矩形波导分析

根据纵向场法，需要先求出纵向场分量

TE模

纵向分量为Hz，

Ez=0，

纵向场分量满足亥姆霍兹方程,推导过程

${\nabla_T^2H_Z(t)}+{H_Z(t)}k_c^2=0$

矩形波导应用直角坐标系，拉普拉斯算子 $\nabla_T^2=\partial^2/\partial x^2+\partial^2/\partial y^2$

分离变量法： $H_Z(x,y)=X(x)Y(y)$

得到：

$\frac{1}{X(x)}\frac{d^2X(x)}{dx^2}+\frac{1}{Y(y)}\frac{d^2Y(y)}{dy^2}+k_c^2=0$

即：

$\frac{1}{X(x)}\frac{d^2X(x)}{dx^2}+k_x^2=0$

$\frac{1}{Y(y)}\frac{d^2Y(y)}{dy^2}+k_y^2=0$

$k_x^2+k_y^2=k_c^2$

解得：

$H_Z(x,y)=(Asink_xx+Bcosk_xx)(Csink_yy+Dcosk_yy)$

根据纵向场与横向场之间的关系：

$E_x(x,y)=-\frac{1}{k_c^2}j\omega\mu\frac{\partial H_z}{\partial y}=-\frac{j\omega\mu}{k_c^2}k_y(Asink_xx+Bcosk_xx)(Ccosk_yy-Dsink_yy)$

$E_y(x,y)=\frac{j\omega\mu}{k_c^2}\frac{\partial H_z}{\partial x}=\frac{j\omega\mu}{k_c^2}k_x(Acosk_xx-Bsink_xx)(Csink_yy+Dcosk_yy)$

应用边界条件

$E_x(x,0)=E_x(x,b)=0$

$E_y(0,y)=E_y(a,y)=0$

解得：

$A=C=0$ $k_y=n\pi/b$ $k_x = n\pi/a$

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