image.png
image.png
线性函数，这里需要指明标量域，R线性函数，C线性函数。C线性函数额外要求了对虚数单位的保持性。
image.png
可微性，这个定义还是很基本的，就像多元函数中的那样。是对函数增量的线性近似。
image.png
感觉有点奇怪，R可微时，这个微分是在2n维实空间上的，坐标基矢量是
微分变成了两项，复数项和共轭复数项。
*计算后发现和实空间的形式一致。
*发现latex中的\bar z显示错误
image.png
image.png
CR条件，导数的共轭复数项为零。
可以转换为分量形式，是一个超定方程组，超定是指约束过多，两个未知函数却有2n个关系，一维的柯西黎曼条件则是两个未知函数两个关系。如此比较的话，差别就太大了。
image.png
全纯的定义和一维情形差不多。可微和全纯在开集上相合，那么闭集如何呢？按照定义，闭集是不合适，因为边界处的邻域不是完全包含在内的。所以全纯函数一般而言是没有硬边界的，总会变现出光晕的形状，这就为后面的解析延拓提供了依据。
image.png
这个例子，其实在说明全纯函数不能是局部平坦的，这在一维情形下已经被唯一性定理所确定，在很早之前，我也写了一篇文章，说明解析函数的唯一性定理的含义。允许可数个可变参数的函数，也就是幂级数。而一个区域包含了不可数的点，所以完全确定了解析函数的形式为常数函数。提一句，全纯函数和解析函数是等价的，称呼不一样而已。
image.png
局部全纯和整体全纯，局部的定义导致性质不好，如果是局部是开集的话，和整体应该相处无几，因为开集可以保持空间的维数，三维空间中的开集也是三维的。鉴于局部全纯性质不好，所以后面的讨论都是针对整体全纯而言的。
image.png
简单的一点处函数空间的代数性质，关于加乘运算构成环，可以拓展到区域，类似的可以考虑一点处的光滑函数族，也可以具有代数结构，这是微分几何中的余切空间的一种构造方式。
image.png
image.png
image.png
哈托格斯基本定理，对每个单变量全纯的函数，必然对所有变量全纯。非常重要的定理。这可能是CR方程超定性带来的性质。
image.png
全纯和反全纯，其实可以从CR方程中看出来问题，区别只是共轭运算放在函数上还是导数上。
*经过计算，这个公式是成立的。函数共轭的复数导数等同于函数的共轭复数导数的共轭。
image.png
张量指标，这一块是在说明调和函数的性质，调和函数就是波方程的解。是二阶偏微分方程。在高维下就是重调和函数。
*和我算得不一样，虚部两项需要换个个。可能是指标写的多搞错了，而且，求导的顺序一般来说还是不要改变为好。
image.png
这个方程非常简洁，但是分量形式非常繁琐，有
*算子顺序有问题，应为先复数导，后共轭复数导
image.png
多重调和函数，一般也接触不到。
image.png
全纯函数的实部和虚部是调和函数，通过代数性质证明，很简洁。逆定理局部成立可能是因为区域的拓扑性质与整体拓扑差距很大。也就是定理2，在邻域的范围调和函数对应于某个全纯函数。
image.png
拉普拉斯算子，也就是著名的散度。由于没有包含全部的限制条件，所以重调和函数是调和函数的子集。
image.png
边值问题对应的解，也是数学物理问题中的著名问题。区别在于维度颇高。泊松积分好像是通用的求解方法，不太清楚。
image.png
公式改写，形式简化，也是容易跟不上的地方。
image.png
情况有变化，边界值条件不够充分。
image.png
初等性质，也就是解析函数的一系列性质。
image.png
柯西公式，经典结果。没有特别的地方。
image.png
在单个维度上利用柯西公式，然后将各个维度上的累次积分变化为重积分。
image.png
又是缩写，要注意这些符号规定，不然很容易就看不懂了。
image.png
展开为多重几何级数，方法差不多，项数多了些。
image.png
幂级数展开，系数由柯西公式给出。
image.png
定理没有特别的地方。
image.png
阿贝尔收敛性定理，有界则绝对一致收敛。
image.png
image.png
全纯函数任意阶可导，导数全纯，柯西公式的自然结果。
image.png
全纯函数的泰勒展开，在圆域上有效。
image.png
柯西不等式，应该算是积分不等式。
image.png
唯一性定理，唯一确定幂级数。
image.png
image.png
实邻域全为零即可，因为CR方程联系实部虚部。
image.png
全纯函数的极值只分布在边界上。内部的极值点导致常数函数。其实依然是唯一性定理导致的，极值周围一个邻域都取相同的值。
image.png
希洛夫边界，一种比较抽象的性质。
image.png
image.png
image.png
image.png
image.png
刘维尔定理，同样区别不大。
image.png
全纯函数列的极限函数全纯。
image.png
image.png
积分和导数的交换，全纯，连续可导。可以同多元函数情形相比较。函数族可积，连续可微。
image.png
image.png
内容好多。
image.png
image.png
image.png
image.png
image.png
image.png
image.png
image.png
image.png
image.png
image.png
image.png
image.png
image.png
不看了，太长了，对每个单变量全纯，则对所有变量全纯。
黎曼全纯等价于魏尔斯特拉斯全纯。
全纯函数同幂级数等价。
选取的内容太多了，结果后面就不想看了。还是要量力而行。
