Chapter1——极限与连续

1. 数列极限

1.1 定义

设 $x_{n}$ 为一数列， $a$ 为常数，如果对于任意给定的正数 $\varepsilon$ ，存在正整数 $N$ ，使得当 $n\gt N$ 时，恒有
$|x_{n} - a| < \varepsilon$
成立，则称数列 $x_{n}$ 以 $a$ 为极限。

为了表达方便，我们可以用以下形式化语言表述：
$\lim_{n\rightarrow \infty}x_{n}=a\Leftrightarrow \forall\varepsilon>0,\exists N\in N^{*},当n>N时，有|x_{n}-a|< \varepsilon$

1.2 性质

收敛数列极限唯一
如果数列收敛，那么数列一定有界

2. 函数极限

2.1 自变量趋向于无穷大定义

$\lim_{x\rightarrow \infty}f(x)=A\Leftrightarrow \forall\varepsilon>0,\exists X>0,当|x|>X,有|f(x)-A|< \varepsilon$

2.2 自变量趋向于有限值函数极限定义

设函数 $y=f(x)$ 在 $x_{0}$ 的某去心邻域内有定义。如果对于任意给定的正数 $\varepsilon$ ，总存在正数 $\delta$ ，使得对于适合不等式 $0<|x-x_{0}|<\delta$ 的一切 $x$ ，对应的函数值满足 $|f(x)-A|<\varepsilon$ ，那么常数A称为函数 $f(x)$ 当 $x\rightarrow x_{0}$ 的极限。

$\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)=A\Leftrightarrow \forall\varepsilon>0,\exists\delta>0,当0<|x-x_{0}|<\delta, 有|f(x)-A|< \varepsilon$

2.3 右极限定义

$\lim_{x\rightarrow x_{0}^{+}}f(x)=A\Leftrightarrow \forall\varepsilon>0,\exists\delta>0,当x_{0}<x<x_{0}+\delta, 有|f(x)-A|< \varepsilon$

2.4 左极限定义

$\lim_{x\rightarrow x_{0}^{-}}f(x)=A\Leftrightarrow \forall\varepsilon>0,\exists\delta>0,当x_{0}-\delta<x<x_{0}, 有|f(x)-A|< \varepsilon$

2.5 函数极限与数列极限关系（海涅定理）

对于 $\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)=A$ ，只要 $\lim_{n\rightarrow \infty} x_{n} = x_{0}$ ，则 $\lim_{n\rightarrow \infty} f(x_{n})= A$ 。

3. 无穷小量和无穷大量

无穷小量：在某一极限过程中，其极限值为0
无穷大量：在某极限过程中，其极限趋向于无穷

3.1 性质

有界函数与无穷小量的乘积为无穷小。（重要）
有限个无穷小量的乘积仍然是无穷小。
无穷小量和无穷大量均是一个变量。
若函数在 $x\rightarrow x_{0}$ 时是无穷大，那么必然存在一个 $x_{0}$ 的去心邻域 $U^{*}(x_{0},\delta)$ ，在此邻域中 $f(x)$ 一定无界。

3.2 等价无穷小和无穷小的替换法则

(1). $\sin x\sim x,\tan x \sim x$ 。
(2). $1- \cos x \sim \frac{1}{2}x^{2}$ >
(3). $\sqrt[n]{1+x} - 1 \sim \frac{1}{n}x$

4. 极限的两个重要准则

4.1 夹逼准则

设数列 $x_{n}, y_{n},z_{n}$ 满足以下两个条件：
(1). $y_{n}\le x_{n}\le z_{n}, n\ge1$ 。
(2). $\lim_{n\rightarrow \infty}y_{n}=a,\lim_{n\rightarrow \infty}z_{n}=a$
则 $\lim_{n\rightarrow \infty}x_{n}=a$

4.2 单调有界收敛准则

如果数列或函数有界，并且是单调的，那么他一定收敛。

4.3 两个重要的极限

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin(x)}{x}=1$
$\lim_{x\rightarrow \infty}(1+ \frac{1}{x})^{x}=e$

5. 函数的连续性和间断点（重要）

5.1 函数在一点的连续性定义

设函数 $y=f(x)$ 在 $x_{0}$ 的某邻域内有定义，如果
$\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)=f(x_{0})$
则称 $y=f(x)$ 在 $x_{0}$ 连续。

左连续定义： $\lim_{x\rightarrow x_{0}^{-}}f(x)=f(x_{0})$
右连续定义： $\lim_{x\rightarrow x_{0}^{+}}f(x)=f(x_{0})$

5.2 函数在某区间上连续的定义

若函数在开区间 $(a,b)$ 内处处连续，那么称函数在 $(a,b)$ 内连续；若函数在 $(a,b)$ 连续，且在左端点 $a$ 右连续，右端点 $b$ 左连续，则它在闭区间 $[a,b]$ 连续。

5.3 定理：初等函数在其定域内中处处连续

5.4 间断点

若 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 某去心邻域有定义，且在 $x_{0}$ 不连续，则 $x_{0}$ 为间断点。间断点存在于下列三种情况之一：
(1). $f(x)$ 在 $x_{0}$ 无定义。
(2). $f(x)$ 在 $x_{0}$ 有定义，但极限不存在。
(3). $f(x)$ 在 $x_{0}$ ，极限存在，但 $\lim_{x\rightarrow x_{0}} f(x)\ne f(x_{0})$ 。

间断点的分类：

第一类间断点： $\lim_{x\rightarrow x_{0}} f(x)$ 的左右极限存在。若左右极限相等，则是可取间断点。否则为跳跃间断点。
第二类间断点：凡不是第一类间断点都是第二类

6. 闭区间连续函数的介值定理

设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 连续，有 $f(a)=A,f(b)=B$ ，且 $A\ne B$ ，那么对于任意一个 $C\in (A,B)$ ，在 $(a,b)$ 一定存在一点 $\varepsilon$ ，使得 $f(\varepsilon)=C$