Set Cover Problem (集合覆盖问题)

流网络—最大流问题(Maximum-flow problem)


image.png

希望从0-7找到最大值,管道可以承载的最大值。

那么目标函数是objective:maximize X01+X02+X03
条件s.t.:


image.png

然后首先判断目标函数是什么类型?
该目标函数是linear programming
所以使用linear programming solver

如何求出最优解呢?

scipy

Set Cover Problem (集合覆盖问题)

假设我们有个全集U (Universal Set), 以及m个⼦子集合
𝑆1 ,𝑆2 …,𝑆m, 目标是要寻找最少的集合,使得集合的union等于U

例子: U = {1,2,3,4,5}, S: {𝑆 W ={1,2,3}, 𝑆 X ={2,4}, 𝑆 Y ={1,3},
𝑆 Z ={4}, 𝑆 [ ={3,4}, 𝑆 Ý ={4,5}}, 最少的集合为:{1,2,3}, {4,5},集
合个数为2。

1、穷举法
从小集合一个个不断组合,找到满足条件则结束。穷举法可以找到最优解


image.png

2、贪心算法
从左到右判断,删掉第一个,后面等不等于U,不等于就进行下一个判断,如此循环,直到找到不能去掉的时候就是最优解,但是这个不能保证是全局最优,就下图所示就不是最优解。


image.png

3、优化算法求解
1、首先设计目标函数,根据对于集合来讲,就是选跟不选,那么可以设计目标函数为
minimize\sum_{i=1}^{m}Xi
条件 s.t. xi∈{0,1}

image.png

那么我们首先判断函数类别,该函数是否凸函数
因其定义域是是0和1,所以选择任意两个点,连成的线都有没有在其区域内的,所以是个非凸函数。

image.png

那如果这样子,很难求解,能不能relaxation,把目标函数的定义域变成一个连续数据,linear
然后再对求的的x进行一个区域性判断,假如大于0.5,赋值其为1,小于等于0.5则赋值为0

非凸函数一般要换一种思维去解决,比如跟上面一样转换为凸函数,然后决策去判断。

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