决策树

1. 各种公式

信息熵
$H(X)=-\sum_{i=1}^{n}{p_i * \log_2 {p_i}}$
条件熵
$H(Y|X)=\sum_{i=1}^n{p_i * H(Y|X=x_i)}$
信息增益
$g(D,A)=H(D)-H(D|A)=H(D)-\sum_{i=1}^{n}\frac{|D_i|}{|D|} H(D_i)$
信息增益比
$g_R(D,A)=\frac{g(D,A)}{H_A(D)}$
$H_A(D)=-\sum_{i=1}^{n}{\frac{|D_i|}{|D|} \log_2 {\frac{|D_i|}{|D|}}}$
基尼指数
$Gini(p)=\sum_{k=1}^{K}{p_k(1-p_k)}=1-\sum_{k=1}^{K}{p_k^2}=1-\sum_{k=1}^{K} ({\frac{|D_k|}{|D|}})^2$

2. 决策树的生成算法

ID3: 选择信息增益最大的特征最为节点的特征
C4.5: 选择信息增益比最大的特征最为节点的特征

3. CART

回归树: 平方误差最小化
分类树: 基尼指数最小化

4. 剪枝

决策树的损失
$C_\alpha(T)=\sum_{t=1}^{|T|}{N_tH_t(T)}+\alpha|T|$
$=-\sum_{t=1}^{|T|}{N_t \sum_{k=1}^{K}{\frac{N_{tk}}{N_t}} \log \frac{N_{tk}}{N_t}} + \alpha|T|$
$=-\sum_{t=1}^{|T|}{\sum_{k=1}^{K}{N_{tk}} \log \frac{N_{tk}}{N_t}} + \alpha|T|$
$t$ 为树 $T$ 的叶节点，有 $N_t$ 个样本，其中 $k$ 累样本有 $N_{tk}$ 个， $H_t(T)$ 为叶节点 $t$ 上的经验熵
CART剪枝算法
1. $k=0, T=T_0, T_0$ 为CART生成的决策树
2. $\alpha = +\infty$
3. 自下而上地对各内部节点 $t$ 计算 $C(T_t), |T_t|$ 以及
  $g(t) = \frac{C(t)-C(T_t)}{|T_t|-1}$
  $\alpha = min(\alpha, g(t))$
  $T_t$ 表示以 $t$ 为根节点的子树， $|T_t|$ 表示以 $t$ 为根节点的子树的叶节点个数
  $C_\alpha(t)=C(t)+\alpha$ 表示以 $t$ 为单节点树的损失， $C_\alpha(T_t)=C(T_t)+\alpha|T_t|$ 表示以 $t$ 为根节点子树 $T_t$ 的损失
4. 自上而下地访问内部节点:
  - if: $g(t) = \alpha$ , then: 剪枝，多数表决其类别，得到树 $T$
5. $k=k+1, \alpha_k=\alpha, T_k=T$
6. 如果T不是有根节点单独组成地树，转2
7. 交叉验证 $T_0, T_1, \cdots, T_n$ ，选区最优子树 $T_\alpha$ (平方误差或基尼指数最小的决策树)

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