2.3.3 切比雪夫不等式的证明

Refer to：
https://blog.csdn.net/u011240016/article/details/53005577
https://blog.csdn.net/u011240016/article/details/53010699

先从一道类型题出发
例1：设X是连续型变量，方差存在，则对任意的常数C和 $\epsilon>0$ ,必有
$P(|X−C|\geqslant \epsilon)\leqslant \frac{E(|X−C|)}{\epsilon}$
分析：初看这种形式，心里一定很莫名其妙，这两个有什么关系？如果对期望的定义有很深刻的认识
$E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx$
对于 $E(g(X))=\int_{\infty}^{+\infty}g(x)f(x)dx$
所以 $E(|X-C|)=\int_{-\infty}^{+\infty}|X-C|f(x)dx$

这样子我们就有了尝试的方向，原命题
$P(|X−C|\geqslant \epsilon)\leqslant \frac{E(|X−C|)}{\epsilon}$
左右两部分都可以表示成积分的形式，有
$P(|X-C|\geqslant\epsilon)=\int_{|X-C|\geqslant\epsilon}f(x)dx$ .....................................................①
$\frac{E(|X−C|)}{\epsilon}=\frac{1}{\epsilon}\int_{-\infty}^{+\infty}|X-C|f(x)dx$ ............................................②
左部分的积分区间为 $|X-C|\geqslant\epsilon$ ，肯定小于 $(-\infty,+\infty)$ ，
且 $\frac{|X-C|}{\epsilon}\geqslant1$ ，所以
可以从这里入手进行缩放
$P(|X-C|\geqslant\epsilon)$
$=\int_{|X-C|\geqslant\epsilon}f(x)dx$ ......................................................................................①
$\leqslant \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx$
$\leqslant \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{|X-C|}{\epsilon}f(x)dx$
$=\frac{1}{\epsilon}\int_{-\infty}^{+\infty}|X-C|f(x)dx$ .......................................................................②
$=\frac{E(|X-C|)}{\epsilon}$

上题的变形
例2：设X是随机变量， $E(|X|)^{r}(r>0)$ 存在，对任意的 $\epsilon >0$ ，有 $P(|X|>\epsilon)\leqslant \frac{E(|X|^{r})}{\epsilon ^{r}}$ .
分析：两边用积分表示
左边 $P(|X|>\epsilon)=\int_{|X|>\epsilon}f(x)dx$ .............................................................①
右边 $\frac{E(|X|^{r})}{\epsilon ^{r}} =\frac{1}{\epsilon^{r}}\int_{-\infty}^{+\infty}|X|^{r}f(x)dx$ ...................................................②
由于式①的积分区间 $|X|>\epsilon$ 小于 $(-\infty,+\infty)$ ，
且 $\frac{|X|}{\epsilon} >1$ ， $\frac{|X|^{r}}{\epsilon^{r}}>1$ ，所以
$P(|X|>\epsilon)=\int_{|X|>\epsilon}f(x)dx$
$\leqslant\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx$
$\leqslant\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{|X|^{r}}{\epsilon^{r}}f(x)dx$
$=\frac{1}{\epsilon^{r}}\int_{-\infty}^{+\infty}|X|^{r}f(x)dx$
$=\frac{E(|X|^{r})}{\epsilon ^{r}}$

现在来看切比雪夫不等式
对任意的 $\epsilon>0$
$P(|X−E(X)|\geqslant\epsilon)\leqslant \frac{Var(X)}{\epsilon^{2}}$

证明：两边用积分表示
左边 $P(|X−E(X)|\geqslant\epsilon)=\int_{|X−E(X)|\geqslant\epsilon}f(x)dx$ ，
$\because$ 方差的定义2.3.1 $Var(X)=E((X-E(X))^{2})$
右边 $\frac{Var(X)}{\epsilon^{2}}=\frac{E((X-E(X))^{2})}{\epsilon^{2}}=\frac{1}{\epsilon^{2}}\int_{-\infty}^{+\infty}(X-E(X))^{2}f(x)dx$
左边的积分区域 $|X−E(X)|\geqslant\epsilon$ 小于 $(-\infty,+\infty)$ ，
且 $\frac{|X−E(X)|}{\epsilon} \geqslant 1$ ， $\frac{|X−E(X)|^{2}}{\epsilon^{2}}\geqslant1$ ，所以
$P(|X−E(X)|\geqslant\epsilon)=\int_{|X−E(X)|\geqslant\epsilon}f(x)dx$
$\leqslant \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx$
$\leqslant \frac{1}{\epsilon^{2}}\int_{-\infty}^{+\infty}|X−E(X)|^{2}f(x)dx$
$=\frac{Var(X)}{\epsilon^{2}}$

用图来理解切比雪夫不等式的证明
@TODO 有时间补个图，先看字凑合理解，关键是式子①中的放大过程
$P(|X−E(X)|\geqslant\epsilon)\leqslant \frac{Var(X)}{ \epsilon^{2}}$
$\because \epsilon>0$
设
$S_{①}$ 为 $P(X\geqslant E(X)+\epsilon)=\int_{E(X)+\epsilon}^{+\infty}f(x)dx$
$S_{②}$ 为 $P(X\leqslant E(X)-\epsilon)=\int_{-\infty}^{E(X)-\epsilon}f(x)dx$
$P(|X−E(X)|\geqslant\epsilon)=S_{①}+S_{②}\leqslant S_{(-\infty,+\infty)}\leqslant C*S_{(-\infty,+\infty)},(C>1)$ .........①
C的取值可以是任意大于等于1的数，在切比雪夫不等式中，取 $\frac{Var(X)}{\epsilon^{2}}$
$\because \frac{Var(X)}{\epsilon^{2}}=\frac{|X−E(X)|^{2}}{\epsilon^{2}}$
由命题左边知 $|X−E(X)|\geqslant\epsilon \Rightarrow \frac{|X−E(X)|^{2}}{\epsilon^{2}} \geqslant 1$
所以切比雪夫不等式成立

在①的两次放大中，积分区间的放大和C倍放大都是非常松散的放大，
当 $\epsilon$ 非常大时，实际上 $S_{①}+S_{②}$ 远远小于 $S_{(-\infty,+\infty)}$
或者当 $\epsilon$ 非常小，远远小于@TODO时
可以得出切比雪夫不等式给出的是一个非常松散的界

最后编辑于：2020.08.31 17:08:02

人面猴
序言：七十年代末，一起剥皮案震惊了整个滨河市，随后出现的几起案子，更是在滨河造成了极大的恐慌，老刑警刘岩，带你破解...
沈念sama阅读 204,732评论 6赞 478
死咒
序言：滨河连续发生了三起死亡事件，死亡现场离奇诡异，居然都是意外死亡，警方通过查阅死者的电脑和手机，发现死者居然都...
沈念sama阅读 87,496评论 2赞 381
救了他两次的神仙让他今天三更去死
文/潘晓璐我一进店门，熙熙楼的掌柜王于贵愁眉苦脸地迎上来，“玉大人，你说我怎么就摊上这事。” “怎么了？”我有些...
开封第一讲书人阅读 151,264评论 0赞 338
道士缉凶录：失踪的卖姜人
文/不坏的土叔我叫张陵，是天一观的道长。经常有香客问我，道长，这世上最难降的妖魔是什么？我笑而不...
开封第一讲书人阅读 54,807评论 1赞 277
港岛之恋（遗憾婚礼）
正文为了忘掉前任，我火速办了婚礼，结果婚礼上，老公的妹妹穿的比我还像新娘。我一直安慰自己，他们只是感情好，可当我...
茶点故事阅读 63,806评论 5赞 368
恶毒庶女顶嫁案：这布局不是一般人想出来的
文/花漫我一把揭开白布。她就那样静静地躺着，像睡着了一般。火红的嫁衣衬着肌肤如雪。梳的纹丝不乱的头发上，一...
开封第一讲书人阅读 48,675评论 1赞 281
城市分裂传说
那天，我揣着相机与录音，去河边找鬼。笑死，一个胖子当着我的面吹牛，可吹牛的内容都是我干的。我是一名探鬼主播，决...
沈念sama阅读 38,029评论 3赞 399
双鸳鸯连环套：你想象不到人心有多黑
文/苍兰香墨我猛地睁开眼，长吁一口气：“原来是场噩梦啊……” “哼！你这毒妇竟也来了？” 一声冷哼从身侧响起，我...
开封第一讲书人阅读 36,683评论 0赞 258
万荣杀人案实录
序言：老挝万荣一对情侣失踪，失踪者是张志新（化名）和其女友刘颖，没想到半个月后，有当地人在树林里发现了一具尸体，经...
沈念sama阅读 41,704评论 1赞 299
护林员之死
正文独居荒郊野岭守林人离奇死亡，尸身上长有42处带血的脓包…… 初始之章·张勋以下内容为张勋视角年9月15日...
茶点故事阅读 35,666评论 2赞 321
白月光启示录
正文我和宋清朗相恋三年，在试婚纱的时候发现自己被绿了。大学时的朋友给我发了我未婚夫和他白月光在一起吃饭的照片。...
茶点故事阅读 37,773评论 1赞 332
活死人
序言：一个原本活蹦乱跳的男人离奇死亡，死状恐怖，灵堂内的尸体忽然破棺而出，到底是诈尸还是另有隐情，我是刑警宁泽，带...
沈念sama阅读 33,413评论 4赞 321
日本核电站爆炸内幕
正文年R本政府宣布，位于F岛的核电站，受9级特大地震影响，放射性物质发生泄漏。R本人自食恶果不足惜，却给世界环境...
茶点故事阅读 39,016评论 3赞 307
男人毒药：我在死后第九天来索命
文/蒙蒙一、第九天我趴在偏房一处隐蔽的房顶上张望。院中可真热闹，春花似锦、人声如沸。这庄子的主人今日做“春日...
开封第一讲书人阅读 29,978评论 0赞 19
一桩弑父案，背后竟有这般阴谋
文/苍兰香墨我抬头看了看天上的太阳。三九已至，却和暖如春，着一层夹袄步出监牢的瞬间，已是汗流浃背。一阵脚步声响...
开封第一讲书人阅读 31,204评论 1赞 260
情欲美人皮
我被黑心中介骗来泰国打工，没想到刚下飞机就差点儿被人妖公主榨干…… 1. 我叫王不留，地道东北人。一个月前我还...
沈念sama阅读 45,083评论 2赞 350
代替公主和亲
正文我出身青楼，却偏偏与公主长得像，于是被迫代替她去往敌国和亲。传闻我的和亲对象是个残疾皇子，可洞房花烛夜当晚...
茶点故事阅读 42,503评论 2赞 343

2.3.3 切比雪夫不等式的证明

推荐阅读更多精彩内容