今天我汇报的主要内容是这篇文献当中所介绍的三格点ssh模型的体边对应关系。主要分为两部分，第一部分介绍该模型所具有的点手性对称性，第二部分即体边对应关系。
Ssh3模型如图所示，每个原胞内有三个格点A、B、C，格点间的跳跃强度分别为u、v，原胞间的跳跃强度为w。关于经典的ssh模型之前有很多同学已经介绍过，这里直接给出动量空间下ssh3模型的哈密顿量，右图是色散关系，参数取值如图u=1.5，v=0.5，w=1.0.
一、若存在幺正算符作用在H上变为-H，我们就说该系统的哈密顿量具有手性对称性。手性对称性要求能谱是对称的，如果有一个能量为En的本征态phi n；那么gama phi n也是H的本征态，能量为-En。所以，ssh3 模型并不存在手性对称性。虽然ssh3模型并不存在手性对称性，但是我们可以从另一个角度看待这个模型，如果将ssh3模型的两个相邻原胞组合在一起，即构成ssh6模型，ssh6模型具有手性对称性，手性算符gama长这个样子。作为ssh6的子系统，应该继承ssh6的一些属性，即ssh3模型在k=pi/2点处具有点手性对称性，能谱关于（pi/2，0）这个点是中心对称的，对于左半部分也是一样的。用公式表示即如下的形式，gama p H gama p dagger 等于 -H（pi+k）。点手性对称性将导致结果：本征态总是成对出现，能量相反，并且对应的本征态可以通过点手性算符作用得到。并且本征态在奇数和偶数格点上有相同的概率幅。右图绘制了w等于3时的四个边缘态的概率幅。红色代表A格点，绿色代表B格点，蓝色代表C格点，可以看到在奇数和偶数位置的概率幅相同。
（问问题）
二、接下来，我们介绍文章中给出的体边对应关系。先介绍一下整体的思路，首先构造体态解并从中提取体拓扑数，然后在开边界久期方程中带入周期性解条件，得到体态解。将其与先前的体态解条件对比，得到体态解的数目，缺失的态即为边缘态。对比拓扑数与边缘态的数目，在相同的跃迁参数下一一对应。 最后绘制出相边界。
1、从体态中提取的拓扑数定义为归一化子格zak phase。在无限长的链中，由于平移对称性，可以取bloch波形式的解，小写的拉姆达是能带指标，大写的lamda为归一化因子，exp为平面波，n原胞数, A\B\C为不同格点上的展开系数，为了方便计算，将第三个格点的相位取作0。通过施加边界条件a、b，可以在周期链中取开边界的链。边界条件a可以通过周期性解叠加得到，这里用到了时间反演对称性对theta 和 lamda的要求，将叠加后的态进行化简。容易验证，时间反演算符sigma 0 k，时间反演态phi star -k满足相同的薛定谔方程，具有相同形式的解，要求a为偶函数，theta为奇函数。边界条件b要求theta a具有特定的取值。也就是说周期性解的数量由theta中n lamda取值个数决定。既然体态解的个数隐藏在theta中，我们自然的想将这一信息提取，定义为规一化子晶格ZAK phase，作为体拓扑数。Pa为子格A的投影算符，第二个等号用到了时间反演对称性要求的theta为奇函数，化简到半布里渊区。
（问问题）
2、Theta除了满足上述条件之外，还应受到跳跃参数 u、v、w的制约。我们通过求解开边界哈密顿量中加入周期解的条件得到相应的解。首先，我们通过定义一个记号，将久期方程化简为一组方程，这有利于后面使用递推公式。X1：3大N代表3Nx3N完整的链的行列式。n代表原胞数，i代表原胞内的格点数。将2、3式带入一式中，得到只关于xn1的方程式。然后将周期边界条件带入，得到4式。再做两步变量代换，得到5式，其具有第二类切比雪夫多项式的形式，。第二类切比雪夫多项式具有如下的递推关系，容易验证Un cosx = sin n+1 x 除sinx。同样的w递推关系式也具有这种形式，x替换为cosk。久期方程即Un+a lamdaU n-1=0。化简之后得到由跳跃参数决定的体态解条件。
（问问题）
3将两个条件对比，我们取theta = phi。现在我们可以求由特定的跳跃参数强度决定的体拓扑数 NS ZAK phase。这里以两个不同能带、不同参数的情形为例，画出theta在半布里渊区的曲线，与文章所给表格结果一致。Lamda代表能带，Z ref在不取其他规范下可以认为是0，它的值是在a、b均大于1时的任意能带的NS ZAK phase值，可以看到其值都为0，这里引入Z ref是为了让我们的体拓扑数成为一个规范不变量。
4、接下来我们计算边缘态，这里以lamda=1 N=10为例。我们将两组条件在半布里渊区绘制出来，交点即为体态解，若等于N，全为体态，若少于N，少的个数即为边缘态。除去两个端点，因为k=0 or pi时，波函数为0。当a、b都大于1时，交点刚好是10个；当a、b都小于1时，交点为8个。这与体拓扑数NS ZAK phase除上pi 一一对应。我们也绘制了不同跳跃参数下，开边界的能谱。可以看到右图，在a、b均小于1时，中间带存在两个边缘态。（问问题）
5、最后，我们绘制出相边界。第一个是因为缺失的体态总是在边缘处，曲线应满足的斜率条件，左图绘制了中带和顶带分别在N=2，10，1000时的相变曲线图，分别是蓝色、红色和绿色。 第二个是参数空间中分隔不同NS ZAK phase的值由这个方程决定。右图绘制了不同参数时，低于零能量的边缘态数目，即先前表格中所给的结果。可以看到在N比较大的时候，二者边界一致，从而进一步验证了体边对应关系。
