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非常棒的数学启蒙书，有助于初中生提高数学成绩。
1、本书主题：初中数学
2、提供知识：初中代数、初中几何
3、速读建议：熟悉加减乘除法则读起来更容易。
>> 那些我们眼中的所谓的数学天才，所谓的神童，其实只不过是比我们先学了一天，比我们提前几分钟找到了答案而已．
>> 用一句话来总结加减和正负的不同：加减是一个动作，表示的是一个运动的过程；而正负是一个方向，表示的是一个静止的状态．
>> 我们学习数学的目的，是为了更好地认识世界和改造世界．我们必须认识到：整个世界的一切都在运动变化之中，那些看起来静止不变的数字，其实描述的都是千变万化的运算过程．
>> 学习数学的目的，是要让我们用更加理性客观的态度去看待这个世界．当我们看清这个世界的数学规律以后，就可以通过调整一些我们所能控制的因素，使得预期的结果达到最好，从而实现改变世界的目的．在后文中，我们还会涉及大量在生活和工作中的实际问题．
>> 因为同样一瓶水在超市的价值和火车上的价值是不同的．虽然这两瓶水的水质是相同的，但是它们的运输成本、管理成本和销售成本却完全不同，所以它们的价格出现了巨大差别，这也是可以理解的．
>> 能够解决所有难题的通用解题思路是什么呢？那就是：不断试错，不断修正，笔耕不辍，其解自得．我们就先用这种办法解决一个工程技术难题，让大家领略一下这种方法的神奇魅力．
>> 陪孩子学习，究竟应该怎么陪呢？我们只需要做到三点就够了：
第一，和孩子一起学习．比如，和孩子一起读数学书，在送孩子上学的路上和他一起听数学课程，学完以后和孩子讨论一下．
第二，让孩子教你学习，让孩子给你讲讲课堂上的内容或者讲讲书里的内容．孩子讲得对不对不重要，你能不能听得懂也不重要，只要孩子给你讲，他就是在学习、在思考了，他的能力就已经在提升了．
第三，让孩子出题，你做！记得在前面我说过，数学分数高，并不能证明孩子数学学得好，那么，怎样算学得好？我告诉你，会出题就算孩子学得好！孩子学完了二元一次方程，你让孩子给你出几道实际生活中遇到的二元一次方程的题目．
>> 在学习代数学时，我们知道了人类有一个原始的动作是数数，数数的目的是为了掌控时间的变化．在学习几何学的时候，我们知道人类的另一个原始动作是画画，画画的目的是认识空间的规律．
>> 我们学知识、增长智慧的目的又是什么呢？
>> 那些我们眼中的所谓的数学天才，所谓的神童，其实只不过是比我们先学了一天，比我们提前几分钟找到了答案而已．
◆ 从一个最简单的问题开始：人为什么要数数
>> 为了未来的生活变得更加美好，我们必须计算昨天，我们必须规划明天．
◆ 人类的抽象能力：1＋1到底等于几
>> 以上我们讨论的是1＋1在什么情况下等于2，答案是，在我们忽略个体差异的条件下，1＋1＝2．
◆ 世间万物都是可以计算的
>> 从1＋1＝2出发，人类构建了所有的数字和加法；从加法出发，人类发现了减法．
>> 从乘法继续前进，人类又发现了除法，这样就能够把劳动成果快速分配下去．
◆ 初中数学学什么
>> 小学学习了整数、小数、分数，加减乘除四则运算，计算图形的周长和面积．这些内容用一句话总结，就是运用一些确定的数字，经过确定的计算方法，找到确定的答案．
>> 进入初中阶段以后，情况就不同了，需要计算的是每时每刻都在变化的数量间的关系．如果我们把确定性的数字叫作常量，那些暂时不确定，但是可以通过计算得出的数量，就叫作变量．
◆ 世界上第二宝贵的东西：空间
>> 我们要认识世界，改造世界，不可能只关注时间的先后，不关注空间的广延．
◆ 三 数系的扩充
>> 评价知识有没有意义，至少要考虑三到五个方面的问题：
第一，这个知识点在理论上存在的意义是什么？就是说这个知识点是怎么推导计算出来的，或者它是如何归纳总结出来的；
第二，这个知识点在实际生活中有没有具体的用途；
第三，这个知识点和现有知识是不是相容的？也就是新知识和所有旧知识之间有没有相互的矛盾冲突，是否能够解释和包容旧的知识；
第四，这个知识点是否能够解释某些历史的遗留问题；
第五，这个知识点能够对人类的未来产生哪些帮助．
>> 但有时候，这五点不能全部满足，那么它至少也要满足其中最重要的三点：第一，从理论中产生；第二，解决实际问题；第三，面向未来．
>> 用一句话来总结加减和正负的不同：加减是一个动作，表示的是一个运动的过程；而正负是一个方向，表示的是一个静止的状态．
◆ 负数乘除法的变化：除法是乘法的逆运算
>> 乘法的本质是连续的计算，至于是连续地加还是连续地减，要根据乘法后面的乘数来决定．
◆ 数字都是没有算完的算式：一切都在运动变化之中
>> 实际上只有0和1是数字，其他数字只是一个代号而已，1＋1＝2说明了什么？它说明世界上根本不存在2这个数字，只不过是为了书写方便，把1＋1这三个字符写成了2的形状而已．
>> 从0到1，是从无到有的过程，这个过程是不能忽略的．正是由于数字的本质都是0和1的组合，所以我们才能够在计算机和手机的屏幕上看到一个精彩纷呈的世界．
>> 如果我们把一个数字乘以自己叫作平方，那么平方的逆运算就是寻找哪一个数字平方后才能得到已知的数字，这个运算叫作开方．
>> 我们学习数学的目的，是为了更好地认识世界和改造世界．我们必须认识到：整个世界的一切都在运动变化之中，那些看起来静止不变的数字，其实描述的都是千变万化的运算过程．
>> 涉及生活和工作的方方面面，都是无数个变量相互作用的结果，我们只有认识了它们之间的相互关系，才能更好地工作、更好地生活．
>> 代数的知识架构可以通过三种方法分类：第一，按等号和不等号分类；第二，按字母的个数和次数分类；第三，按照加减乘除的计算方法分类．
◆ 代数和算术的差别：代数思维是难题化简、分工协作
>> 为什么说代数思维能帮助我们解决复杂的问题呢？因为代数思维可以把一个复杂的问题，拆分成三个互不相关的简单问题，或者说，可以把解题的过程分成三个独立的步骤：发现问题、分析问题、解决问题．
>> 代数的目的：用纯数学的语言描述复杂的世界
>> 第一步，从一个问题中发现可量化计算的规律；第二步，从给定的问题中发现常量和变量；第三步，列出算式并求得变量间的关系．
>> 学习数学的目的，是要让我们用更加理性客观的态度去看待这个世界．当我们看清这个世界的数学规律以后，就可以通过调整一些我们所能控制的因素，使得预期的结果达到最好，从而实现改变世界的目的．在后文中，我们还会涉及大量在生活和工作中的实际问题．
>> 因为同样一瓶水在超市的价值和火车上的价值是不同的．虽然这两瓶水的水质是相同的，但是它们的运输成本、管理成本和销售成本却完全不同，所以它们的价格出现了巨大差别，这也是可以理解的．
>> 问题的解法千变万化，其根本原因都是因为等式的协变性引起的．
>> 认识世界是改造世界的前提，既然这个世界的所有事物都是可以相加的，为什么人类的智慧不能相加呢？
>> 所以我们说，学习是做乘法，而工作是做加法．
>> 一般来说，做乘法肯定要比做加法增长更快，那么乘法一定就比加法赚钱更多吗？那不一定，如果我们用一个数去乘以一个小于1的数，那么乘的结果不但不会变大，反而还会变小，这说明什么道理呢？这说明我们不但要学习，而且一定要把知识掌握得扎扎实实，如果所有知识都学得迷迷糊糊，那么在工作中就一定会疏忽大意，出现各种失误．因此，学习一定要认真，容不得半点马虎．
>> 人生的过程不过是一场乘除加减的数学运算，人生的价值不在于我们积累了多少物质财富，而在于我们一生帮助和善待了多少人，在于在你临死的时候，有多少人真正地需要你，有多少人真正地怀念你．
>> 每当遇到这种选择的时候，很多宣传心灵鸡汤的人都只告诉我们，应该问问哪一个选择才真正符合你的意愿．其实，当你面临两个相互冲突的选择的时候，背后都有一个隐藏的规律．只要你把它找出来，列个方程组，问题就可以迎刃而解了．
>> 能够解决所有难题的通用解题思路是什么呢？那就是：不断试错，不断修正，笔耕不辍，其解自得．我们就先用这种办法解决一个工程技术难题，让大家领略一下这种方法的神奇魅力．
◆ 更好、更快的解题思路：在知识之间建立关联
>> 因为每个人都有高估自己的习惯，开车刚拐了一个弯，就以为自己学会了；一个数学定理，刚会用一种方法证明，就以为自己弄懂了，不好好听老师讲课了．这种做法，跟那个写字只会画横线的地主的傻儿子有什么区别呢？因此，要想做到快速准确地解题，必须要做到两点：第一，要把所有基本的数学知识融会贯通；第二，要保持一个谦虚谨慎的态度．
>> 勿因题难而焦虑，勿因题易而轻浮．
>> 之所以在研究一个更好更快地解决问题的思路的同时，提到学习的态度问题，是因为态度是解决一切问题的基础．
>> 我们提到了学习数学的两层境界，第一层是在自己的头脑之中把数学知识分门别类绘制成分类图；第二层是要反复建立知识之间的关联，把平面的分类图变成立体的知识架构．
>> 用书架来比喻数学知识的架构，第一层境界是平面的书架，第二层境界是立体的书架，第三层境界是智能的书架．
>> 摩尔定律指出，每过18个月，芯片的体积就会缩小一半，速度就会增加一倍，价格还会便宜一半，
>> 这数字的老祖宗一个是0，一个是1，这0是加减法的起点，1是乘除法的起点．无论是什么样的加减算式，只要前面加上一个0，后边的数字就可以随便换顺序了；不管是什么样的乘除算式，只要前面加上一个1，后边的数字也随便移动．
>> 计算优先级：括弧＞乘方和开方＞乘除＞加减
>> 为了答案而提问，好比向他人索要一条鱼；为了道理而提问，得到的才是钓鱼的知识．得到答案只能增长见识，而得到一个道理却可以增长我们的智慧．
>> 我们终于发现，因为0做除数本身可以得到任意的结果，因此，我们才说0做除数是无意义的．
>> 首先，如果家长关注孩子的能力，那么家长需要知道，孩子在大部分课程中学的都是知识，只有两门课程直接对应着孩子的能力．第一就是语文，它对应着孩子的沟通表达能力；第二就是数学，它对应着孩子的逻辑推理能力、分析判断能力．
>> 人类最大的无知不在于你不知道什么，而在于你不知道自己不知道什么！
◆ 永远不要直接教孩子做题
>> 第一，我说的数学不仅仅是课本上的数学；第二，数学分数的好坏也不是衡量数学能力的唯一标准．
>> 作为家长，我们要做的、我们能做的，其实也只有两点：第一，让孩子主动学习；第二，陪孩子一起学习．
>> 我们唯一要面对的问题就是如何引导孩子主动学习．
>> 对于数学而言，家长只需要每天陪孩子学习15分钟就足够了．为什么呢？因为每天老师在课堂上讲的核心内容都不会超过10分钟．
>> 陪孩子学习，究竟应该怎么陪呢？我们只需要做到三点就够了：
第一，和孩子一起学习．比如，和孩子一起读数学书，在送孩子上学的路上和他一起听数学课程，学完以后和孩子讨论一下．
第二，让孩子教你学习，让孩子给你讲讲课堂上的内容或者讲讲书里的内容．孩子讲得对不对不重要，你能不能听得懂也不重要，只要孩子给你讲，他就是在学习、在思考了，他的能力就已经在提升了．
第三，让孩子出题，你做！记得在前面我说过，数学分数高，并不能证明孩子数学学得好，那么，怎样算学得好？我告诉你，会出题就算孩子学得好！孩子学完了二元一次方程，你让孩子给你出几道实际生活中遇到的二元一次方程的题目．
◆ 学习数学就是构建逻辑思维体系
>> 面积就是图形的大小，
>> 在学习代数学时，我们知道了人类有一个原始的动作是数数，数数的目的是为了掌控时间的变化．在学习几何学的时候，我们知道人类的另一个原始动作是画画，画画的目的是认识空间的规律．
>> 代数和几何之间的共同点至少包括三个方面：第一，它们都是对世界万物的抽象，因而它们的本原是相同的；第二，它们都需要用到加减乘除的运算规律，因而它们的思维方式是相同的；第三，它们都是利用几个已知的规律和数据来对一个具体问题做出分析求解，目的是相同的．
>> 函数是什么呢？函数就是加减乘除的组合．
>> 我们也可以认为，函数就是一种自动处理数据的设备，我们只要把待处理的自变量扔进去，因变量的结果就会自动生成．
>> 方程强调的是等量关系，而函数强调的是运算关系．
◆ 函数变换的本质：各自发生毫无影响的自然规律
>> 所有的函数、变量、图形及加减乘除的运算，全部源于实际生活中的一些问题，源于客观世界中的某种现象．
>> 科学之所以称为科学，就是因为它是分科之学．为了研究各个领域内部的规律，就必须把它们放到各自独立的领域中去研究，这就相当于从一个复杂的函数中拆分出独立的函数曲线，一旦我们掌握了函数变化的特征，就意味着我们认识了这种客观规律，又可以把这些学问组合起来，投入实际的生产生活中去．这就是函数加减变换带给我们的启示．
>> 1931年，从奥地利冒出来一个年轻的小伙子哥德尔提出了一个著名的不完备定理．这个定理确凿无疑地证明：不是所有的正确的观点都是能被证明的．
>> 我们学知识、增长智慧的目的又是什么呢？
