线性代数笔记(MOOC)

https://baike.baidu.com/item/%E7%BA%BF%E6%80%A7%E7%BB%84%E5%90%88/8664061
标量的线性组合
定义标量为2，4，1，5，权重为0.1，0.4，0.25，0.25。求其线性组合s。
解：线性组合
矢量的线性组合
定义矢量为[2 4 1 5]，[3 5 1 2]，[5 6 2 1]，[9 0 1 3]·权重为0.1，0.4，0.25，0.25。求其线性组合s。
s=0.1[2 4 1 5]+0.4[3 5 1 2]+0.25[5 6 2 1]+0.25[9 0 1 3]
向量组的线性组合
$a=\begin{bmatrix} a1\\ \vdots\\ an \end{bmatrix},e1=\begin{bmatrix} 1\\0\\\vdots\\0 \end{bmatrix},e2=\begin{bmatrix} 0\\1\\\vdots\\0 \end{bmatrix}\\ a=a1e1+a2e2+...+anen$

向量:方向的量(三角形的变. u,v,u+v)
向量加法:u+v=(u1,u2...,un)+(v1,v2...,vn)
$向量点积:u*v=u_1*v_1+u_2*v_2+...+u_ny_n = \sum_{i=1}^n u_iv_i$
$向量的长度 ||a|| = \sqrt{a*a}$
$向量的夹角 cos\theta = \frac{a*b}{||a||||b||}, a,b!=0$
向量空间V是一个集合,其元素是向量:
$若{a}{\subseteq}{V},{b}{\subseteq}{V},则a+b{\subseteq}{V}$
$若a{\subseteq}V,k{\subseteq}R,则 ka {\subseteq}V$
向量空间又叫线性空间
向量组合:
$R=\begin{bmatrix} {255}\\ {0}\\ {0} \end{bmatrix} G=\begin{bmatrix} {0}\\ {255}\\ {0} \end{bmatrix} B=\begin{bmatrix} {0}\\ {0}\\ {255} \end{bmatrix}$
$黄=红+绿=R+G= \begin{bmatrix} {255}\\ {0}\\ {0} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} {0}\\ {255}\\ {0} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} {255}\\ {255}\\ {0} \end{bmatrix}$
线性相关与线性无关：向量组中的任一向量都不能被其它向量线性表示，就说向量组线性无关；否则就是线性相关。
{R,G,B}是线性无关的,{R,G,B,黄}是线性有关的
张成空间：一个向量组 {v1,v2,...vm} 的所有线性组合构成的集合V（显然是个向量空间），称为该向量组的张成空间，记为 span(v1,v2,...vm) . 或称该向量组张成 V 。
向量的基:如果一个线性无关的向量组 A={a1,a2...an} 张成向量空间 V ，则称向量组 A 是空间 V的一个基。
V中的任何向量 x 都可被唯一地表示为：
x=k1a1+...krar
如果 A 是标准基（或自然基），其实就变成直角坐标系了。
向量空间的维度：就是一组基的向量个数。
矩阵的引入(为了研究线性方程组而发明的)
$\begin{cases} x+2y=3\\ 3x+4y=5 \end{cases}$
$矩阵 \begin{pmatrix} 1&2\\ 3&4 \end{pmatrix}$
$增广矩阵 \left [ \begin {array} {cc|c} 1&2&3\\ 3&4&5 \end {array} \right ]$
数块(矩阵)的乘法简洁第进行高斯消元法:
https://www.matongxue.com/madocs/755/
单位阵I(IA=A):对角线元素是1,其余都是0
$I_n=\begin{pmatrix} 1&0&\cdots&0\\ 0&1&\cdots&0\\ \cdots&\cdots&&\cdots\\ 0&0&\cdots&1 \end{pmatrix}$
在单位阵上应用其中一种变换一次得到的矩阵就是"初等矩阵"
$1.倍加变换: r'_1=r_1+kr_2\\ 2.倍乘变换: r'_1=kr_1(k!=0)\\ 3.对换变换: r_1<->r_2$
相当于:消元矩阵*原来矩阵
行视角矩阵乘法:
$xA=x_1(a_{11}...a_{1n})+x_2(a_{21}...a_{2n})+...$
列视角矩阵乘法:
$Ax=x_1\begin{pmatrix} a_{11}\\ \vdots\\ a_{m1} \end{pmatrix}+...$
点积视角矩阵乘法
$对于矩阵A=(a_{ij}),B=(b_{ij}),AB的乘积C=(c_{ij}) 满足:\\ c_{ij} = a_{i*}*b_{*j}$
基变换视角
1. 基一般用一维行向量表示(坐标系)
2. 坐标一般用一维列向量表示(坐标系下的一组数组)
3. 线性无关,V中的向量都可由a1...am线性表示,那么a1...am就是V的一个基
4. 基变换就是把一组基变到另一组基, 或一个坐标系转换到另一个坐标系
5. 基变换是右乘的,即过度矩阵A被乘在右边(因为基是用一维行向量表示的)
6. 坐标变换是左乘的,即过度矩阵A乘在坐标(因为坐标是用一维列向量表示的)
  $Aa=\begin{pmatrix} 1&-1\\ 1&-1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1\\ -1 \end{pmatrix}\\ 那么矩阵A的列向量是:\\ c1=\begin{pmatrix} -1\\ -1 \end{pmatrix},c2=\begin{pmatrix} -1\\ -1 \end{pmatrix}\\ 矩阵乘法的结果:原来的向量a的系数(坐标)不变,只是把基向量从自然基变成了矩阵A的列向量\\ a=1e_1+1e_2-(c_1,c_2)->b=1c_1+1c_2\\ 可以理解为坐标系旋转后的结果\\ A\vec{x}=\vec{y}$

行列式

行列式的出现是为了求解线性方程组。

MOOC线性代数
https://www.icourse163.org/learn/SDU-55001?tid=376008#/learn/content?type=detail&id=720002&cid=763003

线性代数

用行列式和矩阵研究n维向量的问题
用行列式,矩阵和n维向量研究线性方程组
用行列式,矩阵,n维向量和线性方程组研究相似对角形

相似对角形中的重要概念:
特征值:是求一个特殊的行列式
特征向量:一类特殊的线性方程组的解向量

用行列式,矩阵,n维向量,线性方程组和相似对角形研究二次型

行列式

行列式概念引进
用来解线性方程组
$\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2=b1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2=b2 \end{cases}\\ 行列式:\begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22} \end{bmatrix}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\\ \begin{bmatrix} b1&a_{12}\\ b2&a_{22} \end{bmatrix}=a_{22}b1-a_{12}b2\\ \begin{bmatrix} a_{11}&b1\\ a_{21}&b2 \end{bmatrix}=a_{11}b2-a_{21}b1\\ 三阶行列式: \begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{bmatrix}=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-....=\\ a_{11}\begin{bmatrix} a_{22}&a_{23}\\ a_{32}&a_{33} \end{bmatrix}-a_{12}\begin{bmatrix} a_{21}&a_{23}\\ a_{31}&a_{33} \end{bmatrix}+a_{13}\begin{bmatrix} a_{21}&a_{22}\\ a_{31}&a_{32} \end{bmatrix}\\ 对角平行之和(对角线法则)$
n阶行列式
$代数余子式(代数:正负号,余子式:划掉行和列剩下的矩阵):\\ A_{11}=(-1)^{1+1}\begin{bmatrix} a_{22}&a_{23}\\ a_{32}&a_{33} \end{bmatrix}\\ A_{12}=(-1)^{1+2}\begin{bmatrix} a_{21}&a_{23}\\ a_{31}&a_{33} \end{bmatrix}\\ A_{13}=(-1)^{1+3}\begin{bmatrix} a_{21}&a_{22}\\ a_{31}&a_{32} \end{bmatrix}\\ D=a_{11}A_{11}+a_{12}A_{12}+a_{13}A_{13}\\ A_{ij}称为元素a_{ij}的代数余子式\\ a_{ij}的余子式M_{ij}\\ A_{ij}的代数余子式:(-1)^{i+j}M_{ij}\\ D=a_{i1}A_{i1}+...+a_{in}A_{in} (按行展开)$
特殊n阶行列式的计算
$对角行列式:A_{11}=对角线的乘积\\ 三角行列式:A_{11}=对角线的乘积\\ 斜三角行列式:(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}a_{1n}a_{2(n-1)}...a_{n1}\\$
行列式的性质
$性质1:D=D^T; (转置行列式\\ 性质2:互换两行,行列式变号(取反)\\ a_{j1}A_{i1}+...+a_{jn}A_{in}=\begin{cases} D,(i=j)\\ 0,(i!=j) \end{cases}\\ 性质3:用数k乘行列式某一行中所有元素,等于用k乘此行列式(将行和列的公因子提出来) 性质4:行列式某一行元素加上另一行对应元素的k倍,行列式的值不变化0展开$
行列式的计算
$\begin{bmatrix} 3&1&-1&2\\ -5&1&3&-4\\ 2&0&3&-1\\ 1&-5&3&-3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 3&1&-1&2\\ -8&0&4&-6\\ 2&0&3&-1\\ 16&0&2&7 \end{bmatrix}=-\begin{bmatrix} -8&4&-6\\ 2&1&-1\\ 16&2&7 \end{bmatrix}=-\begin{bmatrix} -16&0&-2\\ 2&1&-1\\ 20&0&5 \end{bmatrix}=-\begin{bmatrix} -16&-2\\ 20&5 \end{bmatrix}=40$
克莱姆法则
$x_1=\frac{D_1}{D}.x_2=\frac{D_2}{D}...,x_n=\frac{D_n}{D}$
范德蒙行列式
$\prod_{1<=j<i<=n}(a_i-a_j)$
逆序数与行列式
逆序数:设有2,4,1,3;那么(2,1),(4,1),(4,3)就是逆序数
对换有两个性质:
1.任意一个排列经过一次对换后改变奇偶性
2.在n个元素的全排列中,奇偶排列各占一半,为n!/2
$三阶行列式:D=\sum(-1)^Na_{1j_1}a_{2j_2}a_{3j_3}, N为j_1j_2j_3的逆序数\\ n^2个数排成一个n行n列的记号:\\ \sum_{j_1...j_n}(-1)^{N(j_1...j_n)}a_{1j_1}...a_{nj_n}\\ 其中N为全排列j_1j_2...j_n的逆序数:D=|a_{ij}|_{n*n}$
行列式展开定理
$D=a_{i1}A_{i1}+...+a_{in}A_{in}=\sum(-1)^Na_{1j_1}...a_{nj_n}\\ 拆分与抽出第一行和第一列的公因子$
https://blog.csdn.net/weixin_46664967/article/details/113621821
行列式的性质:

互换两行,行列式变号.推论:若行列式中有两行元素完全相同,则行列式为0
用数k乘行列式某一行中所有元素,等于用k乘此行列式.推论:行和列的公因子可以提到行列式外面
行列式某一行元素加上另一行对应元素k被,行列式值不变
1. 所有行数据相加到第一行
2. 第一行提取公因子,变成1
3. 选取一列化0

矩阵

$A=(a_{ij})_{n*n}$

几种特殊矩阵
方阵:A_{n*n}
零矩阵
对角阵:a_{11}...a{in};对角线上才有元素
单位矩阵(E):对角线上才有元素,而且都是1
数量阵:对角线上才有元素,而且都是k
三角阵
梯形阵:??
矩阵的运算1
$A=(a_{ij})_{m*n}与B=(b_{ij})_{m*n}定义:\\ A+B=(a_{ij}+b_{ij})_{m*n},A-B=(a_{ij}-b_{ij})_{m*n}\\ 运算规律:\\ A+B=B+A,(A+B)+C=A+(B+C),\\ A+0=A=+A,A-A=0\\ 负矩阵:-A=(-a_{ij})_{m*n}$
$矩阵乘法:\\ A=(a_{ij})_{m*s},B=(b_{ij})_{s*n}\\ C=AB=(C_{ij})_{m*n},c_{ij}=对应行乘积+对应列乘积\\ 1.矩阵乘法不满足交换律\\ 2.不满足消去律\\ 3.有非零的零因子\\$
运算规律:
$1.(AB)C=A(BC)\\ 2.A(B+C)=AB+AC\\ 3.k(AB)=(kA)B=A(kB)\\ 4.E_mA_{m*n}=A=A_{m*n}E_n$

矩阵的运算2
$方阵的正整数幂:\\ A^0=E\\ A^{k+l}=A^kA^l\\ (AB)^k!=A^kB^k(AB=BA才会相等)$
矩阵转置:行变列,列变行
$(A^T)^T=A\\ (A+B)T=A^T+B^T\\ (kA)^T=kA^T\\ (AB)^T=B^TA^T\\ A=(a_{ij})_{m*s},B=(b_{ij})_{s*n}\\ A^T=(a_{ji})_{s*m},B^T=(b_{ji})_{n*s}\\ C=AB=(Cij)_{m*n},C^T=B^TA^T=(d_{ij})_{n*m}\\ c_{ji}=d_{ij}$

$对称阵:A^T=A,a_{ij}=a_{ji};A+A^T\\ 反对称阵:A^T=-A;A-A^T\\ 任意方阵都可以分解成对称阵雨反对称阵的和: A=\frac{A+A^T}{2}+\frac{A=A^T}{2}$
方阵的行列式
由方阵A构成的行列式称为方阵的行列列式:det A 或|A|
方阵的行列式不为零,称为非奇异方阵,否则就是奇异方阵
奇数阶反对称阵的行列式为零
$|kA|=k^n|A|,\\ |AB|=|A||B|$

伴随矩阵
$A=\begin{bmatrix} a&b\\ c&d \end{bmatrix}的伴随矩阵是:\\ A^*=\begin{bmatrix} d&-b\\ -c&a \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} A_{11}&A_{21}\\ A_{12}&A_{22} \end{bmatrix}\\ AA^*=|A|E=A^*A$
矩阵的初等变换(可以简化矩阵)
$1.交换矩阵中第i,j两行(列)的位置,记作:r_{ij}(c_{ij})或r_i<->r_j(c_i<->c_j)\\ 2.用非零常数k乘第i行(列),记作kr_i(kc_i)\\ 3.将矩阵的第j行(列)乘以常数k后加到第i行(列)对应元素上去,记作:\\ r_i+kr_j(c_i+kc_j) (实际就是化0,也就是化为梯形阵)$
A->B
定理:任何一个矩阵都有等价标准形.(化简后对角线都是1)
矩阵的秩
$m*n矩阵A的k阶子式有C_m^kC_n^k个\\ 1.r(A_{m*n})<=min\{m,n\}\\ 2.若有一个r阶子式不为零,则r(A)>=r;若所有的r阶子式全为零,则r(A)<r\\ 3.r(A^T)=r(A)$
秩(rank,阶)的定义:矩阵A的所有不等于零的子式的最高阶数称为矩阵A的秩.记作r(A)
任意一个矩阵都可以经初等变换化为梯形阵,梯形阵的秩等于其非零行的行数
定理:矩阵A与B等价的充要条件是r(A)=r(B)
初等矩阵
初等矩阵(都是非奇异)的转置仍为同类型的初等矩阵

行变换相当于左乘初等矩阵
列变换相当于右乘初等矩阵

若P,Q为满秩阵,则:r(A)=r(PA)=r(PAQ)=r(AQ)

逆矩阵的定义及可逆条件
$\forall_a!=0,\exist_{a^{-1}},使aa^{-1}=a^{-1}a=1\\ 定义:对n阶方阵A,若有n阶矩阵B使: AB=BA=E\\ 则称B为A的逆矩阵,称A为可逆的\\ 1.逆阵唯一.A的逆记为:A^{-1}\\ 设B,C都是A的逆,则\\ B=EB=(CA)B=C(AB)=CE=C\\ 2.并非每个方阵都可逆$
定理:n阶方阵A可逆的充要条件是|A|!=0
$A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^*$
$证:"\Rightarrow"由AA^{-1}=E,两边取行列式\\ |AA^{-1}|=|A||A^{-1}=|E|=1\\ \Rightarrow |A|!=0\\ "\Leftarrow" 由|A|!=0,AA^*=A^*A=|A|E\\ \Rightarrow A(\frac{1}{|A|}A*)=(\frac{1}{|A|}A^*)A=E \Rightarrow A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^*$

逆矩阵的性质及求法2
逆矩阵的性质:
$1.A可逆\Rightarrow|A^{-1}|=\frac{1}{|A|}\\ 2.(A^{-1})^{-1}=A\\ 3.AB=E(or BA=E)\Rightarrow B=A^{-1}\\ 4.(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T\\ 5.(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\\ 6.(kA)^{-1} = \frac{1}{k}A^{-1},(k!=0,A可逆)$
$P_1P_2...P_sA=E,(一系列初等矩阵左乘A,也就是一系列的行变换)\\ P_1P_2...P_sE=A^{-1}\\ AA^{-1}=E\\ (A:E)->...->(E:A^{-1})$

逆阵的求法
A与B可逆,那么AB=E.(只有对角线有元素,而且都是1)

分块矩阵
1.准对角阵:两个矩阵的对应元素同阶
2.分块三角阵:
3.分块斜对三角

矩阵的应用-求解矩阵方程
$AA^{-1}=E\\ A^{-1}=P_1P_2...P_s(一系列初等变换)\\ \begin{cases} P_1P_2...P_sA=E\\ P_1P_2...P_sB=X; \end{cases}\Rightarrow (A:B)->(E:X)$

矩阵习题
$A(A-B)=E, 则A是满秩的$

n维向量

定义1:由数a_1,a_2...a_n组成的有序数组,称为n维向量,简称为向量.
$定义2:\sqrt{a_1^2+...+a_n^2}称为向量\alpha的长度或规范或模,记为||\alpha||\\ ||\alpha||=0称为单位向量$

n维向量及其线性运算
$行向量:(\alpha_1,...,\alpha_n),即矩阵的一行\\ 列向量: \alpha=\begin{bmatrix} \alpha_1\\ \alpha_2\\ \vdots\\ \alpha_n \end{bmatrix}=(\alpha_1,...,\alpha_n)^T,即矩阵的一列$
向量组的等价:若向量组a中每个向量都可以由向量组b线性表示,则称向量组a可由向量组b线性表示
若向量组a与向量组b可以互相线性表示,则称向量组a与向量组b等价

向量组的线性相关性
$1.定义:设向量组(a_1,...,a_m),若存在一组不全为零的数(k_1,k_2,...,k_m)使:\\ k_1a_1+...+k_ma_m=0\\ 则称向量组(a_1,a_2,...,a_m)线性相关.否则是线性无关$

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