今天整理了一下关于动态规划的内容，道理都知道，但是python来描述的方面参考较少，整理如下，希望对你有所帮助，实验代码均经过测试。
请先好好阅读如下内容--什么是动态规划？
摘录于《算法图解》
以上的都建议自己手推一下，然后知道怎么回事，核心的部分是142页核心公式，待会代码会重现这个过程，推荐没有算法基础的小伙伴看这本书《算法图解》很有意思的书，讲的很清晰，入门足够
更深入的请阅读python算法-动态规划写的不错，可以参考
为什么要使用动态规划？
From:动态规划是什么，意义在哪里？！！！！
首先我们要知道为什么要使用(Dynamic programming)dp，我们在选择dp算法的时候，往往是在决策问题上，而且是在如果不使用dp，直接暴力效率会很低的情况下选择使用dp.
那么问题来了，什么时候会选择使用dp呢，一般情况下，我们能将问题抽象出来，并且问题满足无后效性，满足最优子结构，并且能明确的找出状态转移方程的话，dp无疑是很好的选择。
- 无后效性通俗的说就是只要我们得出了当前状态，而不用管这个状态怎么来的，也就是说之前的状态已经用不着了，如果我们抽象出的状态有后效性，很简单，我们只用把这个值加入到状态的表示中。
- 最优子结构(自下而上)：在决策问题中，如果，当前问题可以拆分为多个子问题，并且依赖于这些子问题，那么我们称为此问题符合子结构，而若当前状态可以由某个阶段的某个或某些状态直接得到，那么就符合最优子结构
- 重叠子问题(自上而下)：动态规划算法总是充分利用重叠子问题，通过每个子问题只解一次，把解保存在一个需要时就可以查看的表中，每次查表的时间为常数，如备忘录的递归方法。斐波那契数列的递归就是个很好的例子
- 状态转移：这个概念比较简单，在抽象出上述两点的的状态表示后，每种状态之间转移时值或者参数的变化。
小结
- 动态规划： 动态规划表面上很难，其实存在很简单的套路：当求解的问题满足以下两个条件时， 就应该使用动态规划：
- 主问题的答案 包含了 可分解的子问题答案 （也就是说，问题可以被递归的思想求解）
- 递归求解时， 很多子问题的答案会被多次重复利用
- 动态规划的本质思想就是递归， 但如果直接应用递归方法， 子问题的答案会被重复计算产生浪费， 同时递归更加耗费栈内存， 所以通常用一个二维矩阵（表格）来表示不同子问题的答案， 以实现更加高效的求解。
-
Talk is cheap ,Show me the code
翻阅很多资料，貌似python描述的比较少，这里总结一下，用前面的图解中的伪代码重构下
背包问题
多谢rubik_wong--0/1背包问题，代码参考如下
# 这里使用了图解中的吉他，音箱，电脑，手机做的测试，数据保持一致
w = [0, 1, 4, 3, 1] #n个物体的重量(w[0]无用)
p = [0, 1500, 3000, 2000, 2000] #n个物体的价值(p[0]无用)
n = len(w) - 1 #计算n的个数
m = 4 #背包的载重量
x = [] #装入背包的物体，元素为True时，对应物体被装入(x[0]无用)
v = 0
#optp[i][j]表示在前i个物体中，能够装入载重量为j的背包中的物体的最大价值
optp = [[0 for col in range(m + 1)] for raw in range(n + 1)]
#optp 相当于做了一个n*m的全零矩阵的赶脚，n行为物件，m列为自背包载重量
def knapsack_dynamic(w, p, n, m, x):
#计算optp[i][j]
for i in range(1, n + 1): # 物品一件件来
for j in range(1, m + 1): # j为子背包的载重量，寻找能够承载物品的子背包
if (j >= w[i]): # 当物品的重量小于背包能够承受的载重量的时候，才考虑能不能放进去
optp[i][j] = max(optp[i - 1][j], optp[i - 1][j - w[i]] + p[i]) # optp[i - 1][j]是上一个单元的值， optp[i - 1][j - w[i]]为剩余空间的价值
else:
optp[i][j] = optp[i - 1][j]
#递推装入背包的物体,寻找跳变的地方，从最后结果开始逆推
j = m
for i in range(n, 0, -1):
if optp[i][j] > optp[i - 1][j]:
x.append(i)
j = j - w[i]
#返回最大价值，即表格中最后一行最后一列的值
v = optp[n][m]
return v
print '最大值为：' + str(knapsack_dynamic(w, p, n, m, x))
print '物品的索引：',x
#最大值为：4000
#物品的索引： [4, 3]
优化背包问题的递归方法
def MaxVal2(memo , w, v, index, last):
"""
得到最大价值
w为widght
v为value
index为索引
last为剩余重量
"""
global numCount
numCount = numCount + 1
try:
#以往是否计算过分支，如果计算过，直接返回分支的结果
return memo[(index , last)]
except:
#最底部
if index == 0:
#是否可以装入
if w[index] <= last:
return v[index]
else:
return 0
#寻找可以装入的分支
without_l = MaxVal2(memo , w, v, index - 1, last)
#如果当前的分支大于约束
#返回历史查找的最大值
if w[index] > last:
return without_l
else:
#当前分支加入背包，剪掉背包剩余重量，继续寻找
with_l = v[index] + MaxVal2(memo , w, v , index - 1, last - w[index])
#比较最大值
maxvalue = max(with_l , without_l)
#存储
memo[(index , last)] = maxvalue
return maxvalue
w = [0, 1, 4, 3, 1] # 东西的重量
v = [0, 1500, 3000, 2000, 2000] # 东西的价值
numCount = 0
memo = {}
n = len(w) - 1
m = 4
print MaxVal2(memo , w, v, n, m) , "caculate count : ", numCount
# 4000 caculate count : 20
优化斐波那契数列的递归方法
多谢Python科学实验----动态规划,也就是对应上面的重叠子问题的方法，备忘录的递归方法
#Dynamic Method Experiment
import matplotlib.pyplot as plt
count=0;
#blank
def f(n):
global count
count=count+1
if n==1:
return 1
elif n==0:
return 1
else:
return f(n-1)+f(n-2)
# function calls count
def calc_f(n):
global count
count=0
f(n)
return count
#using memorization
mem={}
def mem_f(n):
global count,mem
count=count+1
if n in mem:
return mem[n]
else:
if n==1:
result=1
elif n==0:
result=1
else:
result=mem_f(n-1)+mem_f(n-2)
mem[n]=result
return result
def mem_calc_f(n):
global count
global mem
mem={}
count=0
mem_f(n)
return count
x=range(1,15)
y=[]
y2=[]
for i in x:
c=mem_calc_f(i)
y.append(c)
c2=calc_f(i)
y2.append(c2)
print "规模为%d时计算了%d次 i=%d时，val=%d"%(i,c,i,mem_f(i))
print "规模为%d时计算了%d次 i=%d时，val=%d"%(i,c2,i,f(i))
plt.plot(x,y)
plt.plot(x,y2)
plt.show()
它的基本思想就是记录已经计算过的值，避免重复计算。
如果使用装饰器的写法，则会优雅很多
from functools import wraps
def memo(func):
cache={}
@wraps(func)
def wrap(*args):
if args not in cache:
cache[args]=func(*args)
return cache[args]
return wrap
@memo
def fib(i):
if i<2: return 1
return fib(i-1)+fib(i-2)
fib(2)
一些利用DP的笔试题
CPU双核问题
网易笔试—动态规划: 题目的大概意思：一种双核CPU的两个核能够同时的处理任务，现在有n个已知数据量的任务需要交给CPU处理，假设已知CPU的每个核1秒可以处理1kb，每个核同时只能处理一项任务。n个任务可以按照任意顺序放入CPU进行处理，现在需要设计一个方案让CPU处理完这批任务所需的时间最少，求这个最小的时间。
输入包括两行：
第一行为整数n(1 ≤ n ≤ 50)
第二行为n个整数length[i](1024 ≤ length[i] ≤ 4194304)，表示每个任务的长度为length[i]kb，每个数均为1024的倍数。
输出一个整数，表示最少需要处理的时间。
问题实质是动态规划问题，把数组分成两部分，使得两部分的和相差最小。
如何将数组分成两部分使得两部分的和的差最小？参考博客http://www.tuicool.com/articles/ZF73Af
思路：
差值最小就是说两部分的和最接近，而且各部分的和与总和的一半也是最接近的。假设用sum1表示第一部分的和，sum2表示第二部分的和，SUM表示所有数的和，那么sum1+sum2=SUM。假设sum1<sum2 那么SUM/2-sum1 = sum2-SUM/2;
所以我们就有目标了，使得sum1<=SUM/2的条件下尽可能的大。也就是说从n个数中选出某些数，使得这些数的和尽可能的接近或者等于所有数的和的一般。这其实就是简单的背包问题了：
背包容量是SUM/2. 每个物体的体积是数的大小，然后尽可能的装满背包。
w = [0, 3072, 3072, 7168, 3072, 1024] # 假设进入处理的的任务大小
w = map(lambda x:x/1024,w) # 转化下
p = w # 这题的价值和任务重量一致
n = sum(w)/2 +1 # 背包承重为总任务的一半
optp = [[0 for j in range(n+1)] for i in range(len(w))]
for i in range(1,len(p)):
for j in range(1,n+1):
if j >= p[i]:
optp[i][j] = max(optp[i-1][j],p[i]+optp[i-1][j-w[i]])
else:
optp[i][j] = optp[i-1][j]
print optp[-1][-1]
print optp
# 背包矩阵入下所示，第一列和第一行无效占位符
[[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0],
[0, 0, 0, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3],
[0, 0, 0, 3, 3, 3, 6, 6, 6, 6],
[0, 0, 0, 3, 3, 3, 6, 7, 7, 7],
[0, 0, 0, 3, 3, 3, 6, 7, 7, 9],
[0, 1, 1, 3, 4, 4, 6, 7, 8, 9]]
LIS问题
longest increasing subsequence问题，
- 写的很棒，不再赘述DP动态规划（Python实现）
# 讲DP基本都会讲到的一个问题LIS：longest increasing subsequence
# http://www.deeplearn.me/216.html
lis = [2 ,1, 5, 3, 6 ,4 ,8 ,9, 7]
d = [1]*len(lis)
res = 1
for i in range(len(lis)):
for j in range(i):
if lis[j] <= lis[i] and d[i] < d[j]+1:
d[i] = d[j]+1
if d[j] > res:
res = d[j]
print res
LCS问题
一个非常好的图解教程：动态规划 最长公共子序列 过程图解
# 根据图解教程写的伪代码，其实最后评论里面的代码就是我添加上去的
s1 = [1,3,4,5,6,7,7,8]
s2 = [3,5,7,4,8,6,7,8,2]
d = [[0]*(len(s2)+1) for i in range(len(s1)+1) ]
for i in range(1,len(s1)+1):
for j in range(1,len(s2)+1):
if s1[i-1] == s2[j-1]:
d[i][j] = d[i-1][j-1]+1
else:
d[i][j] = max(d[i-1][j],d[i][j-1])
print "max LCS number:",d[-1][-1]
给定一个有n个正整数的数组A和一个整数sum
给定一个有n个正整数的数组A和一个整数sum,求选择数组A中部分数字和为sum的方案数。
当两种选取方案有一个数字的下标不一样,我们就认为是不同的组成方案。
输入描述:
输入为两行:
第一行为两个正整数n(1 ≤ n ≤ 1000)，sum(1 ≤ sum ≤ 1000)
第二行为n个正整数A[i](32位整数)，以空格隔开。
输出描述:
输出所求的方案数
示例1
输入
5 15
5 5 10 2 3
输出
4
#动态规划算法。dp[i][j]代表用前i个数字凑到j最多有多少种方案。
#dp[i][j]=dp[i-1][j]; //不用第i个数字能凑到j的最多情况
#dp[i][j]+=dp[i-1][j-value[i]];用了i时，只需要看原来凑到j-value[i]的最多情况即可。并累加
num_ = 5
sum_ = 10
line = [5 ,5 ,10 ,2 ,3]
optp = [[1]+[0]*sum_ for i in range(num_+1)] # 第一列为1的原因是和为0的时候只有一种取法，就是什么都不取
for i in range(1,num_+1):
for j in range(1,sum_+1):
if j - line[i-1] >=0:
optp[i][j] = optp[i-1][j] + optp[i-1][j-line[i-1]]
else:
optp[i][j] = optp[i-1][j]
print optp
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 [[1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0],
5 [1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0],
5 [1, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 1],
10 [1, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 2],
2 [1, 0, 1, 0, 0, 2, 0, 2, 0, 0, 2],
3 [1, 0, 1, 1, 0, 3, 0, 2, 2, 0, 4]]
# 转化为背包问题后，开始推，（注意第一行和第一列是预至位）比如说第一个数字是5，那么从构成和为1，怎么取？当然没得取，直到构成和为5的时候，开始执行，如果用这个5，那么还剩下5-5=0的和，0的和取法只有1，而如果不用5，取法只有0，所以为1，之后重复推，再说第二个5，直到和为5之前，都是0取法，到了5之后，两种取法，一种是要不要这个新的5，如果要这个新的5，那么剩下的和即5-5=0，一种取法，如果这个新的5不取，那以前能取到和为5就上次循环中的一种取法，所以合起来两种取法
一个数组有 N 个元素，求连续子数组的最大和
一个数组有 N 个元素，求连续子数组的最大和。 例如：[-1,2,1]，和最大的连续子数组为[2,1]，其和为 3
输入描述:
输入为两行。
第一行一个整数n(1 <= n <= 100000)，表示一共有n个元素
第二行为n个数，即每个元素,每个整数都在32位int范围内。以空格分隔。
输出描述:
所有连续子数组中和最大的值。
示例1
输入
3
-1 2 1
输出
3
# 采用动态规划的方法
# 设dp[i]表示以第 i个元素为结尾的连续子数组的最大和，则递推方程式为 dp[i]=max{dp[i-1]+a[i], a[i]};
num = raw_input("")
line = raw_input("")
line = map(lambda x:int(x),line.split(" "))
num = int(num)
d =[0]*(num-1)
d.insert(0,line[0])
for i in range(1,num):
d[i] = max(d[i-1]+line[i],line[i])
print max(d)
X*Y的网格迷宫
有一个X*Y的网格，小团要在此网格上从左上角到右下角，只能走格点且只能向右或向下走。请设计一个算法，计算小团有多少种走法。给定两个正整数int x,int y，请返回小团的走法数目。
输入描述:
输入包括一行，逗号隔开的两个正整数x和y，取值范围[1,10]。
输出描述:
输出包括一行，为走法的数目。
示例1
输入
3 2
输出
10
# 动态规划，使用递推方程d[i][j] = d[i-1][j] + d[i][j-1]
# 因为可能从两个方向走到同一个点，所以从上到下为一种走法，从左到右是另一种走法
# 注意题目给的是x*y方格，所以是(x+1)*(y+1)个点
line = map(int, raw_input("").split(" "))
x = line[0]
y = line[1]
d = [[0]*(y+2) for i in range(x+2)]
for i in range(1,x+2):
for j in range(1,y+2):
if i==j and i==1:
d[i][j] = 1
else:
d[i][j] = d[i-1][j] + d[i][j-1]
print d[-1][-1]
暗黑字符串
一个只包含'A'、'B'和'C'的字符串，如果存在某一段长度为3的连续子串中恰好'A'、'B'和'C'各有一个，那么这个字符串就是纯净的，否则这个字符串就是暗黑的。例如：
BAACAACCBAAA 连续子串"CBA"中包含了'A','B','C'各一个，所以是纯净的字符串
AABBCCAABB 不存在一个长度为3的连续子串包含'A','B','C',所以是暗黑的字符串
你的任务就是计算出长度为n的字符串(只包含'A'、'B'和'C')，有多少个是暗黑的字符串。
输入描述:
输入一个整数n，表示字符串长度(1 ≤ n ≤ 30)
输出描述:
输出一个整数表示有多少个暗黑字符串
示例1
输入
3
输出
21
思路解析
#方式二，这么low的方式是我根据上面的解析写的。递归所以速度慢
num = int(raw_input(""))
def dark(num):
if num == 1:
return 3
elif num==2:
return 9
else:
return 2*dark(num-1) + dark(num-2)
print dark(num)
# 方式一：别人家的代码
n = int(raw_input())
dp = [0]*31
dp[0] = 3
dp[1] = 9
for i in xrange(2, n):
dp[i] = 2*dp[i-1]+dp[i-2]
print dp[n-1]
最后
纸上得来终觉浅，这句话放在什么时候都一样，自己觉得动态规划比较了解了，其实了解个屁，需要重新打打基础！以后再过来更新理解。
