王走一步能够移动到相邻的8个方格中的任意一个位置，那么国王从格子(x1,y1)走到格子(x2,y2)最少的步数就是切比雪夫距离。可以试试看，下图已经标注国王到达任意位置所需要的步数。
  

1.4 目标

我们的目标是找到最好的位置，那么什么是最好的位置呢，换句话说，该如何量化这个目标呢？距离最短、费用最少、利润最大，或者其他定制的目标？
按照目标的数量，可以将选址问题分为：

1. 单目标选址问题：这个很好理解。
2. 多目标选址问题：实际的问题往往都是多目标规划问题，比如既想距离尽可能短，又想要费用尽可能少，如何均衡这些多目标呢。

2 三个基本问题与模型

可能洋洋洒洒看了上面一堆，对于选址问题还是没有一个清晰的概念，所以我整理了三个选址问题中的基本问题。而目前选址问题里的一些难题，都是它们的拓展（或者说延伸），比如无容量限制设施选址问题。

2.1 P中值问题 P-Median Problem

研究：在备选设施集合里，如何选择p个设施，使所有需求点得到服务，并且需求点到其最近设施的加权距离总和最小。

这是一个MinSum问题，可由以下整数规划模型表示：

应用场景：在物流领域应用得非常广泛，加权距离代表了运输成本，目标是总成本最少。

2.2 P中心问题 P-Center Problem

研究：在备选设施集合里，如何选择p个设施，使所有需求点得到服务，并且每个需求点到其最近设施的最大距离最小。

这是一个MinMax问题，可由以下整数规划模型表示（符号说明与上面类似）：

应用场景：应急设施的选址，比如警局、消防局、医院，要求尽可能快地到达任意位置。

2.3 覆盖问题 Covering Problem

覆盖问题分为最大覆盖问题和集覆盖问题两类。

1. 集覆盖问题
   研究：在备选设施集合里，已知每个设施的服务范围，如何选择设施，使所有需求点得到服务，并且设施数p最小或成本最小。

2. 最大覆盖问题
   研究：在备选设施集合里，已知每个设施的服务范围，如何选择p个设施，使得服务的需求点数最多或需求量最大。

应用场景：追求覆盖面的场景，比如移动基站的选址、物流中心的选址。

3 算法

对于算法的解释，我总是比较偷懒的，因为解释起来很麻烦，所以就做个总结，感兴趣的话再自行搜索哈。

按照求解的方式，可以分为：

3.1 定性求解

“定性”很好理解，不要求具有统计意义，但是凭借研究者的经验以及有关的技术，能有效地洞察研究对象的性质，以及可能带来的影响等。

一般是如下步骤：

1. 建立一套基于某些指标的、普适的评价体系
2. 对给定的多种方案进行综合评价
3. 基于评价结果，选出相对最优方案

常用的评价方法有：加权因素评分法、模糊综合评判法、风险型方法、德尔菲法(Delphi)

定性方法有着明显的缺点——受主观影响极大。可实际过程中，很多东西都是无法定量的，比如政策、环境的影响~因此定性分析具有非常强的实际意义，往往与定量分析相辅相成。

3.2 定量求解

1. 解析解
   求解纯数学模型，找到最优方案。
   上述三个基本问题都是NP-Hard问题，在规模较小时可行，但随着规模的增大，在多项式时间内无法获得解析解。

2. 近似解
   常用的有松弛算法：将约束吸收到目标函数中。

3. 启发式算法
   在状态空间不断搜索局部最优，并更新状态，循环往复直至无法再更新。

4. 仿真法
   对于大型、复杂的选址问题，通过仿真重现系统活动。

5. 其他……
   有一些算法被证明是可以较好地逼近最优解，比如模拟退火、遗传算法、神经网络等。

3.2.1 贪婪取走启发式算法

给大家介绍一个效率挺高的算法，不一定最好，但我看了还不错，很多作者靠它水了一些文章哈哈哈~

目标是从N个备选位置里，选择p个位置建设施，使得目标最优。

1. 步骤1：初始化p个设施的位置，并计算目标函数值。
2. 步骤2：选择一个设施点i，i∈p，和一个设施点j，j∉p，交换组合新设施集合，计算目标函数。
3. 步骤3：循环步骤2，找到最优交换组合，使得目标函数值减小最多，永久交换并更新状态。
4. 步骤4：循环步骤3，直到再也无法找到最优交换组合。

该算法的优点和缺点：

• 优点
  可并行，运算快。

• 缺点：由于每次都找局部最优，因此算法的效果受初始位置影响很大。解决方法是循环整个算法n次，再选择最优组合。

因为时间太短，没时间研究得太深，其他算法就不班门弄斧了~

下回试试用Python解决几个实际问题。