近期多项数学建模竞赛陆续展开，2024“华数杯”已于8月4日开赛，题目类型、难度和国赛类似，所以“华数杯”比赛也可作为9月份国赛前的全真模拟赛。

对于首次参赛的数据分析新手，如何在短时间内提升自己队伍的竞争力？关键在于掌握常用模型和算法，并能熟练运用软件工具。数学建模常用模型大致可分为五类:

• 评价模型

• 预测模型

• 分类模型

• 优化模型

• 统计分析模型

下面将对这些模型的分析步骤以及软件操作进行详细介绍。

一、数学建模常用五类模型

• 评价模型（Evaluation Model）

评价模型主要用于衡量和评估某个对象或过程的性能、效果或质量。通过定义一系列指标和标准，评价模型帮助我们定量或定性地判断研究对象的优劣，并为改进和优化提供依据。在数学建模竞赛中，评价模型用于衡量方案或系统的效果和性能。通过设定具体的评价指标，如准确性、稳定性和效率，竞赛团队可以定量比较不同方案的优劣，进而选择最优的解决方案。

• 预测模型（Prediction Model）

预测模型利用历史数据和统计方法来预测未来的趋势或结果。预测模型在数学建模竞赛中用于预测未来的趋势或结果，基于历史数据和相关变量。竞赛团队可能使用时间序列分析、回归模型或机器学习算法，应用于诸如市场需求预测、人口增长预测等题目。

• 分类模型

分类模型是一种机器学习模型，用于将输入数据分配到预定义的类别中。分类模型在数学建模竞赛中用于将数据分配到预定义的类别中。竞赛题目可能涉及数据分类的问题，如垃圾邮件检测、信用风险评估等，参赛团队可能使用决策树、支持向量机或神经网络来解决这些问题。

• 优化模型（Optimization Model）

优化模型在数学建模竞赛中用于寻找某个目标函数的最优解，通常在特定的约束条件下。竞赛题目可能涉及资源分配、物流配送或生产计划等问题，团队可能使用线性规划、整数规划或其他优化算法来寻找最优解。

• 统计分析模型（Statistical Model）

除了以上四大模型，在数学建模一些小问题的分析中，还会涉及到其他比较简单的统计分析模型，参赛团队可能需要进行数据处理、描述统计、相关分析、假设检验等。通过分析数据的统计特性，揭示数据背后的规律和关系。

其中评价模型、预测模型、分类模型、统计分析模型一些常用算法如下：

接下来，将逐个模型进行说明。

二、评价模型

数学建模中评价类模型的常用算法有层次分析法、灰色关联法、模糊综合评价、TOPSIS法、数据包络分析、组合评价法等。

1、层次分析法

层次分析法是一种多准则决策方法，常用于复杂系统的分析和评价。它通过将复杂问题分解为若干层次和因素，并按照不同因素的重要性进行打分，最终通过合成各层权重得出不同方案的总体评价。AHP的优点在于能够将定性分析与定量分析相结合，结构清晰，易于操作。然而，它也存在主观性较强、一致性检验可能失效等缺点。

AHP层次分析法包括两个步骤，分别是权重计算和一致性检验（SPSSAU会默认输出）；

• SPSSAU软件操作：

AHP层次分析法的数据格式比较特殊，需要手工录入判断矩阵，如下图：

判断矩阵解读：门票相对于景色来讲，重要性更高，所以为3分；相反，景色相对于门票来讲，则为0.33333分。交通相对于景色来更重要为2分，其余类似下去。

2、灰色关联法

灰色关联分析法通过研究数据关联性大小（母序列与特征序列之间的关联程度），通过关联度（即关联性大小）进行度量数据之间的关联程度，从而辅助决策的一种研究方法。

（1）灰色关联法分析步骤：

第一步：确定母序列和特征序列，且准备好数据格式；第二步：针对数据进行无量纲化处理（通常情况下需要）；第三步：求解母序列和特征序列之间的灰色关联系数值；第四步：求解关联度值；第五步：对关联度值进行排序，得出结论。

（2）SPSSAU软件操作

将数据上传至SPSSAU系统，分析页面右侧选择【灰色关联法】；将变量拖拽到右侧相应分析框中，选择“量纲化方式”，点击“开始分析”，操作如下图：

3、模糊综合评价

模糊综合评价是一种处理不确定性和模糊性问题的数学建模方法，它利用模糊数学的理论，将定性评价转化为定量评价。

（1）模糊综合评价分析步骤

第一步：确定评价指标和评语集；第二步：确定权重向量矩阵A和构造权重判断矩阵R；第三步：计算权重并进行决策评价。

（2）SPSSAU软件操作

上传数据至SPSSAU系统，分析页面右侧选择【模糊综合评价】，将变量拖拽到右侧相应的分析框中，点击“开始分析”，操作图下图：

4、TOPSIS法

TOPSIS法即逼近理想解排序法，是一种多属性决策分析工具。该方法通过计算每个方案与理想解和负理想解的距离，来确定各方案的相对优劣。TOPSIS法能够较好地处理多属性决策问题，特别适用于需要考虑多个评价指标的情况。

（1）TOPSIS法分析步骤

第一步：准备好数据，并且进行同趋势化处理（需要研究者自行处理）；第二步：数据归一化处理解决量纲问题（数据处理->生成变量，通常选择‘平方和归一化’）；第三步：找出最优和最劣矩阵向量（SPSSAU自动处理）；第四步：分别计算评价对象与正理想解距离D+或负理想解距离D-；第五步：结合距离值计算得出接近程序C值，并且进行排序，得出结论。

（2）SPSSAU软件操作

上传数据至SPSSAU系统，分析页面右侧选择【TOPSIS法】；将变量拖拽到右侧分析框中；点击“开始分析”，操作如下图：

5、数据包络分析DEA

数据包络分析DEA是一种多指标投入和产出评价的研究方法。其应用数学规划模型计算比较决策单元（DMU）之间的相对效率，对评价对象做出评价。

数据包络分析DEA时，首先需要分析综合效益值θ，即首先判断DMU是否有DEA有效，如果有效，则说明该DMU较优，反之说明‘非DEA有效’，即相对来说还有提升空间，那么提升空间具体在哪里呢，比如提高还是减少规模呢，可以通过规模效益分析得到。与此同时，如果是‘非DEA有效’，那么具体问题是什么，投入冗余还是产出不足，则可以通过对应的投入冗余或产出不足分析表格得出，具体数字直接查看松驰变量即可。

• SPSSAU软件操作

将数据上传至SPSSAU系统，分析页面右侧选择【DEA】，将变量拖拽到右侧相应分析框中，选择“DEA类型”，点击“开始分析”，操作如下图：

6、组合评价法

组合评价法是指将两种或两种以上的评价方法结合起来使用，以弥补单一评价方法的不足，提高评价结果的准确性和可靠性。

• 组合评价法分析步骤：

• 第一步：选择评价方法，根据评价问题的特点，选择几种适合的评价方法，这些方法可以是定性的也可以是定量的。

• 第二步：使用每种选定的评价方法对同一组对象进行独立评价，得到各自的评价结果。

• 第三步：将不同评价方法得到的结果进行整合，整合方式可以是简单的加权平均、排序合并，也可以是更复杂的统计或算法模型。

• 第四步：一致性检验，检查不同评价方法的结果是否一致，如果不一致，分析原因并考虑调整评价方法或权重分配。

• 第五步：根据整合后的结果，对评价对象进行最终评价。

三、预测模型

预测类模型的常用算法有回归分析预测、时间序列预测、灰色预测模型、马尔科夫预测、神经网络、支持向量机等。

（1）回归分析预测

（2）时间序列预测

（3）机器学习预测

四、分类模型

数学建模中常用的分类模型有逻辑回归、决策树、随机森林、朴素贝叶斯、KNN等。

1、逻辑回归

逻辑回归是一种广泛应用于分类问题的统计方法，尽管其名称包含“回归”，但它实际上也是一种用于二分类或多分类问题的分类算法。逻辑回归通过估计一个事件发生的概率来预测类别标签，由于其简单、易于理解和实现，以及在分类问题中的有效性，成为了机器学习和数据分析中非常流行的算法。

• SPSSAU软件操作：

上传数据至SPSSAU系统，分析页面右侧选择【logit回归】；将变量拖拽到右侧分析框中，选择变量进入方式，点击“开始分析”，操作如下图：

2、决策树、随机森林等

决策树、随机森林、朴素贝叶斯、KNN这几种方法均属于机器学习算法，在SPSSAU的机器学习模块中，选择对应分析方法进行分析即可。
以随机森林为例，上传数据至SPSSAU系统，将变量拖拽到右侧相应分析框，选择训练集比例、数据处理方式并进行更多参数设置，操作如下图：

五、统计分析模型

除以上常见的四大模型，在分析各个小点的时候，数学建模还会涉及一些简单的统计分析方法，比如差异性分析、相关性分析、回归分析、聚类分析、数据降维分析等，具体常用方法如下：

1、差异性分析

数学建模中常用的差异性分析方法包括t检验、方差分析、卡方检验等，它们可以用于判断样本和总体之间是否存在显著差异，以及变量之间是否存在相关性或影响关系。

2、相关性分析

相关分析用于分析变量之间的相关关系，包括是否有关系以及关系的紧密程度。在数学建模中，相关分析可用于衡量变量的关联性、选择变量、验证假设和推断、变量优化等。SPSSAU提供三类相关系数：Pearson系数、Spearman系数、Kendall协调系数。

• 三类相关系数及使用场景：

3、回归分析

回归分析简单来讲就是用于分析自变量X与因变量Y之间的影响关系的方法。回归分析主要基于自变量X的值预测因变量Y的值，通过构造回归模型，帮助理解自变量如何影响因变量，以及各个自变量对因变量的影响程度。
回归分析可细分为40多种，常用的有多元线性回归、logistic回归、岭回归、逐步回归、lasso回归等。关于回归分析往期内容进行过详细说明

4、聚类分析

聚类分析方法可分为Q型聚类和R型聚类，如下图：

5、数据降维

因子分析和主成分分析都是常用的数据降维方法，但它们的应用场景略有不同。主成分分析适合于变量之间相关性较高、需要提取重要变量或简化数据结构的情况；而因子分析适合于探索潜在因素、发现变量之间的共性或隐含关系的情况。选择哪种方法取决于具体的分析目的和数据特征。

使用SPSSAU进行数学建模，非常方便且智能。SPSSAU作为一款在线数据分析平台，提供了丰富的统计分析功能和简洁的操作界面，让数学建模变得更加高效。无论是数据处理、模型构建还是结果解读，SPSSAU都能以直观的方式帮助用户轻松完成，大大提升了数学建模的便捷性和智能化水平。