2. 高维运动的描述

高维运动的描述

本次课会涉及下列数学符号 f(x)

$\Delta$ , $\vec{r}$ , $\vec{i}$ , $\frac{x}{y}$ , $\cos(t)$ , $\omega$ , $t_2$ , $t_1$ , $\sqrt{x}$ , $v_x^2$ , $\pi$ , $\neq$

对应的代码为

$\Delta$, $\vec{r}$, $\vec{i}$, $\frac{x}{y}$, $\cos(t)$, $\omega$, $t_2$, $t_1$, $\sqrt{x}$, $v_x^2$, $\pi$, $\neq$

知识点

平面直角坐标系下的矢量

$\vec{f}=f_x\vec{i}+f_y\vec{j}$

有大小，有方向。大小为 $f=|\vec{f}|=\sqrt{f_x^2+f_y^2}$

我们约定，小写字母 $f$ 都是对应的矢量 $\vec{f}$ 的大小。
位矢 $\vec{r}$ ，速度 $\vec{v}$ , 加速度 $\vec{a}$

$\vec{r}=4t\vec{i}-\frac{1}{2}gt^2\vec{j}$

则速度 $\vec{v}=\frac{d\vec{r}}{dt}=4\vec{i}-gt\vec{j}$

加速度 $\vec{a}=\frac{d\vec{v}}{dt}=-g\vec{j}$

借助速度和加速度，我们可以对运动情况进行分析：该运动为水平速度恒定，竖直方向加速度恒定的运动。
轨迹方程 关于 $y(x)$ 的方程，不关心时间。
- 写成分量式
  $\begin{cases} x=4t & ,\\ y=-\frac{1}{2}gt^2 & , \end{cases}$
- 消元法除掉 $t$ ，只得到 $y(x)$ 即可。
位矢的大小 $r$ ，速率 $v$ ，加速度的大小 $a$

例子：

$\vec{r}=3t^2\vec{i}+3\sin(4t)\vec{j}$ ，求 $\vec{v}(t)$ , $v(t)$ , $a(t)$ , 以及何时加速度最大。

$\vec{v}=6t\vec{i}+12\cos 4t \vec{j}$

$v=\sqrt{36t^2+144(\cos 4t)^2}$

$a\neq\frac{dv(t)}{dt}$ 对吗？~~不对！反例：匀速率圆周运动。~~
- $a=|\frac{d\vec{v}(t)}{dt}|$
一段时间的路程 $\Delta s$ ，半径的增量 $\Delta r$ ，位移 $\Delta \vec{r}$
- $\Delta s$ 的几何意义：起点、终点间轨迹的长度
- $\Delta \vec{r}$ 的几何意义：起点指向终点的有向线段
- $\Delta r$ 的几何意义：与原点间距离的增量
- $\Delta S \ge |\Delta \vec{r}|$
  - 等号成立的条件：
    - 极限情况 $dS = |d\vec{r}|$
    - 单向直线运动
曲线运动的加速度 $\vec{a}$
- 匀速圆周运动的加速度
  - 向心加速度，或法向加速度，符号 $a_n$ 。作用是改变速度的方向。
- 直线运动的加速度
  - 切向加速度。符号 $a_t$ 。作用是改变速度的大小。
- 变速圆周运动的加速度
  - $\vec{a}=a_n \vec{e}_n + a_t \vec{e}_t=\frac{v^2}{R} \vec{e}_n + \frac{dv}{dt} \vec{e}_t$
- 一般曲线运动的加速度表达式
  - 加速度的大小
  - 曲率半径

表达题

质点在Oxy 平面内运动,其运动方程为 $\vec{r}=3t\ \vec{i}+(1-t^{2})\ \vec{j}$ ．则在 $t_{1}=1$ 到 $t_{2}=5$ 时间内的平均速度为

解答： $\overline{\vec{v}}=\frac{\Delta r}{\Delta t}=\frac{\vec{r}(5)-\vec{r}(1)}{t_{2}-t_{1}}=\frac{12\vec{i}-24\vec{j}}{4}=3\vec{i}-6\vec{j}$

设质点的运动学方程为 $\vec{r}=R\cos\omega t\ \vec{i}+R\sin\omega t\ \vec{j}$ (式中 $R$ 、 $\omega$ 皆为常量) 则质点的速度为

解答：记得 $\cos t$ 求导得 $-\sin t$ ，而 $\cos\omega t$ 求导得 $-\omega\sin t$ .

轨迹方程的求法，令 $x(t)=R\cos\omega t$ , $y(t)=R\sin\omega t$ ，平方相加，消元法消去 $t$ ，得到 $y$ 与 $x$ 的函数关系记为轨迹： $x^{2}+y^{2}=R^{2}$ .

已知 $v=|\vec{v}|=\sqrt{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}=\omega R$ ，不随时间变化，故为匀速圆周远动。

运动学的一个核心问题是已知运动方程，求速度和加速度。质点的运动方程为
$\begin{cases} x=-10t+30t^{2} & ,\\ y=15t-20t^{2} & , \end{cases}$
则 $t$ 时刻的速度与速率

解答：直角坐标形式，知 $\vec{v}=30t\vec{i}-40t\vec{j}$ 。继续求导即可。最后别忘了 $v$ 和 $\vec{v}$ 的差别，前者是速度的大小，后者是速度矢量。

质点作曲线运动,在时刻 $t$ 质点的位矢为 $\vec{r}$ ,速度为 $\vec{v}$ ,速率为 $v$ ， $t$ 至 $t+\Delta t$ 时间内的位移为 $\Delta r$ ，路程为 $\Delta s$ ，位矢大小的变化量为 $\Delta r$
( 或称 $\Delta|\vec{r}|$ ),平均速度为 $\overline{\vec{v}}$ ,平均速率为 $v$ ．根据上述情况,则必有

解答： $f(\theta)$

速度的表达式为 $\vec{v}(t)=\frac{d\vec{r}(t)}{dt}$ ，初学者可能误认为对于任意时刻 $t_{0}$ 有 $\vec{v}(t_{0})=\frac{d\vec{r}(t_{0})}{dt}$ ，这是错误的。这只是一个记号，它的真实含义是任意时刻 $t_{0}$ ， $\vec{v}(t_{0})=\frac{\vec{r}(t_{0}+dt)-\vec{r}(t_{0})}{dt}$ ，实际运算中用求导法则计算。比如，已知质点的运动方程为 $\vec{r}(t)=2t\vec{i}+(4-t^{2})\vec{j}$ ，则 $t=2$ 时刻位矢为 $\vec{r}(2)=4\vec{i}$ , 那么 $t=2$ 时刻的速度呢？ $\vec{v}=\frac{d(4\vec{i})}{dt}=0$ 吗？遵循这一思路，请求出该质点在 $t=2$ 时刻的加速度

解答： $\vec{a}=-2\vec{j}$

理解抽象符号是深入学习的必备条件之一。一个质点，在 $t$ 时刻位矢为 $\vec{r}$ ,离开原点的距离为 $r$ (简称半径，大小为 $r=|\vec{r}|$ )；在 $t'$ 时刻位矢为 $\vec{r}'$ ,离开原点的距离为 $r'$ ；在 $t$ 至 $t'$ 时间内：走过的路程(轨迹的长度)为 $\Delta s$ , 位矢的增量(末态-初态,简称位移)为 $\Delta\vec{r}=\vec{r}'-\vec{r}$ ，半径的增量为 $\Delta r$ ( 末态-初态，大小为 $\text{Δ}r=r'-r$ )。设一个质点以坐标原点为圆心、以1为半径，做逆时针的圆周运动， $t$ 时刻在(1,0)位置， $t'$ 时刻第一次转到(0,1)位置。则这短时间内的 $\Delta s$ 、 $\text{Δ}\vec{r}$ 、 $\Delta r$ 分别为

解答： $\Delta s=\pi/2$ , $Δ\vec{r}=j-i$ , $\Delta r=0$

通常情况下，两点之间直线长度(弦长)比曲线长度(弧长)要短。但对于无限短的曲线，弧长和弦长是相等的(画图思考)。则

解答：质点在 $t$ 至( $t +\Delta t$ )时间内沿曲线从P 点运动到P′点,各量关系如图所示,其中路程 $\Delta s$ ＝PP′, 位移大小 $|\Delta r|=PP\prime$ ,而 $\Delta r=|\vec{r}|-|\vec{r}'|$ 表示质点位矢大小的变化量,三个量的物理含义不同,在曲线运动中大小也不相等(注：在直线运动中有相等的可能)．但当 $\Delta t\rightarrow0$ 时,点P′无限趋近P点,则有 $|d\vec{r}|=ds$ ,但却不等于 $dr$

质点作曲线运动,在时刻 $t$ 质点的位矢为 $\vec{r}$ ,速度为 $\vec{v}$ ,速率为 $v$ , $t$ 至( $t+\Delta t$ )时间内的位移为 $\Delta r$ , 路程为 $\Delta s$ , 位矢大小的变化量为 $\Delta r$ ( 或称 $\Delta|\vec{r}|$ ),平均速度为 $\overline{\vec{v}}$ ,平均速率为 $v$ ．根据上述情况,则必有

解答：由于 $|\Delta\vec{r}|\neq\Delta s$ ,故 $|\Delta\vec{r}|/\Delta t\neq\Delta s/\Delta t$ ,即 $|\overline{\vec{v}}|=\overline{v}$ ．由于 $|d\vec{r}|=ds$ ,故 $|d\vec{r}|/dt=ds/dt$ ,即 $|d\vec{r}/dt|=ds/dt$ ,亦即瞬时速度的大小等于瞬时速率。

一运动质点在某瞬时的位矢为，对其速度的大小为
- (1) $\frac{dr}{dt}$ ；
- (2) $\frac{d|\vec{r}|}{dt}$ ；
- (3) $\frac{ds}{dt}$ ；
- (4) $\sqrt{(\frac{dx}{dt})^{2}+(\frac{dy}{dt})^{2}}$ .

上述判断正确的是

解答： $\frac{dr}{dt}$ 表示质点到坐标原点的距离(半径)随时间的变化率,叫径向速率，它只是速度矢量在径向的分量； $\frac{d|\vec{r}|}{dt}$ 和 $\frac{dr}{dt}$ 等价；在自然坐标系中速度大小可用 $\frac{ds}{dt}$ 计算，在 $x-o-y$ 直角坐标系中， $\vec{v}=\frac{d\vec{r}}{dt}=\frac{d(x\vec{i}+y\vec{j})}{dt}$$=\frac{dx}{dt}\vec{i}+\frac{dy}{dt}\vec{j}=v_{x}\vec{i}+v_{y}\vec{j}$ ，故 $v=\sqrt{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}$ .

曲线运动中，加速度经常按切向 $\vec{e}_{t}$ 和法向 $\vec{e}_{n}$ 进行分解： $\vec{a}=\vec{a}_{t}+\vec{a}_{n}$$=\frac{dv}{dt}\vec{e}_{t}+\frac{v^{2}}{R}\vec{e}_{n}$ 借助熟悉的例子来构建其直观物理图像，有助于理解并记忆这些复杂的公式。在弯曲的轨道上匀速率行驶的火车，
(1) $\vec{a}_{t}\neq0$ ，
(2) $\vec{a}_{t}=0$ ，
在直线上加速跑向食堂的小伙伴，
(3) $\vec{a}_{t}\neq0$ ，
(4) $\vec{a}_{t}=0$ ，
变速圆周运动的质点，
(5) $\vec{a}_{t}\neq0$ ， $\vec{a}_{n}=0$ 。
(6) $\vec{a}_{t}\neq0$ ， $a_{n}=\frac{v^{2}}{R}$ 不就是高中学过的向心加速度嘛。
上述判断正确的为

解答：(2)(3)(6)

质点作曲线运动，对下列表述中，

(1) $dv/dt=a$ ；
(2) $dr/dt=v$ ；
(3) $ds/dt=v$ ；
(4) $|d\vec{v}/dt|=a_{t}$ ．

正确的是(　　)

解答： $\vec{a}=\vec{a}_{t}+\vec{a}_{n}$$=\frac{dv}{dt}\vec{e}_{t}+\frac{v^{2}}{R}\vec{e}_{n}$ ，故而 $a=\sqrt{(\frac{dv}{dt})^{2}+(\frac{v^{2}}{R})^{2}}$ 。 $\frac{dv}{dt}$ 表示切向加速度 $a_{t}$ ，它表示速度大小随时间的变化率，是加速度矢量沿速度方向的一个分量，起改变速度大小的作用； $\frac{dr}{dt}$ 在极坐标系中表示径向速率，比如变速圆周运动中， $\frac{dr}{dt}$ 总等于零，但 $v\neq0$ ；(3)是自然坐标系中速率 $v$ 的计算公式； $|d\vec{v}/dt|$ 表示加速度的大小， $\frac{dv}{dt}$ 表示切向加速度的大小，在匀速率圆周运动中，前者总不为零而后者总为零，不应该混淆。

一个质点在做圆周运动时,则
- 切向加速度一定改变,法向加速度也改变
- 切向加速度可能不变,法向加速度一定改变
- 切向加速度可能不变,法向加速度不变
- 切向加速度一定改变,法向加速度不变

解答：加速度的切向分量 $a_{t}$ 起改变速度大小的作用,而法向分量 $a_{n}$ 起改变速度方向的作用．质点作圆周运动时,由于速度方向不断改变,相应法向加速度的方向也在不断改变,因而法向加速度是一定改变的．至于 $a_{t}$ 是否改变,则要视质点的速率情况而定．质点作匀速率圆周运动时, $a_{t}$ 恒为零；质点作匀变速率圆周运动时, $a_{t}$ 为一不为零的恒量,当 $a_{t}$ 改变时,质点则作一般的变速率圆周运动

物体作斜抛运动，初速度大小为 $v_{0}$ ，且速度方向与水平前方夹角为 $\theta$ ，则物体轨道最高点处的曲率半径为( )。

解答：曲线运动中，法向加速度为 $a_{n}=\frac{v^{2}}{\rho}$ (其中 $\rho$ 是曲率半径)，故 $\rho=\frac{v^{2}}{a_{n}}$ ，其中 $a_{n}$ 为“轨道最高点处”的法向加速度，应为 $g$ (此时切向加速度为零)，速度 $v=v_{0}\cos\theta$ .

法向加速度和切向加速度的核心公式是需要记忆的： $a_{n}=\frac{v^{2}}{R}$ 和 $a_{t}=\frac{dv}{dt}$ 。质点沿半径为 $R$ 的圆周运动，其角位移随时间 $t$ 的变化规律是 $\theta=2+4t^{2}$ 。在 $t=1$ 时，它的法向加速度和切向加速度分别为()

解答：圆周运动中， $a_{n}=\frac{v^{2}}{R}=R\omega^{2}$ , $a_{t}=\frac{dv}{dt}=\frac{d(R\omega)}{dt}$$=R\frac{d\omega}{dt}$ . 关键是求出 $\omega$ . 已知: $\omega=\frac{d\theta}{dt}=8t$ .

质点P在水平面内沿一半径为 $1$ 的圆轨道转动。转动的角速度与时间t的函数关系为 $\omega=kt$ (k为常量)。已知 $t=2$ 时，质点P的速度值为 $4$ 。试求 $t=0$ 时，质点P加速度的大小为()

解答：圆周运动中， $a_{n}=\frac{v^{2}}{R}=R\omega^{2}=k^{2}t^{2}$ , $a_{t}=\frac{dv}{dt}=\frac{d(R\omega)}{dt}$$=R\frac{d\omega}{dt}=k$ . 加速度的大小为 $a=\sqrt{a_{n}^{2}+a_{t}^{2}}=\sqrt{k^{4}t^{4}+k^{2}}$ . 关键是求出 $k$ . 由于 $v=R\omega=kt$ ，知 $k=\frac{v}{t}=2$ . 因此 $a=2$

质点在 $Oxy$ 平面内运动，其运动方程为 $\vec{r}=t\ \vec{i}+\frac{1}{2}t^{2}\ \vec{j}$ ．则在 $t=1$ 时切向和法向加速度分别为()

解答：曲线运动中， $a_{n}=\frac{v^{2}}{\rho}$ (其中 $\rho$ 是曲率半径，未知，所以无法直接求解 $a_{n}$ ), $a_{t}=\frac{dv}{dt}$ (可由 $\vec{r}$ 算出 $v(t)$ ，从而得到 $a_{t}$ ). 加速度的大小的公式有两个 $a=\sqrt{a_{n}^{2}+a_{t}^{2}}$ ，或 $a=|\vec{a}|=|\frac{d\vec{v}}{dt}|$ 。本题中，由于 $\vec{r}$ 已知，我们可借助第二个公式算出 $a$ 。最后有 $a_{n}=\sqrt{a^{2}-a_{t}^{2}}$ 。具体地， $\vec{v}=\frac{d\vec{r}}{dt}=\vec{i}+t\ \vec{j}$ ， $\vec{a}=\frac{d\vec{v}}{dt}=\vec{j}$ . 于是， $a_{t}=\frac{dv}{dt}=\frac{d\sqrt{1+t^{2}}}{dt}$$=\frac{t}{\sqrt{t^{2}+1}}$$=\sqrt{2}/2$ . $a=|\vec{a}|=1$ . 于是 $a_{n}=\sqrt{a^{2}-a_{t}^{2}}$$=\sqrt{2}/2$ .

最后编辑于：2019.02.20 13:04:38

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2. 高维运动的描述

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本次课会涉及下列数学符号 f(x)

知识点

平面直角坐标系下的矢量

位矢 $\vec{r}$ ，速度 $\vec{v}$ , 加速度 $\vec{a}$

轨迹方程关于 $y(x)$ 的方程，不关心时间。

位矢的大小 $r$ ，速率 $v$ ，加速度的大小 $a$

一段时间的路程 $\Delta s$ ，半径的增量 $\Delta r$ ，位移 $\Delta \vec{r}$

曲线运动的加速度 $\vec{a}$

表达题

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知识点

平面直角坐标系下的矢量

位矢 ，速度 , 加速度

轨迹方程 关于的方程，不关心时间。

位矢的大小，速率，加速度的大小

一段时间的路程 ，半径的增量，位移

曲线运动的加速度

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轨迹方程关于 $y(x)$ 的方程，不关心时间。

位矢的大小 $r$ ，速率 $v$ ，加速度的大小 $a$

一段时间的路程 $\Delta s$ ，半径的增量 $\Delta r$ ，位移 $\Delta \vec{r}$

曲线运动的加速度 $\vec{a}$