Chapter2——导数与微分

1. 导数

1.1 导数的定义

设函数 $y=f(x)$ 在 $x_{0}$ 的某个邻域内有定义，当自变量 $x$ 在 $x_{0}$ 处取得增量 $\Delta x$ 相应的函数 $y$ 取得增量 $\Delta y=f(x_{0}+\Delta x) - f(x_{0})$ ，若极限
$\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x_{0}+\Delta x) - f(x_{0})}{\Delta x_{0}}$
存在，则称函数 $y=f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处可导。

左导数： $\lim_{\Delta x \rightarrow 0^{-}} \frac{f(x_{0}+\Delta x) - f(x_{0})}{\Delta x_{0}}$ 存在
右导数： $\lim_{\Delta x \rightarrow 0^{+}} \frac{f(x_{0}+\Delta x) - f(x_{0})}{\Delta x_{0}}$ 存在
在 $x_{0}$ 的左导数和右导数均存在且相等，则可导。

1.2 导数与连续的关系

若函数 $y=f(x)$ 在 $x_{0}$ 处可导，则 $y=f(x)$ 在 $x_{0}$ 连续。

反之不成立。

1.3 函数求导

1.3.1 基本函数求导

记住常用的求导公式即可。

1.3.2 反函数求导

反函数的导数等于原来函数导数的倒数

1.3.3 复合函数求导（重要）

链式法则：函数 $u = \varphi(x)$ 在点 $x$ 处可导，且 $y=f(u)$ 在与 $x$ 相应的点 $u$ 处可导，则符合函数 $y=f(\varphi(x))$ 在点 $x$ 处的导数为
$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}$ 或者写成
$y_{x}'=f'_{u}(u) \cdot \varphi'_{x}(x)$

1.3.4 隐函数求导

隐函数：形如 $y=f(x)$ 的函数均为显函数，隐函数是形如 $F(x,y)=0$ 方程所确定的函数。
求导方法，方程两边同时对待求导变量同时求导即可。常见的求导应用是对数求导法。如求下列导数：
$y=\sqrt[3]{\frac{(x-1)^{3}(x-2)^{2}}{(x-3)(x-4)^{5}}}$
两边取绝对值对数得到：
$\ln|y|=\frac{1}{3}(\frac{3}{x-1}+\frac{2}{x-2}-\frac{1}{x-3}-\frac{5}{x-4})$
两边同时求导得到：
$y'=\frac{1}{3}\sqrt[3]{\frac{(x-1)^{3}(x-2)^{2}}{(x-3)(x-4)^{5}}}(\frac{3}{x-1}+\frac{2}{x-2}-\frac{1}{x-3}-\frac{5}{x-4})$

1.3.5 参数方程求导

参数方程：形如 $x=\phi(t), y=\varphi(t)$ ，求 $\frac{dy}{dx}$
$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\cdot \frac{dt}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{\varphi'(t)}{\phi'(t)}$

2. 微分

2.1 可微存在性定理

函数 $y=f(x)$ 在 $x$ 处可微的充要条件是 $y=f(x)$ 在 $x$ 处可导。记为
$dy=f'(x)\Delta x=f'(x)dx$
微分的各种运算和高阶微分、复合微分均可类比于导数。

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