实分析随笔（1）Lebesgue定理、Riesz定理与Egoroff定理

定义3.2.1（几乎处处收敛） 设 $f_k(k\ge 1)$ 是在可测集 $E$ 上定义的一列可测函数，若存在 $E_0\subset E,mE_0=0,s.t.f_k(x)\rightarrow f(x),\forall x\in E\backslash E_0$ ，则称 $f_k$ 几乎处处收敛于 $f$ ，记为 $f_k\rightarrow f,a.e$ .

定义3.2.2（依测度收敛） 设 $f_k(k\ge1),f$ 是定义在可测集 $E$ 上的 $a.e$ 有限的可测函数，

若 $\forall \sigma >0,\lim_{k\to \infty }mE({|f_k-f|}>\sigma)=0,$ 则称 $f_k$ 在 $E$ 上依测度收敛于 $f$ ，记为 $f_k\Rightarrow f$ .

定理3.2.1（Lebesgue） 设 $mE<\infty,f_k(k\ge 1),f$ 都是 $E$ 上 $a.e$ 有限的可测函数，若 $f_k$ 在 $E$ 上 $a.e$ 收敛于 $f$ ，则 $f_k$ 依测度收敛于 $f$ .

Proof 设 $A_0$ 是 $f_k$ 不收敛的点集， $A_k=E(|f_k|=\infty),A_\infty=E(|f|=\infty),B=\bigcup_{k=0}^\infty A_k\cup A_\infty$ ，由条件 $mB=0,f_k$ 在 $E\backslash B$ 上点点收敛于 $f$ 。 $\forall \sigma >0,E_i(\sigma)=E(|f_i-f|>\sigma),R_k(\sigma)=\bigcup_{i=k}^\infty E_i(\sigma)$ ，易见 $R_{k+1}\subset R_k$ ，由 $mE<\infty$ ，定理2.3.3， $\lim_{k\to\infty}m(R_k(\sigma))=m(\bigcap_{k=1}^\infty R_k(\sigma))$ ，而 $\bigcap_{k=1}^\infty R_k(\sigma)=\bigcap_{k=1}^\infty \bigcup_{i=k}^\infty E_i(\sigma)=\overline \lim_{k\to\infty} E_k(\sigma)$ ，当 $k\to \infty$ 时，由上极限的定义，不能有无穷个点 $\in U(a,\varepsilon)$ ，从而在 $E\backslash B$ 上 $f_k\nrightarrow f$ ，故 $f_k$ 的极限必在 $B$ 中，有 $m(\bigcap_{k=1}^\infty R_k(\sigma))\le mB=0,\lim_{k\to\infty }R_k(\sigma)=0.$ 从而 $mE_k(\sigma)\le m(R_k(\sigma))=0$ ，当 $k\to\infty,\sigma$ 的任意性， $f_k\Rightarrow f$ .得证。

定理3.2.3（Riesz） 设 $f_k$ 是 $E$ 上 $a.e$ 有限的可测函数序列， $f_k\Rightarrow f$ ，则存在子序列 $f_{k_i},f_{k_i}\rightarrow f,a.e$ .

Proof 由于 $\forall \sigma>0,\lim_{k\to \infty}mE(|f_k-f|>\sigma)=0$ ，取正数序列 $\sigma_i$ 单调递减趋于零，且 $\sum_{i=1}^\infty \sigma_i<\infty$ ，于是对每个 $\sigma_i,\exists k_i,s.t. k\ge k_i$ 时， $mE(|f_k-f|>\sigma_i)<\sigma_i$ 。不妨设 $k_{i+1}>k_i$ ，可以证明 $f_{k_i}\rightarrow f,a.e.$

记 $R_j=\bigcup_{i=j}^\infty E(|f_{k_i}-f|>\sigma_i)$ ，则 $R_{j+1}\subset R_j$ 且 $mR_j\le \sum_{i=j}^\infty \sigma_i\to 0,(j\to \infty)$ .

由 $mR_1\le \sum_{i=1}^\infty \sigma_i<\infty$ ，由定理2.3.3，得到 $m(\bigcap_{j=1}^\infty R_j)=\lim_{j\to \infty} mR_j=0.$

对于每个 $x\in E\backslash \bigcap _{j=1}^\infty R_j$ ，不妨设 $x\notin R_{j_0}$ ，于是 $x\notin E(|f_{k_i}-f|>\sigma_i)$ 即 $|f_{k_i}(x)-f(x)|\le \sigma_i,i\ge j_0$ . 由 $\sigma_i\to 0$ ，有 $f_{k_i}\to f$ ，故 $f_{k_i}\to f,a.e.$ 得证。

定理3.2.4（Egoroff） 设 $mE<\infty,f_k(k\ge 1)$ 是在 $E$ 上 $a.e.$ 有限的可测函数序列， $f_k\to f,a.e.$ 则 $\forall \delta>0,\exists E_0\subset E,s.t. m(E\backslash E_0)\le \delta$ 且 $f_k$ 在 $E_0$ 上一致收敛于 $f$ .

Proof 类似于定理3.2.1，记 $R_k(\sigma)=\bigcup_{i=k}^\infty E_i(\sigma), R_{k+1}\subset R_k,E_i(\sigma)=E(|f_i-f|>\sigma),$ $\lim_{k\to \infty} mR_k(\sigma)=0$ 。取单调递减趋于零序列 $\sigma_j,\delta_j>0,s.t.\sum_{j=1}^\infty \delta_j<\infty,$ $\forall \sigma_j,\delta_j,\exists k_j,s.t. mR_{k_j}(\sigma_j)<\delta_j$ 令 $k_j\uparrow\infty,\forall \delta>0,\exists j_0,s.t. \sum_{j=j_0}^\infty \delta_j<\delta$ ，记 $R_0=\bigcup_{j=j_0}^\infty R_{k_j}(\sigma_j)$ ，则 $mR_0<\delta$ ，记 $E_0=E\backslash R_0$ 下证 $f_k$ 在 $E_0$ 上一致收敛。事实上，当 $x\in E_0$ 时， $x\notin R_0$ 从而 $x\notin R_{k_j}(\sigma_j)$ , $x\notin E(|f_i-f|>\sigma_j)$ 于是 $|f_i-f|\le \sigma_j,\forall i\ge k_j$ ，由 $\sigma_j\downarrow 0$ ，于是在 $E_0$ 上， $f_i$ 一致收敛于 $f$ . 得证。

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