1. 图
1.1. 概念
- 顶
- 顶点的度 d
- 边
- 相邻
- 重边
- 环
- 完全图: 所有顶都相邻
- 二分图:
, X中, Y 中任两顶不相邻
- 轨道
- 圈
1.1.1. 性质
- G是二分图
G无奇圈
- 树是无圈连通图
- 树中,
1.2. 图的表示
- 邻接矩阵
-
邻接链表
1.3. 树
无圈连通图, , 详细见树,
2. 搜索--求图的生成树[1]
2.1. BFS
for v in V:
v.d = MAX
v.pre = None
v.isFind = False
root. isFind = True
root.d = 0
que = [root]
while que !=[]:
nd = que.pop(0)
for v in Adj(nd):
if not v.isFind :
v.d = nd.d+1
v.pre = nd
v.isFind = True
que.append(v)
时间复杂度
2.2. DFS
def dfs(G):
time = 0
for v in V:
v.pre = None
v.isFind = False
for v in V : # note this,
if not v.isFind:
dfsVisit(v)
def dfsVisit(G,u):
time =time+1
u.begin = time
u.isFind = True
for v in Adj(u):
if not v.isFind:
v.pre = u
dfsVisit(G,v)
time +=1
u.end = time
begin, end 分别是结点的发现时间与完成时间
2.2.1. DFS 的性质
- 其生成的前驱子图
形成一个由多棵树构成的森林, 这是因为其与 dfsVisit 的递归调用树相对应
-
括号化结构
- 括号化定理:
考察两个结点的发现时间与结束时间的区间 [u,begin,u.end] 与 [v.begin,v.end]- 如果两者没有交集, 则两个结点在两个不同的子树上(递归树)
- 如果 u 的区间包含在 v 的区间, 则 u 是v 的后代
2.3. 拓扑排序
利用 DFS, 结点的完成时间的逆序就是拓扑排序
同一个图可能有不同的拓扑排序
2.4. 强连通分量
在有向图中, 强连通分量中的结点互达
定义 为
中所有边反向后的图
将图分解成强连通分量的算法
在 Grev 上根据 G 中结点的拓扑排序来 dfsVisit, 即
compute Grev
initalization
for v in topo-sort(G.V):
if not v.isFind: dfsVisit(Grev,v)
然后得到的DFS 森林(也是递归树森林)中每个树就是一个强连通分量
3. 最小生成树
利用了贪心算法,
3.1. Kruskal 算法
总体上, 从最开始 每个结点就是一颗树的森林中(不相交集合, 并查集), 逐渐添加不形成圈的(两个元素不再同一个集合),最小边权的边.
edges=[]
for edge as u,v in sorted(G.E):
if find-set(u) != find-set(v):
edges.append(edge)
union(u,v)
return edges
如果并查集的实现采用了 按秩合并与路径压缩技巧, 则 find 与 union 的时间接近常数
所以时间复杂度在于排序边, 即 , 而
, 所以
, 时间复杂度为
3.2. Prim 算法
用了 BFS, 类似 Dijkstra 算法
从根结点开始 BFS, 一直保持成一颗树
for v in V:
v.minAdjEdge = MAX
v.pre = None
root.minAdjEdge = 0
que = priority-queue (G.V) # sort by minAdjEdge
while not que.isempty():
u = que.extractMin()
for v in Adj(u):
if v in que and v.minAdjEdge>w(u,v):
v.pre = u
v.minAdjEdge = w(u,v)
- 建堆
//note it's v, not vlgv - 主循环中
- extractMin:
- in 操作 可以另设标志位, 在常数时间完成, 总共
- 设置结点的 minAdjEdge, 需要
, 循环 E 次,则 总共
- extractMin:
综上, 时间复杂度为
如果使用的是 斐波那契堆, 在 设置 minAdjEdge时 调用 decrease-key, 这个操作摊还代价为 , 所以时间复杂度可改进到
4. 单源最短路
求一个结点到其他结点的最短路径, 可以用 Bellman-ford算法, 或者 Dijkstra算法.
定义两个结点u,v间的最短路
问题的变体
- 单目的地最短路问题: 可以将所有边反向转换成求单源最短路问题
- 单结点对的最短路径
- 所有结点对最短路路径
最短路的子路径也是最短路径
为从结点
到
的一条最短路径, 对于任意
, 记
为 p 中
到
的子路径, 则
为
到
的一条最短路径
4.1. 负权重的边
Dijkstra 算法不能处理, 只能用 Bellman-Ford 算法,
而且如果有负值圈, 则没有最短路, bellman-ford算法也可以检测出来
4.2. 初始化
def initialaize(G,s):
for v in G.V:
v.pre = None
v.distance = MAX
s.distance = 0
4.3. 松弛操作
def relax(u,v,w):
if v.distance > u.distance + w:
v.distance = u.distance + w:
v.pre = u
性质
- 三角不等式:
- 上界:
- 收敛: 对于某些结点u,v 如果s->...->u->v是图G中的一条最短路径，并且在对边，进行松弛前任意时间有
则在之后的所有时间有
- 路径松弛性质: 如果
是从源结点下v0到结点vk的一条最短路径，并且对p中的边所进行松弛的次序为
, 则
该性质的成立与任何其他的松弛操作无关，即使这些松弛操作是与对p上的边所进行的松弛操作穿插进行的。
证明
4.4. 有向无环图的单源最短路问题
def dag-shortest-path(G,s):
initialize(G,s)
for u in topo-sort(G.V):
for v in Adj(v):
relax(u,v,w(u,v))
4.5. Bellman-Ford 算法
def bellman-ford(G,s):
initialize(G,s)
for ct in range(|V|-1): # v-1 times
for u,v as edge in E:
relax(u,v,w(u,v))
for u,v as edge in E:
if v.distance > u.distance + w(u,v):
return False
return True
第一个 for 循环就是进行松弛操作, 最后结果已经存储在 结点的distance 和 pre 属性中了, 第二个 for 循环利用三角不等式检查有不有负值圈.
下面是证明该算法的正确性
4.6. Dijkstra 算法
, 要求不能有负值边
Dijkstra算法既类似于广度优先搜索（，也有点类似于计算最小生成树的Prim算法。它与广度优先搜索的类似点在于集合S对应的是广度优先搜索中的黑色结点集合：正如集合S中的结点的最短路径权重已经计算出来一样，在广度优先搜索中，黑色结点的正确的广度优先距离也已经计算出来。Dijkstra算法像Prim算法的地方是，两个算法都使用最小优先队列来寻找给定集合（Dijkstra算法中的S集合与Prim算法中逐步增长的树）之外的“最轻”结点，将该结点加入到集合里，并对位于集合外面的结点的权重进行相应调整。
def dijkstra(G,s):
initialize(G,s)
paths=[]
q = priority-queue(G.V) # sort by distance
while not q.empty():
u = q.extract-min()
paths.append(u)
for v in Adj(u):
relax(u,v,w(u,v))
5. 所有结点对的最短路问题
5.1. 矩阵乘法
使用动态规划算法, 可以得到最短路径的结构
设 为从结点i 到结点 j 的至多包含 m 条边的任意路径的最小权重,当m = 0, 此时i=j, 则 为0,
可以得到递归定义
由于对于所有 j, 有 ,所以上式后面的等式成立.
由于是简单路径, 则包含的边最多为 |V|-1 条, 所以
所以可以从自底向上计算, 如下
输入权值矩阵 ,输出
, 其中
,
def f(L, W):
n = L.rows
L_new = new matrix(row=n ,col = n)
for i in range(n):
for j in range(n):
L_new[i][j] = MAX
for k in range(n):
L_new[i][j] = min(L_new[i][j], L[i][k]+w[k][j])
return L_new
可以看出该算法与矩阵乘法的关系
,
所以可以直接计算乘法, 每次计算一个乘积是 , 计算 V 次, 所以总体
, 使用矩阵快速幂可以将时间复杂度降低为
def f(W):
L = W
i = 1
while i<W.rows:
L = L*L
i*=2
return L
5.2. Floyd-Warshall 算法
同样要求可以存在负权边, 但不能有负值圈. 用动态规划算法:
设 为 从 i 到 j 所有中间结点来自集合
的一条最短路径的权重. 则有
而且为了找出路径, 需要记录前驱结点, 定义如下前驱矩阵 , 设
为 从 i 到 j 所有中间结点来自集合
的最短路径上 j 的前驱结点
则
对
由此得出此算法
def floyd-warshall(W):
n = len(W)
D= W
initialize pre
for k in range(n):
pre2 = pre.copy()
for i in range(n):
for j in range(n)
if d[i][j] > d[i][k]+d[k][j]:
d[i][j] =d[i][k]+d[k][j]
pre2[i][j] = pre[k][j]
pre = pre2
return d,pre
5.3. Johnson 算法
思路是通过重新赋予权重, 将图中负权边转换为正权,然后就可以用 dijkstra 算法(要求是正值边)来计算一个结点到其他所有结点的, 然后对所有结点用dijkstra
- 首先构造一个新图 G'
先将G拷贝到G', 再添加一个新结点 s, 添加 G.V条边, s 到G中顶点的, 权赋值为 0 - 用 Bellman-Ford 算法检查是否有负值圈, 如果没有, 同时求出
- 求新的非负值权, w'(u,v) = w(u,v)+h(u)-h(v)
-
对所有结点在 新的权矩阵w'上 用 Dijkstra 算法
image.png
JOHNSON (G, u)
s = newNode
G' = G.copy()
G'.addNode(s)
for v in G.V: G'.addArc(s,v,w=0)
if BELLMAN-FORD(G' , w, s) ==FALSE
error "the input graph contains a negative-weight cycle"
for v in G'.V:
# computed by the bellman-ford algorithm, delta(s,v) is the shortest distance from s to v
h(v) = delta(s,v)
for edge(u,v) in G'.E:
w' = w(u,v)+h(u)-h(v)
d = matrix(n,n)
for u in G:
dijkstra(G,w',u) # compute delta' for all v in G.V
for v in G.V:
d[u][v] = delta'(u,v) + h(v)-h(u)
return d
6. 最大流
G 是弱连通严格有向加权图, s为源, t 为汇, 每条边e容量 c(e), 由此定义了网络N(G,s,t,c(e)),
- 流函数
其中是以 v 为头的边集,
是以 v 为尾的边集
- 流量:
- 截
:
- 截量
6.1. 定理[2]
- 对于任一截
prove -
证明: 由上面定理
而, 则
- 最大流,最小截: 若
, 则F'是最大流量, C(S) 是最小截量
6.2. 多个源,汇
可以新增一个总的源,一个总的汇,
6.3. Ford-Fulkerson 方法
由于其实现可以有不同的运行时间, 所以称其为方法, 而不是算法.
思路是 循环增加流的值, 在一个关联的"残存网络" 中寻找一条"增广路径", 然后对这些边进行修改流量. 重复直至残存网络上不再存在增高路径为止.
def ford-fulkerson(G,s,t):
initialize flow f to 0
while exists an augmenting path p in residual network Gf:
augment flow f along p
return f
6.3.1. 残存网络
6.3.2. 增广路径
6.3.3. 割
6.4. 基本的 Ford-Fulkerson算法
def ford-fulkerson(G,s,t):
for edge in G.E: edge.f = 0
while exists path p:s->t in Gf:
cf(p) = min{cf(u,v):(u,v) is in p}
for edge in p:
if edge in E:
edge.f +=cf(p)
else: reverse_edge.f -=cf(p)
