点云精配准

点云精细配准最传统的方法是ICP（Iterative Closest Point）

Point-to-Point ICP

现在假设有
$n$ 个目标点云 $\boldsymbol p_i^t,i = 1,\cdots,n$
$n$ 个源点云 $\boldsymbol p_i^s,i = 1,\cdots,n$
那么点云配准就是在求解最优的 $\boldsymbol R^*,\boldsymbol t^*$ 使得满足如下的式子
$\boldsymbol R^*,\boldsymbol t^* = \arg\min_{\boldsymbol R,\boldsymbol t} \frac{1}{n} \sum_{i =1}^{n} \| \boldsymbol R \boldsymbol p_i^s + \boldsymbol t - \boldsymbol p_i^t \|^2$

如果认为第 $i$ 个点拥有权重 $w_i$ ，那么上面的式子将会变成
$\boldsymbol R^*,\boldsymbol t^* = \arg\min_{\boldsymbol R,\boldsymbol t} \frac{1}{n} \sum_{i =1}^{n}w_i \| (\boldsymbol R \boldsymbol p_i^s + \boldsymbol t - \boldsymbol p_i^t) \|^2$

令
$\begin{aligned} F(\boldsymbol R, \boldsymbol t) =& \sum_{i =1}^{n}w_i \| \boldsymbol R \boldsymbol p_i^s + \boldsymbol t - \boldsymbol p_i^t \|^2 \\ =& \sum_{i =1}^{n}w_i (\boldsymbol R \boldsymbol p_i^s + \boldsymbol t - \boldsymbol p_i^t)^T (\boldsymbol R \boldsymbol p_i^s + \boldsymbol t - \boldsymbol p_i^t) \\ =& \sum_{i =1}^{n}w_i (\boldsymbol p_i^{sT} \boldsymbol R^T \boldsymbol R \boldsymbol p_i^s + 2\boldsymbol t^T \boldsymbol R \boldsymbol p_i^s-2\boldsymbol p_i^{tT} \boldsymbol R \boldsymbol p_i^s - 2\boldsymbol t^T \boldsymbol p_i^t + \boldsymbol p_i^{tT} \boldsymbol p_i^t + \boldsymbol t^T \boldsymbol t)\\ =& \sum_{i =1}^{n}w_i \boldsymbol p_i^{tT} \boldsymbol p_i^t + \sum_{i =1}^{n}w_i (\boldsymbol p_i^{sT} \boldsymbol R^T \boldsymbol R \boldsymbol p_i^s + 2\boldsymbol t^T \boldsymbol R \boldsymbol p_i^s-2\boldsymbol p_i^{tT} \boldsymbol R \boldsymbol p_i^s - 2\boldsymbol t^T \boldsymbol p_i^t + \boldsymbol t^T \boldsymbol t) \end{aligned}$

假设 $\boldsymbol R$ 已知的情况下，对 $\boldsymbol t$ 求导可以得到
$\begin{aligned} \frac{\partial F(\boldsymbol R, \boldsymbol t)}{\partial \boldsymbol t} \bigg|_{\boldsymbol t = \boldsymbol t^*} =& 0 \\ 2\sum_{i =1}^{n}w_i (\boldsymbol R \boldsymbol p_i^s - \boldsymbol p_i^t + \boldsymbol t^*) =& 0 \\ \boldsymbol t^* =& \frac{\sum_{i = 1}^n w_i \boldsymbol p_i^t}{\sum_{i = 1}^n w_i} - \boldsymbol R \frac{\sum_{i = 1}^n w_i \boldsymbol p_i^s}{\sum_{i = 1}^n w_i} \end{aligned}$

定义 $\overline{\boldsymbol p^t} = \frac{\sum_{i = 1}^n w_i \boldsymbol p_i^t}{\sum_{i = 1}^n w_i}, \overline{\boldsymbol p^s} = \frac{\sum_{i = 1}^n w_i \boldsymbol p_i^s}{\sum_{i = 1}^n w_i}$ ，那么上式可以表达成
$\boldsymbol t^* = \overline{\boldsymbol p^t} - \boldsymbol R \overline{\boldsymbol p^s}$

这是固定 $\boldsymbol R$ 下求解 $\boldsymbol t$ 的方法，如果令 $\hat{\boldsymbol {p}_i^s} = \boldsymbol p_i^s - \overline{\boldsymbol p^s},\hat{\boldsymbol {p}_i^t} = \boldsymbol p_i^t - \overline{\boldsymbol p^t}$ ，那么有
$\begin{aligned} F(\boldsymbol R, \boldsymbol t^*) =& \sum_{i =1}^{n}w_i \| \boldsymbol R \boldsymbol p_i^s + \boldsymbol t^* - \boldsymbol p_i^t \|^2 \\ =& \sum_{i =1}^{n}w_i \| \boldsymbol R \boldsymbol p_i^s + \overline{\boldsymbol p^t} - \boldsymbol R \overline{\boldsymbol p^s} - \boldsymbol p_i^t \|^2 \\ =& \sum_{i =1}^{n}w_i \| \boldsymbol R \hat{\boldsymbol p_i^s} - \hat{\boldsymbol p_i^t} \|^2 \\ =& \sum_{i =1}^{n}w_i (\boldsymbol R \hat{\boldsymbol p_i^s} - \hat{\boldsymbol p_i^t})^T (\boldsymbol R \hat{\boldsymbol p_i^s} - \hat{\boldsymbol p_i^t}) \\ =& \sum_{i =1}^{n}w_i \hat {\boldsymbol p_i^{tT}} \hat{\boldsymbol p_i^t} + \sum_{i =1}^{n}w_i (\hat {\boldsymbol p_i^{sT}} \boldsymbol R^T \boldsymbol R \hat{\boldsymbol p_i^s} - 2\hat{\boldsymbol p_i^{tT}} \boldsymbol R \hat{\boldsymbol p_i^s}) \end{aligned}$

考虑到 $\boldsymbol R^T \boldsymbol R = \boldsymbol I$ ，因此有
$F(\boldsymbol R, \boldsymbol t) = \sum_{i =1}^{n}w_i \hat {\boldsymbol p_i^t}^T \hat{\boldsymbol p_i^t} + \sum_{i =1}^{n}w_i \hat {\boldsymbol p_i^s}^T \hat{\boldsymbol p_i^s} - 2 \sum_{i =1}^{n}w_i \hat{\boldsymbol p_i^t}^T \boldsymbol R \hat{\boldsymbol p_i^s}$

因此
$\begin{aligned} \boldsymbol R^* =& \arg \min_{\boldsymbol R} F(\boldsymbol R, \boldsymbol t^*) = \arg \max_{\boldsymbol R} \sum_{i =1}^{n}w_i \hat{\boldsymbol p_i^t}^T \boldsymbol R \hat{\boldsymbol p_i^s} \\ =& \arg\max_{\boldsymbol R} trace \bigg( \begin{bmatrix} w_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & w_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & w_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \hat{\boldsymbol p_1^t}^T \\ \vdots \\ \hat{\boldsymbol p_n^t}^T \end{bmatrix} \boldsymbol R \begin{bmatrix} \hat{\boldsymbol p_1^s} & \hat{\boldsymbol p_2^s} & \cdots & \hat{\boldsymbol p_n^s} \end{bmatrix} \bigg)\\ =& \arg\max_{\boldsymbol R} trace(\boldsymbol W {\boldsymbol P^t}^T \boldsymbol R \boldsymbol P^s)\\ =& \arg\max_{\boldsymbol R} trace(\boldsymbol R \boldsymbol P^s \boldsymbol W {\boldsymbol P^t}^T) \end{aligned}$

对 $\boldsymbol P^s \boldsymbol W {\boldsymbol P^t}^T$ 做 SVD 分解后得到的结果 $\boldsymbol P^s \boldsymbol W {\boldsymbol P^t}^T = \boldsymbol U \boldsymbol \Lambda \boldsymbol V^T$ ，则上式变为
$\begin{aligned} \boldsymbol R^* =& \arg\max_{\boldsymbol R} trace(\boldsymbol R \boldsymbol P^s \boldsymbol W {\boldsymbol P^t}^T) \\ =& \arg\max_{\boldsymbol R} trace(\boldsymbol R \boldsymbol U \boldsymbol \Lambda \boldsymbol V^T)\\ =& \arg\max_{\boldsymbol R} trace(\boldsymbol \Lambda \boldsymbol V^T \boldsymbol R \boldsymbol U) \end{aligned}$

考虑到 $\boldsymbol V^T \boldsymbol R \boldsymbol U$ 为正交矩阵，该矩阵行（列）向量满足 $\boldsymbol x_i^T \boldsymbol x_i = 1$ ，因此该矩阵内每个元素（包括对角线元素）均有 $x_{ij} \le 1$ ，当 $\boldsymbol V^T \boldsymbol R \boldsymbol U = \boldsymbol I$ 时，上式取到最大值，即
$\boldsymbol R^* = \boldsymbol V \boldsymbol U^T$

最后对Point-to-Point ICP配准进行总结：

从目标点云和源点云中找到距离小于 $\varepsilon$ 的点对 $\boldsymbol p_i^t,\boldsymbol p_i^s$
根据权重，计算等效中心 $\overline{\boldsymbol p^t} = \frac{\sum_{i = 1}^n w_i \boldsymbol p_i^t}{\sum_{i = 1}^n w_i}, \overline{\boldsymbol p^s} = \frac{\sum_{i = 1}^n w_i \boldsymbol p_i^s}{\sum_{i = 1}^n w_i}$
将每个点去中心化 $\hat{\boldsymbol p_i^s} = \boldsymbol p_i^s - \overline{\boldsymbol p^s},\hat{\boldsymbol p_i^t} = \boldsymbol p_i^t - \overline{\boldsymbol p^t}$
对协方差矩阵进行SVD分解 $\Sigma = \boldsymbol U \boldsymbol \Lambda \boldsymbol V^T$ ，其中协方差矩阵 $\Sigma$ 为
$\Sigma = \begin{bmatrix} \hat{\boldsymbol p_1^s} & \hat{\boldsymbol p_2^s} & \cdots & \hat{\boldsymbol p_n^s} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} w_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & w_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & w_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \hat{\boldsymbol p_1^t}^T \\ \vdots \\ \hat{\boldsymbol p_n^t}^T \end{bmatrix}$
求解得到旋转矩阵 $\boldsymbol R^* = \boldsymbol V \begin{bmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & |\boldsymbol V \boldsymbol U^T| \end{bmatrix}\boldsymbol U^T$
求解得到平移向量 $\boldsymbol t^* = \overline{\boldsymbol p^t} - \boldsymbol R^* \overline{\boldsymbol p^s}$

注：在三维情况下，需要求解旋转矩阵 $\boldsymbol R$ ，如前面所示
$\boldsymbol R^*= \arg \max_{\boldsymbol R} \sum_{i =1}^{n}w_i \hat{\boldsymbol {p}_i^t}^T \boldsymbol R \hat{\boldsymbol {p}_i^s}$

在某些情况下该问题可以退化为BEV二维平面上的问题，忽略高度 $z$ ，则上式变成
$\begin{aligned} \boldsymbol R^* &= \arg \max_{\theta} \sum_{i =1}^{n}w_i \begin{bmatrix} \hat {x_i^t} & \hat {y_i^t} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \hat {x_i^s} \\ \hat {y_i^s} \end{bmatrix} \\ &= \arg \max_{\theta} \sum_{i =1}^{n}w_i [(\hat {x_i^t} \hat {x_i^s} + \hat {y_i^t} \hat {y_i^s}) \cos\theta + (\hat {x_i^t} \hat {y_i^s} - \hat {y_i^t} \hat {x_i^s}) \sin\theta] \\ &= \arg \max_{\theta} \alpha \cos\theta + \beta\sin\theta \end{aligned}$

其中
$\begin{aligned} \alpha &= \sum_{i =1}^{n}w_i (\hat {x_i^t} \hat {x_i^s} + \hat {y_i^t} \hat {y_i^s}) \\ \beta &= \sum_{i =1}^{n}w_i (\hat {x_i^t} \hat {y_i^s} - \hat {y_i^t} \hat {x_i^s}) \end{aligned}$

上式的最优解在 $\theta = \arctan\frac{\beta}{\alpha}$ 的时候得到，此时有
$\begin{aligned} \cos\theta &= \frac{\alpha}{\sqrt{\alpha^2 + \beta^2}}\\ \sin\theta &= \frac{\beta}{\sqrt{\alpha^2 + \beta^2}} \end{aligned}$

Point-to-Plane ICP

点面配准在点点配准的基础上，需要额外知道 $n$ 个目标点云 $\boldsymbol p_i^t$ 所在表面的单位法向量 $\boldsymbol n_i^t, i = 1,\cdots,n$ ，而优化方程也变成了
$\boldsymbol R^*,\boldsymbol t^* = \arg\min_{\boldsymbol R,\boldsymbol t} \frac{1}{n} \sum_{i =1}^{n}w_i [{\boldsymbol n_i^t}^T (\boldsymbol R \boldsymbol p_i^s + \boldsymbol t - \boldsymbol p_i^t)]^2$

如果已经完成粗配准阶段，可以近似认为 $\boldsymbol R \approx \boldsymbol I$ ，如果用欧拉角来表示旋转矩阵则
$\begin{aligned} \boldsymbol R =& \boldsymbol R_z(yall) \boldsymbol R_y(pitch) \boldsymbol R_x(roll) \\ =& \begin{bmatrix} \cos y & -\sin y & 0\\ \sin y & \cos y & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos p & 0 & \sin p\\ 0 & 1 & 0\\ -\sin p & 0 & \cos p \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & \cos r & -\sin r\\ 0 & \sin r & \cos r\\ \end{bmatrix} \\ =& \begin{bmatrix} \cos y \cos p & \cos y \sin p \sin r - \sin y \cos r & \cos y \sin p \cos r + \sin y \sin r\\ \sin y \cos p & \sin y \sin p \sin r + \cos y \cos r & \sin y \sin p \cos r - \cos y \sin r\\ -\sin p & \cos p \sin r & \cos p \cos r \\ \end{bmatrix} \\ \approx& \begin{bmatrix} 1 & pr-y & p + yr\\ y & ypr + 1 & yp - r\\ -p & r & 1\\ \end{bmatrix} \\ \approx& \begin{bmatrix} 1 & -y & p\\ y & 1 & -r\\ -p & r & 1\\ \end{bmatrix} =\boldsymbol I + \begin{bmatrix} r\\ p\\ y \end{bmatrix}^\land \end{aligned}$

原优化方程可以写成
$\begin{aligned} &\frac{1}{n} \sum_{i =1}^{n}w_i [{\boldsymbol n_i^t}^T \cdot (\boldsymbol R \boldsymbol p_i^s + \boldsymbol t - \boldsymbol p_i^t)]^2 \\ \Rightarrow& \frac{1}{n} \sum_{i =1}^{n}w_i [{\boldsymbol n_i^t}^T \cdot (\boldsymbol p_i^s + \begin{bmatrix} r\\ p\\ y \end{bmatrix}^\land \boldsymbol p_i^s+ \boldsymbol t - \boldsymbol p_i^t)]^2 \\ \Rightarrow& \frac{1}{n} \sum_{i =1}^{n}w_i [{\boldsymbol n_i^t}^T \cdot (-{\boldsymbol p_i^s}^\land \begin{bmatrix} r\\ p\\ y \end{bmatrix} + \boldsymbol t + \boldsymbol p_i^s - \boldsymbol p_i^t)]^2 \\ \Rightarrow& \frac{1}{n} \sum_{i =1}^{n} \big [ \begin{bmatrix} -\sqrt{w_i}{\boldsymbol n_i^t}^T {\boldsymbol p_i^s}^\land & \sqrt{w_i}{\boldsymbol n_i^t}^T \end{bmatrix} \begin{bmatrix} r\\ p\\ y\\ \boldsymbol t \end{bmatrix} + \sqrt{w_i}{\boldsymbol n_i^t}^T(\boldsymbol p_i^s - \boldsymbol p_i^t) \big]^2\\ \Rightarrow& \frac{1}{n} \bigg\| \begin{bmatrix} -\sqrt{w_1}{\boldsymbol n_1^t}^T {\boldsymbol p_1^s}^\land & \sqrt{w_1}{\boldsymbol n_1^t}^T \\ \vdots & \vdots \\ -\sqrt{w_n}{\boldsymbol n_n^t}^T {\boldsymbol p_n^s}^\land & \sqrt{w_n}{\boldsymbol n_n^t}^T \end{bmatrix} \begin{bmatrix} r\\ p\\ y\\ \boldsymbol t \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} \sqrt{w_1}{\boldsymbol n_1^t}^T(\boldsymbol p_1^t - \boldsymbol p_1^s) \\ \vdots \\ \sqrt{w_n}{\boldsymbol n_n^t}^T(\boldsymbol p_n^t - \boldsymbol p_n^s) \end{bmatrix} \bigg\|^2 \end{aligned}$

该问题变成典型的 $\| \boldsymbol A \boldsymbol x - \boldsymbol b \|^2$ 最小值问题，在超定情况下该问题的解为
$\boldsymbol x = (\boldsymbol A^T \boldsymbol A)^{-1} \boldsymbol A^T \boldsymbol b = \boldsymbol V \boldsymbol \Lambda^+ \boldsymbol U^T \boldsymbol b$

其中 $\boldsymbol A = \boldsymbol U \boldsymbol{\Lambda} \boldsymbol V^T$ ， $\boldsymbol{\Lambda}^+$ 为 $\boldsymbol{\Lambda}$ 伪逆
$\boldsymbol{\Lambda}^+ = \begin{bmatrix} \frac{1}{\lambda_1}\\ & \ddots\\ && \frac{1}{\lambda_m}\\ &&& 0\\ &&&& \ddots\\ &&&&& 0 \end{bmatrix}$

最后对Point-to-Plane ICP配准进行总结：

从目标点云和源点云中找到距离小于 $\varepsilon$ 的点对 $\boldsymbol p_i^t,\boldsymbol p_i^s$
根据权重 $w_i$ ，和目标点云的单位法向量 $\boldsymbol n_i^t$ ，计算
$\begin{aligned} \boldsymbol A &= \begin{bmatrix} -\sqrt{w_1}{\boldsymbol n_1^t}^T {\boldsymbol p_1^s}^\land & \sqrt{w_1}{\boldsymbol n_1^t}^T \\ \vdots & \vdots \\ -\sqrt{w_n}{\boldsymbol n_n^t}^T {\boldsymbol p_n^s}^\land & \sqrt{w_n}{\boldsymbol n_n^t}^T \end{bmatrix} \\ \boldsymbol b &= \begin{bmatrix} \sqrt{w_1}{\boldsymbol n_1^t}^T(\boldsymbol p_1^t - \boldsymbol p_1^s) \\ \vdots \\ \sqrt{w_n}{\boldsymbol n_n^t}^T(\boldsymbol p_n^t - \boldsymbol p_n^s) \end{bmatrix} \end{aligned}$
对矩阵 $\boldsymbol A$ 进行 SVD 分解 $\boldsymbol A = \boldsymbol U \boldsymbol{\Lambda} \boldsymbol V^T$
得到结果 $\begin{bmatrix} r\\ p\\ y\\ \boldsymbol t \end{bmatrix} = \boldsymbol V \boldsymbol \Lambda^+ \boldsymbol U^T \boldsymbol b$ ，从中分离出 $\boldsymbol t$ ，并且进一步求解出 $\boldsymbol R = \begin{bmatrix} 1 & -y & p\\ y & 1 & -r\\ -p & r & 1 \end{bmatrix}$

最后编辑于：2023.03.19 23:24:40

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