学术散文

柏拉图世界不是真理世界

杨英锐

1. 彭罗斯在《通往实在之路》中引入了柏拉图数学世界。其中宗旨内容，重在描述通往之路，柏拉图实在论倒成了自不待言的事。我最近一门心思就是构建柏拉图机。其基础结构是多重世界以及其上的可及关系。即然称“机”，其底色必然与算法世界相容。要说明柏拉图机是什么，首先要说明柏拉图机不是什么。这里试图说明：柏拉图机不是真理世界。

2. 数学家误区

前两天，一位著名数学家有一个讲座，其中讲了一层意思，即数学是探究真理的学问。我在某科学群中对此略有微词。随即，一位资深物理学家提醒说，逻辑学就是研究真值（truth value)的，或真或假。

我学逻辑出身，也教了很多年逻辑。在逻辑课上第一件事要让学生清楚明白的基本观念就是：逻辑与内容无关。最底层的逻辑是命题逻辑，其语义学称为真值语义学，表征为真值表（也可以视为布尔代数），其中给定了逻辑算子的意义。真值表告诉我们，如果每个原子命题都被赋予了真值（或真或假），则可以通过真值表算出复合命题的直值。命题逻辑将任给的一个命题做为整体，不考虑命题的内部结构。往上一层，叫做谓词逻辑。此层逻辑要分析一个形式语句的内部结构（n元谓词，个体变元，常顶变元，量词，甚至定冠词，及逻辑算子）。谓词逻辑的语义学称为赋值语义学。

任何一个语句的逻辑意义只有一个，那就是其真值，可真可假但或真或假，二居其一也只居其一。逻辑学中的真值，是被赋予的真值，只对文本结构说话，不对文本内容说话。很多人以为逻辑是硏究真值的，这是只知其然而不知其所以然。还有很多人就此以为逻辑是研究真理的，那是望文生义。在特定意义下，逻辑学是关于有效性的科学。有效性的定义是一个条件句：如果所有前提都是真的，那么结论必须是真的。推理心理学中的心智模型理论发现，人们有一种误区，即将有效性误解为可靠性。其实，根据有效性定义，只要有一个前提是假的，那么无论结论是真是假，整个推理就是有效推理。逻辑学是一种形式科学，研究的是形式结构，与内容无关（重要的事情说二遍）。同理，数学与逻辑学都同属分析科学，与任何事实“真理”无关。

在元数学中，有一个与哥德尔不完全性定理齐名的定理，叫塔斯基不可定义性定理。简略说，就是谓词“真”在一阶理论中是不可定义的，即其模型为空集（null)。

3. 数学基础

当代数学大厦，由一个逻辑三角架所支撑。这三个支撑点就是：公理化集合论中的策梅罗（ZF）系统、选择公理和连续统假设。公理是一种预设。连续统假设被证明独立于ZF系统, 却又目前不可或缺，所以只能假设。公理和假设的哲学特征是具有可选择性。您对这套东西不满意，那您就得有本事另做一套出来，您没这个义务，但您有这份权利。

预设和假设不同于真理。真理不具备（或者说，丧失了）可选择性，称为可选择性破缺。如果问，什么是真理？客气的回答是：You tell me. 不客气的回答是：真理就是真正值得被挑战的东西，具有被发现被思辩被讨论的价值。

有人说，数学研究真善美。其美，可说。其善，难说。其真，此真非彼真，非真理之真。我们可以假设连续统为真，但我们恐怕不会就此认为连续统假设是真理吧。那么，由此推出的数学，真是真了，但谈不上真理不真理的吧。

4. 数学哲学

4.1 一位在美国教书的朋友发给我如下短信。其中英文引文我直接用微信翻译功能译为中文。我最喜欢的数学家之一, Edward Frenkel 。“在数学中，你必须有一个种子，可以这么说。你必须从一件事开始你必须选择某些你认为理所当然的假设或陈述，这些假设或陈述不需要证明。通常他们是那种直观清晰的给你。但无论如何，如果不选择这些公理，就不可能有数学。观察者是在选择公理的过程中出现的。但是谁来选择公理呢？所以你看到数学家是多么聪明。我们常说，我也常这么说，数学是客观的。这是唯一客观的科学。但那是因为我们隐藏了这个事实。它实际上是基于公理的。事实上，没有唯一的选择，有很多选择。欧几里得几何就是一个很好的例子”

4.2 另一位朋友，我四十五年前在中国社科院逻辑室的同事，后来在清华教书，公认的中国形而上学研究权威，将他最近的一篇文章转发给我。下面是论文摘要。

《论“真”与“真理”的区别》（王路）

摘要: 语言表达认识，涉及三个层面，第一个是语言层面，第二个是语言所表达的东西层面。对于语 言所表达的东西，人们可以说 “是真的”，“是真理”，这是经验意义上的认识和表达。语言表达的第三个 层面，我们称之为句子的真之条件，即真和假。这不是语言表达的东西，而是语言表达所带有的东西，相 关认识不是经验的。“真” 与 “真的” 乃是对应的，是后者的名词形式。“真理” 与 “真的” 不是对应的， 不是后者的名词形式。所以，“真” 与 “真理” 是两个不同的概念，是有区别的。在西方哲学讨论中，认识二者的区别至关重要。（社会科学战线·2024 年第 1 期·哲学理论）

5. 数学与生活

5.1 数学不同于其他专业。个别天才例外，要想做数学出人头地，除了勤奋，天赋内禀与名师亲临虽非充分条件，却是必要条件。所以，以做数学尤其是纯数学为生的，只能极少数人。多了，社会养不起，您也是活受罪。

5.2 学数学，多多益善。无论在哪个科学领域工作，无论在学术生涯的哪个阶段，不断补充数学知识，增强数学训练，长进数学功夫，都会有事半功倍的效果。

5.3 有一个说法，即做数学出成果是年轻人的天下。别听这种乌鸦嘴瞎咕咕。无论在什么学术年龄段，只要专心学专心做，您就有机会。

5.4 我们这代学人，多多少少都曾受到徐迟报告文学的影响，被陈景润和哥德巴赫猜想的故事激励至今。幸耶，运耶，冷暖自知。只想说的是，走这条路，需要极其强大的心理准备。坐冷板凳，绝对是不够的。我喜欢热板凳：无论结果如何，都不能让个人吃亏。学术生活，不讲究牺牲。

5.5 多两句嘴。数学强国与强国数学的相关系数到底多少，其实需要把握分寸，提法适度。不当提高这个相关系数，会留下一种数学政治化的余味。数学就是数学，数学教授就是教数学的教授。在美国教数学当数学教授和在中国教数学当数学教授，是一样的职业生涯，用不着今天这儿一个中心，明天那儿一个研究院的。在美国上课就不做研究或做研究就不上课了吗。说多说少，挣多挣少，都是一份工作。中国高校的当务之急是缩小资深教授与年轻教师的收入差距。天下大学，哪有差距这么悬殊的，美国大学也不敢这么干呐。再说了，就开个数学家的什么会，用得着去人民大会堂吗。图个体面，可以，别的就说不上了。

结论：写散文还结什么论呢。

（2024-6-2）