Softmax、交叉熵损失函数及导数

这是一个简单的神经网络，输出层的激活函数为SoftMax，根据定义，输出层各节点的输出值为：
$y_{j}=\frac{e^{u_{j}}}{\sum_{k} e^{u_{k}}}$

其中 $u_{j}$ 是该节点的输入
$u_{j}=\sum_{i} w_{i j} x_{i}$

$x_{i}$ 是上一层节点的输出值， $w_{i,j}$ 是权重，所以：
$y_{j}=\operatorname{softmax}\left(u_{j}\right)=\frac{e^{u_{j}}}{\sum_{k} e^{u_{k}}}$

再来看损失函数：
$L=-\sum_{j} z_{j} \ln y_{j}$

$z_{j}$ 是训练实例的标签值：
$Z=\left\{z_{1}, z_{2}, \cdots, z_{j}\right\}$
显然，只有一个是正确分类，所以向量里只有一个分量值为1，其余都是0：
$Z=\left\{0,0, \cdots, z_{t}, \cdots\right\}=\{0,0, \cdots, 1, \cdots\}$

t是正确类别的下标，所以：
$L=-\ln y_{t}$

例如一个三分类的任务，正确分类是第二个，输出结果是[0.3,0.5,0.2]，所以这里的误差为：
$L=-\ln (0.5)=0.693$
再比如输出为[0.4,0.15,0.45]：
$L=-\ln (0.15)=1.897$
显然，输出是[0,1,0]时误差是0，现在要根据误差来求得 $w_{i,j}$ 的梯度：
$\frac{\partial L}{\partial w_{i j}}=\frac{\partial L}{\partial u_{j}} \frac{\partial u_{j}}{\partial w_{i j}}=\frac{\partial L}{\partial u_{j}} x_{i}$
$\frac{\partial L}{\partial u_{j}}=-\frac{\partial \ln y_{t}}{\partial u_{j}}=-\frac{\partial \ln \frac{e^{u_{t}}}{\sum_{k} e^{u_{k}}}}{\partial u_{j}}$
$\ln \frac{e^{u_{t}}}{\sum_{k} e^{u_{k}}}=\ln e^{u_{t}}-\ln \sum_{k} e^{u_{k}}$

这里求的是 $L$ 关于 $u_{j}$ 的梯度，所以要分两种情况讨论，第一种是当 $j=t$ 时：
$\frac{\partial \ln \frac{e^{u_{t}}}{\sum_{k} e^{u_{k}}}}{\partial u_{j}}=\frac{\partial\left(\ln e^{u_{j}}-\ln \sum_{k} e^{u_{k}}\right)}{\partial u_{j}}=\frac{\partial \ln e^{u_{j}}}{\partial u_{j}}-\frac{\partial \ln \sum_{k} e^{u_{k}}}{\partial u_{j}}=1-\frac{\partial \ln \sum_{k} e^{u_{k}}}{\partial u_{j}}$
$\frac{\partial \ln \sum_{k} e^{u_{k}}}{\partial u_{j}}=\frac{\partial \ln \sum_{k} e^{u_{k}}}{\partial \sum_{k} e^{u_{k}}} \frac{\partial \sum_{k} e^{u_{k}}}{\partial_{k} e^{u_{k}}}=\frac{1}{\sum_{k} e^{u_{k}}} \frac{\partial \sum_{k} e^{u_{k}}}{\partial u_{j}}=\frac{e^{u_{j}}}{\sum_{k} e^{u_{k}}}=y_{j}$

所以：
$\frac{\partial L}{\partial u_{j}}=y_{j}-1$
$\frac{\partial L}{\partial w_{i j}}=\frac{\partial L}{\partial u_{j}} \frac{\partial u_{j}}{\partial w_{i j}}=\left(y_{j}-1\right) x_{i}$

而当 $j \neq t$ 时， $u_{j}$ 并不影响 $e^{u_{t}}$ ，所以：
$\frac{\partial \ln \frac{e^{u_{t}}}{\sum_{k} e^{u_{k}}}}{\partial u_{j}}=\frac{\partial\left(\ln e^{u_{t}}-\ln \sum_{k} e^{u_{k}}\right)}{\partial u_{j}}=-y_{j}$
$\frac{\partial L}{\partial u_{j}}=y_{j}$
$\frac{\partial L}{\partial w_{i j}}=y_{j} x_{i}$

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