先从一个有趣的事例说起吧，这个事例是很多年前我亲身经历的，为了便于说明主题，我做了一番简化和虚构。
某天，十几个喜欢读书的网友发起了一个主题为“读什么书，如何读书”的线下活动。这些人虽然都喜欢阅读，但兴趣偏好却各不相同，有的喜欢文学类，有的喜欢实用类，有的则关注学术类。活动一开始就产生了很大的分歧。经过一番激烈争论，也没能达成一致的意见。
三种偏好之间的差异很大，事实上这三类阅读偏好的人几乎没有多少共同语言。讨论无果，最终他们决定进行投票，选择得票最多的作为活动的主题。众所周知，多数决定的民主原则是现代社会普遍采用的决策手段。用民主投票的方式，最终由简单多数决定最优偏好也是常见的做法。
然而，奇怪的事情发生了！
为简化起见，我们把三个选项分别用α（文学类）、β（实用类）、γ（学术类）表示。他们最终投票的偏好排序是这样的：1/3的人（简称为甲）α>β>γ，，另1/3（简称为乙）是β>γ>α，剩下的1/3（简称为丙）则是γ>α>β。如下图所示：
通过这一偏好排序，诉诸少数服从多数原则，我们可以推出下列结论：
1、在α和β的较量之中，因为有甲和丙两类人认为α比β好，所以集体决策为：α>β
2、在β和γ的较量之中，因为有甲和乙两类人认为β比γ好，所以集体决策为：β>γ
3、在γ和α的较量之中，因为有乙和丙两类人认为γ比α好，所以集体决策为：γ>α
综合以上1、2、3的结论，可以得到这样的结果：α>β>γ>α。由传递性可知，α>α，这怎么可能？！由多数决定原则进行投票，居然得到一个自相矛盾的结果！
好了，弯子绕完了，其实这就是著名的『投票悖论』。
这个悖论最早由18世纪的孔多赛发现，因而又称为『孔多赛悖论』。对其进行严格的数学证明，则是著名经济学家肯尼斯.阿罗（1972年诺贝尔经济学奖得主）的伟大贡献。所以，此理论又称『阿罗不可能定理』。
『阿罗不可能定理』的结论是这样的：要得到集中个人偏好并由此推出偏好排序的合理的、公正的程序，必须满足一些条件。而在满足这些合理条件的前提下，要想经由个人偏好排序推导出社会的或集体的偏好排序，一般来说是不可能的。
【感兴趣的读者可以参考阿玛蒂亚.森的分析，阿罗所说的这些条件如下：1、无限制领域条件；2、帕累托条件；3、无关备选对象的独立性条件；4、非独裁性条件。】
投票悖论的发生也非必然，而是具有偶然性，存在一定的概率。到底有多大呢？对其采取数学手段进行计算的学者指出，随着备选方案的增加，这一概率会急剧增大。譬如，有这样的数据：当投票者为15人，备选项为3时，产生投票悖论的概率为8.2％。当人数不变，备选方案变为4时，产生投票悖论的概率则增加了一倍，为16.4%。详见下图：
不过阿罗也说：“如果对社会事件所持观点分布较为均匀，以及社会事件的空间维数（备选项）大大地小于个人的人数，那么在真诚基础上的多数决定就具有传递性”。另一位研究投票问题的专家戈登.图洛克（公共选择理论的奠基人之一）认为，在现实世界中，投票者的个数总是大大超过供投票选择的社会状态的个数。这时，出现投票悖论的概率是如此之小，以至于在实际上可以不考虑它。
但在不符合这个条件的情况下，投票悖论的产生就难以消除么？事实上，有很多经验可以证明，投票悖论在投票人存在基本共识的情况下是可以消除的。
将上述事例稍作修改，比如三类人都同意γ并非最佳，于是我们可以将丙的偏好排序做一个改动，使γ不为最佳。可以将γ与α或β互换皆可，进行重新投票。新的投票结果如下图所示：
即：甲：α>β>γ 乙：β>γ>α 丙：β>α>γ
通过这一偏好排序，诉诸少数服从多数原则，可以推出以下结论：
1、在α和β的较量之中，因为有乙和丙两个人认为β比α好，所以集体决策为：β>α
2、在β和γ的较量之中，因为有甲和丙两个人认为β比γ好，所以集体决策为：β>γ
3、在γ和α的较量之中，因为有甲和丙两个人认为α比γ好，所以集体决策为：α>γ
综合以上1、2、3的结论，可以得到这样的结果：β>α>γ，即多数决定的集体决策是β、实用类最佳，α、文学类次之，γ、学术类最差。根据多数决定规则，最终获胜的将是β、实用类。投票悖论消失了！
要知道，这仅仅是稍微改动了丙的偏好排序，使γ与β互换了一下位置的结果。这一简单而有效地解决办法是阿玛蒂亚·森（1998年诺贝尔经济学奖得主）提出来的。他发现，一般来看，当所有投票人都同意一备选项并非最佳的情况下，投票悖论就可化解。
阿玛蒂亚.森把这个发现加以延伸和拓展，得出了解决投票悖论的三种选择模式：(1)所有人都同意其中一项选择方案并非最佳；(2)所有人都同意其中一项选择方案并非次佳；(3)所有人都同意其中一项选择方案并非最差。森认为，在上述三种选择模式下，投票悖论将消失，多数决定的民主原则所可能产生的矛盾就此化解。
由森的解决方式可以看出，所有人存在某种基本共识的情况下，投票悖论会消失。有研究证明，随着社会同质性的增强，投票悖论发生的可能性会降低。投票悖论的发生与意见的统一程度似乎呈一种反比关系。这意味着，如果一个社会在基本理念上缺乏一致性，缺乏基本的社会共识，民主制度将不起作用。民主是好东西，而培养一国公民之基本共识，正是民主大厦得以稳固的基石。
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参考书目：
1、肯尼斯.阿罗：《社会选择与个人价值》，陈志武、崔之元译，四川人民出版社，1987年。
2、阿玛蒂亚.森：《理性与自由》，李风华译，中国人民大学出本社，2006年。
3、汉斯.德尔、本.韦尔瑟芬：《民主与福利经济学》，陈刚等译，中国社会科学出版社，1999年。
