前面的文章里，“正向思考辅助器——方程”，随后与“方程使用说明书”一起，开拓了解析平面几何、解析立体几何领域，将几何图形与方程函数融会贯通起来。接下来，我们来看看新的思考辅助器——微分和积分。

这时候，历史来到17世纪，哥伦布发现新大陆，哥白尼创立日心说，伽利略出版《力学对话》，开普勒发现行星运动规律……航海的需要，矿山的开发，火松制造提出了一系列的力学和数学的问题，这些问题也就成了促使微积分产生的因素。归结起来，大约有四种主要类型的问题：

第一类问题是求曲线的切线的问题。这个问题的重要性来源于好几个方面：纯几何问题、光学中研究光线通过透镜的通道问题、运动物体在它的轨迹上任意一点处的运动方向问题等。困难在于：曲线的“切线”的定义本身就是一个没有解决的问题。古希腊人把圆锥曲线的切线定义为“与曲线只接触于一点而且位于曲线的一边的直线”。这个定义对于十七世纪所用的较复杂的曲线已经不适应了。

第二类问题是求函数的最大值和最小值问题。十七世纪初期，伽利略断定，在真空中以45°角发射炮弹时，射程最大。研究行星运动也涉及最大最小值问题。困难在于：原有的初等计算方法已不适于解决研究中出现的问题。但新的方法尚无眉目。

第三类是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题。已知物体移动的距离表为时间的函数的公式，求物体在任意时刻的速度和加速度；反过来，已知物体的加速度表为时间的函数的公式，求速度和距离。困难在于：十七世纪所涉及的速度和加速度每时每刻都在变化。例如，计算瞬时速度，就不能象计算平均速度那样，用运动的时间去除移动的距离，因为在给定的瞬刻，移动的距离和所用的时间都是 0，而 0 / 0 是无意义的。但根据物理学，每个运动的物体在它运动的每一时刻必有速度，是不容怀疑的。

第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。困难在于：古希腊人用穷竭法求出了一些面积和体积，尽管他们只是对于比较简单的面积和体积应用了这个方法，但也必须添加许多技巧，因为这个方法缺乏一般性，而且经常得不到数值的解答。穷竭法先是被逐步修改，后来由微积分的创立而被根本修改了。欧多克斯的穷竭法是一种有限且相当复杂的几何方法。它的思想虽然古老，但很重要，阿基米德用得相当熟练。

微积分的产生一般分为三个阶段：极限概念；求积的无限小方法；积分与微分的互逆关系 。最后一步是由牛顿、莱布尼兹完成的。

公正的历史评价，是不能把创建微积分归功于一两个人的偶然的或不可思议的灵感的。十七世纪的许多着名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上节四类问题作了大量的研究工作，如法国的费马、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论。为微积分的创立做出了贡献。

事实上，牛顿的老师巴罗，就曾经几乎充分认识到微分与积分之间的互逆关系。牛顿和莱布尼茨创建的系统的微积分就是基于这一基本思想。在牛顿与莱布尼茨作出他们的冲刺之前，微积分的大量知识已经积累起来了。甚至在巴罗的一本书里就能看到求切线的方法、两个函数的积和商的微分定理、x 的幂的微分、求曲线的长度、定积分中的变量代换、隐函数的微分定理等等。但最重要的2个人物还是下面两位：

牛顿

17世纪生产力的发展推动了自然科学和技术的发展，不但已有的数学成果得到进一步巩固、充实和扩大，而且由于实践的需要，开始研究运动着的物体和变化的量，这样就获得了变量的概念，研究变化着的量的一般性和它们之间的依赖关系。到了17世纪下半叶，在前人创造性研究的基础上，英国大数学家、物理学家艾萨克·牛顿（1642~1727）是从物理学的角度研究微积分的，他为了解决运动问题，创立了一种和物理概念直接联系的数学理论，即牛顿称之为“流数术”的理论，这实际上就是微积分理论。牛顿的有关“流数术”的主要着作是《求曲边形面积》、《运用无穷多项方程的计算法》和《流数术和无穷极数》。这些概念是物理概念的数学反映。牛顿认为任何运动存在于空间，依赖于时间，因而他把时间作为自变量，把和时间有关的固变量作为流量，不仅这样，他还把几何图形――线、角、体，都看作力学位移的结果。因而，一切变量都是流量。

牛顿指出，“流数术”基本上包括三类问题。

（1）已知流量之间的关系，求它们的流数的关系，这相当于微分学。

（2）已知表示流数之间的关系的方程，求相应的流量间的关系。这相当于积分学，牛顿意义下的积分法不仅包括求原函数，还包括解微分方程。

（3）“流数术”应用范围包括计算曲线的极大值、极小值，求曲线的切线和曲率，求曲线长度及计算曲边形面积等。

牛顿已完全清楚上述（1）与（2）两类问题中运算是互逆的运算，于是建立起微分学和积分学之间的联系。

牛顿在1665年5月20日的一份手稿中提到“流数术”，因而有人把这一天作为诞生微积分的标志。

莱布尼茨

德国数学家莱布尼茨（G.W. Leibniz 1646~1716）是17、18世纪之交德国最重要的数学家、物理学家和哲学家，一个举世罕见的科学天才。他博览群书，涉猎百科，对丰富人类的科学知识宝库做出了不可磨灭的贡献。

他是从几何方面独立发现了微积分，在牛顿和莱布尼茨之前至少有数十位数学家研究过，他们为微积分的诞生作了开创性贡献。但是他们这些工作是零碎的，不连贯的，缺乏统一性。莱布尼茨创立微积分的途径与方法与牛顿是不同的。莱布尼茨是经过研究曲线的切线和曲线包围的面积，运用分析学方法引进微积分概念、得出运算法则的。牛顿在微积分的应用上更多地结合了运动学，造诣较莱布尼茨高一等，但莱布尼茨的表达形式采用数学符号却又远远优于牛顿一筹，既简洁又准确地揭示出微积分的实质，强有力地促进了高等数学的发展。

莱布尼茨创造的微积分符号，正像印度――阿拉伯数码促进了算术与代数发展一样，促进了微积分学的发展。莱布尼茨是数学史上最杰出的符号创造者之一。

牛顿当时采用的微分和积分符号现在不用了，而莱布尼茨所采用的符号现今仍在使用。莱布尼茨比别人更早更明确地认识到，好的符号能大大节省思维劳动，运用符号的技巧是数学成功的关键之一。

应该指出，这是和历史上任何一项重大理论的完成都要经历一段时间一样，牛顿和莱布尼茨的工作也都是很不完善的。他们在无穷和无穷小量这个问题上，其说不一，十分含糊。牛顿的无穷小量，有时候是零，有时候不是零而是有限的小量；莱布尼茨的也不能自圆其说。这些基础方面的缺陷，最终导致了第二次数学危机的产生。直到19世纪初，法国科学学院的科学家以柯西为首，对微积分的理论进行了认真研究，建立了极限理论，后来又经过德国数学家维尔斯特拉斯进一步的严格化，使极限理论成为了微积分的坚定基础。才使微积分进一步的发展开来。

牛顿和莱布尼茨分别从物理和数学角度发明了微积分——将量的变化率和该量的图形连系起来的数学。最后，让我们从17世纪科学家们遇到的四大类难题，来看看微分和积分为什么充当了“跨维思考辅助器”的角色。

第一类问题是求曲线的切线的问题。这个问题的重要性来源于好几个方面：纯几何问题、光学中研究光线通过透镜的通道问题、运动物体在它的轨迹上任意一点处的运动方向问题等。

我们爬山的时候，山越陡越难爬；骑车的时候，路面的坡度越大越难骑。一个面的坡度越大，倾斜得越厉害，我们就越难上去，那么，我们该如何衡量这个倾斜程度呢？

在平面里画条一条直线，我们可以直观地看出这条直线的倾斜程度，而且还不难发现：不管在直线的什么地方，它的倾斜程度都是一样的。所以，我们就可以用一个量来描述这整条直线的倾斜程度，这个概念就被形象地命名为斜率。那么，一条直线的斜率要怎么计算呢？这个想法也很直观：建一个坐标系，看看直线在x轴改变了Δx时候，它在y轴的改变量Δy是多少。如果Δx是固定的，那么显然Δy越大，这条直线就斜得越厉害，斜率也就越大。

所以，我们就可以在直线上随意找两个点，用它们纵坐标之差Δy和横坐标之差Δx的比值（Δy/Δx）来定义这条直线斜率。学过三角函数的同学也会知道，这个斜率刚好就是这条直线和x轴夹角θ的正切值tanθ，即：tanθ=Δy/Δx。这就是说，直线和x轴的夹角θ越大，它的斜率就越大，就倾斜的越厉害，这跟经验都是一致的。

直线好说，关键是曲线怎么办？曲线跟直线不同，它完全可以在这里平缓一点，在那里陡峭一点，它在不同地方的倾斜程度是不一样的。所以，我们就不能说一条曲线的倾斜程度（“斜率”），而只能说曲线在某个具体点的倾斜程度。于是，我们就需要引入一个新的概念：切线。

切线，直观地看，就是刚好在这点“碰到”曲线的直线。因为切线是直线，所以切线有斜率，于是我们就可以用切线的斜率代表曲线在这点的倾斜程度。传统上我们可以这样定义切线：先随便画一个直线，让这条直线与曲线有两个交点，这样的直线叫割线。然后，我们让B点沿着曲线慢慢向A点靠近，直观上，等到B点和A点重合之后，割线AB就变成了曲线在A点的切线。

这样做很符合人们的直觉，但是它在逻辑上会有一点问题：当B点向A点移时，它是什么时候从割线变成切线的？重合的时候么？如果B点和A点重合，那就最后只剩下一个点了，我们知道“两点确定一条直线”，一个点怎么能确定一条直线呢？但是，如果B点和A点不重合的话，那么这就仍然是一条割线而不是切线啊。于是，这样就出现了一个“一看非常简单直观，但是怎么说都说不圆”的情况，似乎两个点不行，一个点也不行，怎么办？解决这个问题有一个很朴素的思路：要确定这条切线，让A、B两点重合是不行的，但是让它们分得太开也不行。最好就是让这两点靠近靠近无限靠近，但是就是不让它们重合。没重合的话就依然是两个点，两个点可以确定一条直线；无限靠近的话又可以把它跟一般的割线区分开来，这样不就两全其美了么？也就是说，A、B两点必须无限靠近但又不能重合，这样它们的距离就无限接近0但又不等于0。

利用无穷小定义了一点上的切线，我们就可以理所当然地用过这点切线的斜率来表示曲线在这点的倾斜度了。直线的斜率等于在直线上两点的纵坐标之差Δy和横坐标之差Δx的比值，即Δy/Δx。而切线是当曲线上A、B两点相隔无穷小时确定的直线，那么切线的斜率依然可以写成Δy/Δx，只不过这时Δx和Δy都无限趋近于0。莱布尼茨就给这两个趋近于0却又不等于0的Δx和Δy重新取了一个名字：dx和dy，并把它们称为“微分”。也就是说，对莱布尼茨而言，dx这个微分就是当Δx趋向于0时的无穷小量，dy也一样。虽然dx和dy都是无穷小，但是它们的比值dy/dx确是一个有限的数（所以这时候你就不能把无穷小dx当成0了，否则还怎么当除数？），这就是该点切线的斜率，这样一切似乎就都解释得通了。

我们在曲线的一点上定义了切线，那么在平滑曲线的其它点上也能定义切线。因为每条切线都有一个斜率，所以，曲线上的任何一点都有一个斜率值跟它对应。两个量之间存在一种对应关系，这是什么？这就是函数啊。函数y=f(x)不就是告诉我们：给定一个x，就有一个y跟它对应么？现在我们是给定一个点（假设横坐标为x），就有一个斜率dy/dx跟它对应。显然，这也是个函数，这个函数就叫导函数，简称导数。在中学的时候，我们通常在函数f(x)的右上角加上一撇表示这个函数的导数，那么现在这两种情况就都表示导数：

到这一步都很简单，接下来就有问题了：这上面和下面的dx到底能不能约掉？我们知道，除数是不能为0的，如果你想分子分母同时除以一个数，就必须保证这个数不是0。现在我们是想除以dx，这个dx就是我们前面定义的无穷小量，它无限接近于0却又不等于0。所以，似乎我们姑且把它当作一个非零的量直接给约掉，那么导数上下同时除以dx就成了这样：

这个式子看起来简洁了一些，但是后面还是拖了一个小尾巴dx。2x是一个有限的数，一个有限的数加上一个无穷小量，结果是多少？似乎还是应该等于这个具体的数。比如，100加上一个无穷小，结果应该还是100，因为如果等于100.00…0001那就不对了，无穷小肯定比你所有能给出的数还小啊，那么也肯定必须比0.00…001还小。所以，我们似乎又有充足的理由把2x后面的这个dx也给去掉，就像丢掉一个等于0的数一样，这样最终的导数就可以简单地写成这样：

大家看这个导数，当x越来越大（x>0）的时候，f(x)’的值也是越来越大的。而导数是用来表示函数的倾斜程度的，也就是说，当x越来越大的时候，曲线就越来越陡，这跟图像完全一致。所以，我们通过约掉一个（非零的）dx，再丢掉一个（等于零的）dx得到的导数f(x)’=2x竟然是正确的。但是这逻辑上就很奇怪了：一个无限趋近于0的无穷小量dx到底是不是0？如果是0，那么为什么可以让分子分母同时除以它来约分；如果不是0，那又为什么可以把它随意舍弃？总不能同时等于零又不等于零吧？数学不是变戏法，怎么能这么随意呢？于是，这个无穷小量就招来了一堆批判。第二次数学危机大兵压境！

历史一次次地告诫我们：直觉不可靠，我们能依靠的只有严密的逻辑和确凿的实验。在这样的大环境下，我们迎来了一位重要人物：柯西。

柯西深刻地认识到：只要涉及数学概念，任何关于连续运动的一些先验的直观观念，都是可以避免，甚至是必须避免的。科学放弃了形而上学方面的努力，采用“可观测”概念之后就迎来了大发展，那数学为什么不也这样呢？无穷小量是一个无限趋近于0但是又不能等于0的概念，也就是说它有一个极限位置0，你可以想多接近就多接近，但就是无法到达。我们知道实数跟数轴上的点是一一对应的。当我们说一个量在无限趋近于0的时候，很多人脑海里浮现的画面就是一个点在数轴上不停地移动，从一个点移动到下一个点，一直靠近0这个点。但是这个图景是不对的，为什么？因为实数是稠密的。稠密就是说任意两个点（实数）之间永远都有无数个点（实数）（你自己想想是不是，1和2之间有多少个数？）。A点和B点之间永远有无数个点，也就是说A点根本就没有所谓的“下一个点”。你认为我一定要走完了A点到B点之间所有的点才能到达B点，那就不可避免地会陷入到芝诺悖论里去，因为你压根就不可能走完任何两个点之间的所有点（因为是无穷多个）。

因此，面对这种连续的概念的时候，我们就不应该使用这种“动态的”定义。你想通过“让一个点在数轴上动态地运动来定义极限”是行不通的，这就是莱布尼茨的无穷小量栽跟头的真正原因。数学家们经过一百多年的探索、失败和总结，最后终于意识到了这点，这些思想在柯西这里完全成熟。于是，柯西完全放弃了那种动态的定义方式，转而采取了一种完全静态，完全可以描述测量的方式重新定义了极限，进而为微积分奠定了扎实的基础。这里我把柯西对极限的新定义原封不动的贴出来：当一个变量相继的值无限地趋近某个固定值的时候，如果它同这个固定值之间的差可以随意地小，那么这个固定值就被称为它的极限。有人看了这个定义之后就在犯嘀咕：这跟莱布尼茨说的不是一样的么？你还不是在用“无限趋近”啊，“随意的小”啊这种跟“无穷小”差不多的概念来定义极限么？你说以前的定义是动态的，柯西给整成了静态的，可是我看来看去，柯西这个定义好像也在动啊。什么无限趋近，随意的小，不是在动么？有这些疑问是正常的，毕竟是让数学家们卡了一百多年的问题，不可能那么太“显而易见”。我们再仔细看看柯西的定义，它跟以前的差别到底在哪？你看啊，柯西虽然也有用“无限趋近”，但是他只是用这个来描述这个现象，并不是用它来做判决的。他的核心判决是后面一句：如果它同这个固定值之间的差可以随意的小，那么它就是极限。可以随意的小和你主动去无限逼近是完全不一样的。可以随意小的意思是：你让我多小我就可以多小。你让我小于0.1，我就能小于0.1；你让我小于0.01，我就能小于0.01；你让我小于0.00…001，我就可以小于0.00…001。只要你能说出一个确定的值，不管你说的值有多小，我都可以让它跟这个固定值的差比你更小。柯西说如果这样的话，那么这个固定值就是它的极限。大家发现没有，柯西学聪明，学鸡贼了，他把这个判断过程给颠倒了过来。以前是你要证明自己的极限是0，你就不停地变小，不停地朝0这个地方跑过去。但是，你和0之间永远隔着无数个点，所以你永远也跑不完，你也就不知道你要跑到什么时候去，这样就晕了。现在我学聪明了，这个难以界定的东西，这个烫手的山芋我不管了，我丢给你，我让你先说。只要你说出一个数，你要我变得多小我就变得多小。你如果想让我变成无穷小，那你就得先把无穷小是多少给我说出来，你说不出来的话那就不能怪我了。

完美甩锅！这就是柯西的核心思想。

柯西就通过这种方式把那些不可测的概念挡在了数学之外，因为你能具体说出来的数，那肯定就都是“可观测”的啊。大家再看看这个定义，再想想之前莱布尼茨的想法，是不是这么回事？于是，柯西就这样完美的甩开了那个招人烦的无穷小量。在柯西这里，无穷小量不过就是一个简单的极限为0的量而已，一个“只要你可以说出一个数，我肯定就可以让我和0之间的差比你给的数更小”的量。这样我们就能把它说得清清楚楚，它也不再有任何神秘了。

然后，魏尔斯特拉斯用完全数学的语言改进了柯西的这段纯文字的定义，得到了最终的，也是我们现在教材里使用的ε-δ极限定义。根据柯西的思想，魏尔斯特拉斯说：你要判断某个函数f(x)在某个地方a的极限是不是某个值L，关键就要看如果我任意说一个数ε（比如0.00…001或者任意其它的，注意是任意取值，这里用ε代替），你能不能找到一个x的取值范围（用δ来衡量），让这个范围里的函数值f(x)与那个值L之间的差（用套个绝对值的|f(x)-L|表示）小于ε。如果你总能找到这样的δ，那我就说函数f(x)在a点的极限为L。用精练的数学语言表述上面的话就是：当且仅当对于任意的ε，存在一个δ>0，使得只要0<|x-a|<δ，就有|f(x)-L|<ε，那么我们就说f(x)在a点的极限为L。记做：

定义里的Lim就是极限的英文单词Limit的缩写，这个箭头x->a也非常形象地表达了极限这个概念。这个定义就真正做到了完全“静态”，不再有任何运动的痕迹（连柯西说的“无限趋近”、“随意的小”都没有了），也不再有任何说不清的地方。从定义你也能清楚地看出来：它根本不关心你是如何逼近L的，飞过去、跳过去、爬过去的它都不管，只要最后的差比ε小就行，我就承认你是我的极限。这里要特别注意的是ε是任意的，看个例子，我们考虑最简单的f(x)=1/x。当x的取值（x＞0）越来越大的时候，这个函数的值就会越来越小：f(1)=1，f(10)=0.1，f(100)=0.01，f(1000)=0.001，……看得出来，当x的取值越来越大的时候，f(x)的值会越来越趋近于0。所以，函数f(x)在无穷远处的极限值应该是0，也就是说：这个结论是很明显的，接下来我们就来看看如何用ε-δ定义来说这个事。按照定义，我们要取一个任意小的ε，假设这里我们取ε=0.1，那么我们就要去找一个δ，看能不能找到一个范围让|f(x)-0|<0.1，显然只需要x>10就行了；取ε=0.01，就只需要x>100就行了；任意给一个ε，我们显然都能找到一个数，当x大于这个数的时候满足|f(x)-0|<ε，这样就OK了。于是，我们就构建了一个逻辑严密，不再有任何“说不清”概念的极限理论。有了这个坚实的地基，我们就可以放心地在上面盖房子了。那个漂泊了一百多年，那个被幽灵般的无穷小量缠绕了一百多年的微积分，即将迎来新生。

第二类问题是求函数的最大值和最小值问题。十七世纪初期，伽利略断定，在真空中以45°角发射炮弹时，射程最大。研究行星运动也涉及最大最小值问题。

导数反映的是一个量变化快慢的程度，这其实就是一种广义的“速度”，变化率。速度这个概念在科学里有多重要就不用我说了吧，当我们说一辆车的速度很快的时候，我们其实就是在说这辆车的位移对时间的导数很大，也就是瞬间时间的瞬时距离很大。此外，有了导数，我们就能轻而易举地求一条曲线的极值（极大值或极小值），为什么？因为只要导数不为0，曲线在这里就是在上升（大于0）或者下降（小于0）的，只有导数等于0的地方，才有可能是一个极值点。

第三类问题是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题。已知物体移动的距离表为时间的函数的公式，求物体在任意时刻的速度和加速度；反过来，已知物体的加速度表为时间的函数的公式，求速度和距离。

假如你从家去学校要走10分钟，我们把这10分钟平均分成10份，每份1分钟。那么，你在第1分钟里走的距离就是第1分钟的平均速度乘以时间间隔（也就是1分钟），第2分钟里走的距离就是第2分钟的平均速度乘以时间间隔（还是1分钟）。以此类推，我们分别把这10个1分钟里走的距离加起来，结果就是家到学校的总距离，这个好理解吧。

这其实就是积分的过程。求家到学校的总距离，是把家到学校的时间平均分成很多份，然后把每个小份的距离都加起来。把一个大东西（家到学校的总距离）平均切成很多份，然后每一小份都用一个新的东西（每一分钟的距离）去近似，最后再把所有的小份东西加起来去逼近原来的大东西。

我们把家到学校的10分钟分得越细（例子里只分了10份，我们可以分100份，1000份甚至更多），得到的总距离就越精确。另外，我们把时间段分得越细，每个小时间段里的平均速度就越接近瞬时速度，如果无穷细分，那么无穷小时间段里的平均速度就可以认为就是瞬时速度了。也就是说，如果知道整个过程中的瞬时速度（或者说是无穷小时间段内的速度），我们就能精确地求出无穷小时间段内的距离，然后把所有距离加起来得到精确的总距离，这就是积分。也就是说，通过积分过程，我们能从瞬时速度求出总距离。

另一方面，要证明微分（导数）是这个过程的逆运算，我们就得证明从总距离可以求出瞬时速度。也就是说，如果已知任意时刻你从家到学校的距离，你通过微分能把瞬时速度求出来。这不是显而易见的事么？距离对时间微分（导数），这就是速度啊。也就是说：距离除以时间，结果就是速度。你用平均距离除以平均时间得到平均速度，用瞬时距离（某一时刻的距离）除以瞬时时间（无穷小时间片段）自然就得到了瞬时速度。通过积分，我们能从瞬时速度求出总距离来；通过微分，我们能从总距离求出瞬时速度，这就说明积分和微分是一对互逆运算。也就是说，我们对速度v做一次积分能得到位移s；反过来，对位移s求一次导数（微分）就能得到速度v。

积分是函数围成面积的过程，瞬时速度v通过瞬时时间积分就得到了位移s，在v-t图像里速度v围成的面积就是位移s；微分是求导的过程，对位移s-t函数求导数，就是瞬时时间下的瞬时距离，也就是速度v-t函数。

这部分逻辑并不难理解，大家只要好好琢磨一下，就会发现“积分和微分是互逆运算”这个事情是非常自然的。它在日常生活中到处都有体现，只不过我们平常没有太注意，而牛顿和莱布尼茨注意到了。

第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。

知道了“积分和微分是互逆运算”能给我们带来什么呢？答案是：多一种选择。因为既然积分和微分是互逆运算，那么有些操作如果微分不擅长，我就可以把它丢给积分。

以求曲线围成的面积为例。求抛物线y=x²与x轴在0到1之间围成面积：如果用n个矩形去逼近，每个矩形的底就是1/n，n个矩形的面积之和就是这样：

当n趋向于无穷大的时候，后面两项就等于无穷小，然后结果就只剩下第一项1/3。用这种方法，面对不同的曲线就得有不同的求和公式，最后还得保证相关项可以变成无穷小丢掉。所以，这种方法的复杂度和局限性都非常大，无法推广。但是，在伟大的牛顿和莱布尼茨发现了“积分和微分是互逆运算”之后，这一切就改变了。

现在求曲线f(x)=x²和x轴在0到1区间里围成面积这个原本属于积分的事情，现在就可以通过反向微分（求原函数）来实现。这是一次非常华丽的转变，马上你就会看到这种新方法会把问题简化到什么程度，而且，正是这种力量让数学发生了根本性的改变。

类似于积分是函数围成面积的过程，瞬时速度v通过瞬时时间积分就得到了位移s，在v-t图像里速度v围成的面积就是位移s；微分是求导的过程，对位移s-t函数求导数，就是瞬时时间下的瞬时距离，这正是瞬时速度v，得出了速度v-t函数。

这里积分是求曲线f(x)=x²和x轴在0到1区间里围成面积，瞬时f(x)通过瞬时x积分就得到面积；微分是求导的过程，对“面积-x”函数求导，就是瞬时x下瞬时面积，这正是f(x)，得出了f(x)=x²。

好，既然要用反向微分的方法求面积，那我们就去找f(x)=x²的原函数，也就是“面积-x”函数，看看到底是哪个函数求导之后变成了f(x)=x²。我们用F(x)来表示这个原函数，那么F(x)就是它（C为常数）：

因为求导是一个非常重要、基础的东西，所以求一些常见函数的导数和原函数都被一劳永逸的制成了表格，大家需要的时候直接去查，记住几个常用的就行。有了f(x)=x²的原函数F(x)以后，怎么去求f(x)和x轴在0到1区间里围成的面积呢？前面已经分析了，原函数具有积分的效果，而积分就是曲线围成的面积，所以原函数也可以表示曲线围成的面积。因此，我们要求f(x)与x轴在0到1区间内围成的面积，直接用这个代表面积的原函数F(x)在1处的值F(1)减去在0处的值F(0)就完了：对，你没看错，这样就完了。F(1)-F(0)就是曲线在0到1之间围成的面积，我们这样得到的结果是1/3，跟我们原来用矩形逼近计算的结果一模一样，惊不惊喜，意不意外？但是它明显比原来的方法简单太多太多太多了，简单到一个中学生都能轻而易举地算出来，这才是微积分的真正力量。

微积分使用了一种通用的方法来处理各种曲线围成的面积，稍加变化我们就能同样求出曲线的长度，或者曲面包含的体积。微积分之所以能够简化求面积的逻辑，是因为微积分把这块逻辑都打包到求原函数里去了，而后者是一个可以程序化、一般化的操作。

相信大家一路看到这里，要理解这个已经不是什么难事了。所谓牛顿和莱布尼茨发明的微积分，本质上就是他们看到了“积分和微分是一对互逆运算”，于是我就可以使用“反向微分（求原函数）”的方法来处理积分的问题。积分的逆运算不是微分么？那么我把微分再逆一次，又变成积分了。而“对函数求导，求原函数”比用原始定义，用无穷多个矩形去逼近曲线面积的方法要简单得多得多，并且这种方法还具有一般性。因此，积分和微分原本是两门独立的学问，现在被牛顿和莱布尼茨统一成了微积分，这种1+1会产生远大于2的力量。于是，接下来的数学和科学都出现了空前的发展。