何谓无偏估计
就是用某个公式对采样后的样本进行统计,比如求样本的方差,这个方差会随着样本的不同而有浮动,或者说通过样本得到的方差是个随机变量,多次采样后可以对样本的方差求期望,如果方差的期望中没有变量则说明计算样本方差的公式是合理的,换句话说：用这种公式进行估计没有系统上的偏差，产生误差是随机因素造成的（跟你每次采样的运气有关）
前提
下面的证明过程以离散型随机变量为例，用连续型也OK，没有影响
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样本均值
样本均值计算公式
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这样估计样本均值是合理的吗?通过计算样本均值的期望进行检验
样本均值无偏检验
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因为x_j是随机的，所以导致样本均值是个随机变量
采用这个公式计算样本均值,样本均值的期望就是真实期望μ,所以无偏!
样本方差
样本方差计算公式
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样本方差无偏检验
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由此可以看出,通过上面的公式S² = 1/n(Σ(Xi-X拔)²)计算方差, 样本方差的期望和样本数量n有关,这样就是有偏估计了,需要调整公式,调整为：
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此时，样本方差的期望为：
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采用公式S² = 1/n(Σ(Xi-X拔)²)计算样本方差,样本方差的期望就是真实方差σ² ,所以无偏!
总结
- 样本x_j是随机的，进而导致样本均值和样本方差是随机变量，所以要对样本均值和样本方差求期望进行无偏检验
- 样本均值计算公式: X拔 = 1/n(ΣXi)
- 样本方差计算公式: S² = 1/(n-1)(Σ(Xi-X拔)²)
- 真实均值：E[X] = μ ；真实方差Var[X]=E[(X-μ)²] = σ²
- 样本均值的期望是μ，所以E[(X拔-μ)²] = Var(X拔)
- 貌似在最大似然估计中,样本方差可以按照有偏的方法计算,因为样本非常多时,(n-1)σ²/n ≈ σ²
