高等数学

第一章

第一节函数的概念

函数的定义

自变量-因变量-定义域-值域-对应法则
定义域相同，对应法则相同，即为同一函数
显函数与隐函数的区别。显函数：
$y=f(x)$

确定；隐函数：二元方程
$F(x,y)=0$

确定
复合函数与反函数(函数的复合是有条件的，有的函数就不能复合)
反函数记住
$y=f^{-1}(x),x\in f(D)$
值得注意的是，函数
$y=f(x)$

与其反函数
$y=f^{-1}(x)$

的图形关于直线
$y=x$

对称
单调函数必有反函数，且反函数与原函数具有相同的单调性
指数函数与对数函数互为反函数，三角函数与非三角函数互为反函数

几种常用的函数表示方法
复合函数与反函数

第二节函数的几种特性

有界函数
单调函数

偶函数的图形关于
$y$

轴对称，奇函数的图形关于原点对称

奇偶函数
周期函数

周期函数不一定存在最小正周期
例如：常量函数；迪利克雷函数

第三节初等函数

基本初等函数

常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数
双曲正弦:
$y=shx=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$
双曲余弦:
$y=shx=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$
双曲正切:
$y=\frac{shx}{chx}=thx=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}$

初等函数

第四节一些常用的不等式和等式

三角函数的基本不等式

$sinx<x<tanx,x\in(0,\pi/2)$

均值不等式

调和平均值小于几何平均值小于算术平均值

三角函数与反三角函数有关等式

极坐标系与直角坐标系的换算关系
$x=rcos\theta,y=rsin\theta$
$r=\sqrt{x^2+y^2},\theta=arctan\frac{y}{x}$

第二章极限与连续

第一节数列与极限

数列极限的定义

若随着n的无限增大时，数列{
$x_n$

}的
$x_n$

无线逼近某个常数a，则称{
$x_n$

}有极限(为a)或收敛(于a)，记作：
$\lim_{n\rightarrow\infty}x_n=a$

或
$x_n\rightarrow a(n\rightarrow\infty)$
数列极限的
$\epsilon-N$

定义

$\forall \epsilon>0,\exists正整数N，当n>N时，总有|x_n-a|<\epsilon$

收敛数列的性质

收敛数列的极限唯一
收敛数列一定有界
收敛数列的任一子数列收敛于同一极限

第三节极限运算法则

极限的四则运算法则
符合函数的极限运算法则
极限的性质

极限的唯一性
局部有界性
局部保号性

第四节无穷小与无穷大

无穷小

无穷小-即无限趋近于0
有限个无穷小的和还是无穷小
有界函数与无穷小的乘积还是无穷小

无穷大

无穷大时极限不存在

无穷小与无穷大的关系

在自变量的同一变化过程中，若
$f(x)$

为无穷大，则
$\frac{1}{f(x)}$

为无穷小。若
$f(x)$

为无穷小，且
$f(x)\neq0，$

则
$\frac{1}{f(x)}$

为无穷小。
根据上述推论，即所有关于无穷大的问题均可以通过转化为无穷小问题来解决

无穷小的比较

高阶无穷小
低阶无穷小
同阶无穷小(特殊情况：等价无穷小，记作
$\alpha$

~
$\beta$

)

特别滴，记住一个极限的推导

当
$x\rightarrow0$

时，
$\sqrt[n]{1+x}-1$

~
$\frac{1}{n}x$

第五节极限存在准则及两个重要极限

两边夹准则
单调有界收敛准则
两个重要的极限

第一个极限
$\lim_{x\rightarrow0}\frac{sinx}{x}=1$
第二个极限
$\lim_{x\rightarrow\infty}(1+\frac{1}{x})^x=e$

$\lim_{x\rightarrow0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e$

这部分题目变种太多，没法统一归类，主要需要构造形式上的统一

第六节连续函数及其性质

函数连续性的定义
函数的间断点

第一类间断点
$f(x_{0}^{-})$

及
$f(x_{0}^{+})$

均存在(1.可去间断点2.跳跃间断点)
第二类间断点
$f(x_{0}^{-})$

及
$f(x_{0}^{+})$

至少有一个不存在(1.无穷间断点2.震荡间断点，举例
$y=sin\frac{1}{x}$

)

初等函数的连续性
连续可以推出极限存在，反之不成立

单调的连续函数必有单调的连续反函数
连续函数的复合函数也连续
重要结论：一切初等函数在其定义区间内连续

闭区间上连续函数的性质

第三章

第一节导数的概念

函数
$y=f(x)$

在点
$x_0$

可导的充分必要条件是左导等于右导，这一点常用来讨论分段函数在分段点的可导性
重要推论：可导可以推出连续，反之不成立

内容小结

导数的实质：增量比的极限
$f'(x_0)=a\leftrightarrow f'_{-}{(x_0)}=f'_{+}{(x_0)}=a$
导数的几何意义：切线的斜率
求导数最基本的方法：由定义求导数
$f(x)= \begin{cases} 不连续一定不可导\\ 连续，看左右导数是否存在且相等 \end{cases}$

第二节导数的求导法则

四则运算求导法则
反函数的求导法则
复合函数的求导法则
初等函数的求导法则
以下为常数和基本初等函数的导数

$(C)'=0$
$(x^\mu)'=\mu x^{\mu-1}$
$(sinx)'=cosx$
$(cosx)'=-sinx$
$(tanx)'=sec^2x$
$(cotx)'=-csc^2x$
$(secx)'=secxtanx$
$(cscx)'=-cscxcotx$
$(a^x)'=a^xIna$
$(e^x)'=e^x$
$(log_{a}{x})'=\frac{1}{xIna}$
$(Inx)'=\frac{1}{x}$
$(arcsinx)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$(arccosx)'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$(arctanx)'=\frac{1}{1+x^2}$
$(arccotx)'=-\frac{1}{1+x^2}$

第三节高阶导数

高阶导数的概念

欲求函数的高阶导数，只需按求导法则和基本公式一阶阶的算下去，而不需要新的方法
插一个重点

$\frac {d^2x}{d^2y}=\frac {d}{dy}(\frac{dx}{dy})=\frac {d}{dx}(\frac{dx}{dy})(\frac{dx}{dy})=\frac {d}{dx}(\frac {1}{y'})(\frac{dx}{dy})=-\frac {y''}{(y')^2} \cdot{\frac {1}{y'}}=-\frac {y''}{(y')^3}$

高阶导数的运算法则
高阶函数的求法

逐阶求导法
利用归纳法
间接法-利用已知的高阶导数公式(即：将函数分解为若干个简单函数的和，再利用已知的常见的函数的高阶导数公式)
直接利用莱布尼茨公式
先求一阶或二阶导数，变成乘积形式，再利用莱布尼茨公式，得到高阶导数的递推公式

第四节隐函数和参变量函数的求导

隐函数的导数
参变量函数的导数

隐函数求导法则-直接对方程两边求导
对数求导法：适用于幂指函数及某些用连乘，连除表示的函数
参数方程求导法-可以用来解决极坐标方程求导

求高阶导数时，从低到高每次都用参数方程求导公式

第五节函数的微分

微分的概念
可微与可导基本上是一个概念，可微即可导，可导即可微

微分经常会用在近似计算方面

微分运算法则
微分在近似计算中的应用

第四章

第一节微分中值定理

罗尔(Rolle)中值定理
若函数
$f(x)$

满足三个条件

在闭区间
$[a,b]$

上连续
在开区间
$(a,b)$

内可导
$f(a)=f(b)$

则在开区间
$(a,b)$

内至少存在一点
$\xi$

，使得
$f'(\xi)=0$

亦即导函数方程根的存在定理

拉格朗日(Lagrange)中值定理
若函数
$f(x)$

满足两个条件

在闭区间
$[a,b]$

上连续
在开区间
$(a,b)$

内可导
则在开区间
$(a,b)$

内至少存在一点
$\xi$

，使得
$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(\xi)$

结论也可以写成
$f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$
拉格朗日中值定理推论一：如果函数
$f(x)$

在区间
$I$

上的导数恒为零，那么
$f(x)$

在区间
$I$

上是一个常数可用此推论证明
$f(x)=arcsinx+arccosx=C(常数)$

柯西(Cauchy)中值定理
若函数
$f(x)$

即
$g(x)$

满足三个条件

在闭区间
$[a,b]$

上连续
在开区间
$(a,b)$

内可导，且
$f'(x)\neq0$

则在开区间
$(a,b)$

内至少存在一点
$\xi$

，使得
$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$

亦即导函数方程根的存在定理
微分中值定理的应用
证明恒等式
证明不等式
证明有关中值问题的结论
关键：利用逆向思维构造辅助函数

第二节洛必达法则

$\frac {0}{0}型$
$\frac{\infty}{\infty}型$
其他未定式

第三节泰勒公式

泰勒公式

$P_n(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+...+\frac{f^n(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$

这是一个由
$f(x)$

决定的多项式，这个多项式n阶导数和
$f(x)$

的n阶导数相同
可以证明，泰勒多项式可以无穷逼近函数
$f(x)$

几个初等函数的麦克劳林公式

$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+...+\frac{x^n}{n!}+o(x^n)$

$sinx=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-...+(-1)^{m-1}\frac{x^{2m-1}}{(2m-1)!}+o(x^{2n+1})$

$cosx=1-\frac {x^2}{2!}+\frac {x^4}{4!}+...+(-1)^{m}\frac{x^{2m}}{(2m)!}+o(x^{2n})$

$(1+x)^{\alpha}=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+...+\frac{\alpha(\alpha-1)...(\alpha-n+1)}{n!}x^n+o(x^n)$

$In(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-...+(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}+o(x^{n+1})$

$\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+x^4+...+x^n+o(x^n)$
泰勒公式的应用
近似计算

已知x和误差限，要求确定项数n
已知项数n和x，计算近似值并估计误差
已知项式n和误差限，确定公式中x的适用范围
求极限

$\lim_{x\rightarrow0}\frac{sinx-xcosx}{x-sinx}$

适用泰勒展开来求解更方便
利用泰勒公式来证明不等式

第四节函数单调性与极值

驻点：函数一阶导数等于0的点，注意，极值点必定是驻点，驻点不一定是极值点

求解
$y=f(x)$

极值的一般步骤是

确定函数的定义域
求导数
$f'(x)$
找出所给函数的驻点和导数不存在的点
顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格，考察上述点两侧导数的符号，确定极值点
求出极值点处的函数值，得到极值
同时还有
$f'(x_0)=0,f''(x_0)<0,f(x)在点x_0处取得极大值$

同时还有
$f'(x_0)=0,f''(x_0)>0,f(x)在点x_0处取得极小值$

函数的最值

若函数
$f(x)$

在闭区间
$[a,b]$

上连续，则其最值只能在极值点或端点处取得

极值点与最值点的区别

最值点是整体概念，而极值点则是局部概念

第五节函数的凹凸性与曲线的拐点

函数的凹凸性

函数曲线上任意两点间的曲线段总位于连接这两点的直线段的下方，该函数曲线就是凹的，该函数称为凹函数，反之则为凸函数
函数二阶导大于0，函数图形是凹的
函数二阶导小于0，函数图形是凸的

曲线的拐点
拐点，函数凸凹之间的分隔点
拐点可能在两类点中取到

二阶导数为0的点
二阶导数不存在的点
二阶导为0，三阶导不为0的点一定为拐点

判断曲线的凹凸性和拐点的步骤

写出函数的定义域，并求出函数的导数及二阶导数
求出二阶导函数的零点、和不存在的点
检查这些点左右两侧符号，从而判定曲线的凹凸性列表格

第六节函数的图形

函数图形的描绘步骤

确定函数
$y=f(x)$

的定义域，并考察其对称性及周期性
求出
$f'(x),f''(x),$

并求出
$f'(x)及f''(x)$

为0和不存在的点
列表判别增减及凹凸区间，求出极值点和拐点
求渐近线
确定某些特殊点，描绘函数图形

渐近线

水平渐近线
垂直渐近线
斜渐近线

第五章一元函数微分学

第一节定积分的概念及性质

定积分问题举例

曲边梯形面积
变速直线运动路程

定积分的定义

极限表示定积分

定积分的性质

线性性质
区间可加
保号性
保序性
估值不等式
积分中值定理

第二节微积分基本定理

积分变限的函数及其导数
一定要分清函数的自变量
$x$

与积分变量
$t$
引例
重要结论

若
$f(x)\in C[a,b]$

，函数
$g(x),h(x)$

可导，则
$\forall x\in [a,b]$
(1):
$\frac {d}{dx}\int^{a}_{x}{f(t)dt}=-f(x)$
(2):
$\frac {d}{dx}\int^{g(x)}_{a}{f(t)dt}=f[g(x)]\cdot g'(x)$
(3):
$\frac {d}{dx}\int^{g(x)}_{h(x)}{f(t)dt}=f[g(x)]\cdot g'(x)-f[h(x)]\cdot h'(x)$
(4):
$\frac {d}{dx}\int^{x}_{a}{g(x)f(t)dt}=\frac{d}{dx}[g(x)\cdot\int^{x}_{a}f(t)dt]=g'(x)\cdot\int^{x}_{a}f(t)dt+g(x)\cdot f(x)$

牛顿-莱布尼茨公式
如果
$F(x)$

是连续函数
$f(x)$

在区间
$[a,b]$

上的一个原函数，则
$\int^{b}_{a}f(x)dx=F(b)-F(a)$

第三节不定积分的概念与性质

原函数与不定积分的概念
定理一、连续函数一定有原函数
不定积分的几何意义：

$f(x)$

的原函数的图形称为
$f(x)$

的积分曲线
$\int f(x)dx$

的图形--
$f(x)$

的所有积分曲线组成了平行积分曲线簇

基本积分表
不定积分的性质

微分运算和求不定积分的运算是互逆的
微分运算中有两个重要法则：复合函数微分和乘积的微分
对应于积分运算中的换元积分法和分部积分法

第四节换元积分法

第一类换元法

设
$f(u)$

具有原函数，
$u=\phi$

可导，则有换元公式(第一类换元公式)
$\int f[\phi(x)]\phi'(x)dx=f[\phi(x)]d\phi(x)$

又叫凑微分法
注意，要养成用求导运算来检验不定积分计算结果是否正确的习惯

第二类换元法
常用方法

三角代换
倒代换
利用上述思想，我们也可以推得一个重要的公式
$\int^{a}_{-a}f(x)dx=\int^{a}_{0}[f(x)+f(-x)]dx$

三角函数的定积分公式，要牢记
$\int^{\frac {\pi}{2}}_{0}f(sinx)dx=\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}f(cosx)dx$

$\int^{\pi}_{0}xf(sinx)dx=\frac{\pi}{2}\int^{\pi}_{0}f(sinx)dx$

第五节分步积分法

特点：被积函数是两个不同函数的乘积
解决思路：利用两个函数乘积的求导法则
由导数公式

$(uv)'=u'v+uv'$

积分可得：
$uv=\int u'vdx+\int uv'dx$

可推出：
$\int uv'dx=uv-\int u'vdx$

或
$\int udv=uv-\int vdu$

,这个公式要更常用一点
还可利用分步积分得到一些递推公式

第六节有理函数的积分

有理函数的积分
可化为有理函数的积分举例
这部分技巧性非常多，建议多看积分题目

第七节反常(广义)积分

$常义积分 \begin{cases} 积分区间有限\\ 被积函数有界 \end{cases}$

可以由常义积分推广至反常积分(两类反常积分)

无穷区间的反常积分
判断反常积分收敛和发散
定理一：(1)当常数
$p>1$

时，反常积分
$\int^{+\infty}_{1}\frac{1}{x^p}dx$

收敛于
$\frac{1}{p-1}$

;(2)当常数
$p<=1$

时，反常积分
$\int^{+\infty}_{1}\frac{1}{x^p}dx$

发散
绝对收敛与条件收敛的区别(被积函数绝对值是否收敛)
无界函数的反常积分(瑕积分)
对比记忆两个公式

反常积分
$\int^{+\infty}_{1}\frac {1}{x^p}dx$

,当
$p>1$

是收敛，当
$p<=1$

时发散
反常积分
$\int^{1}_{0}\frac {1}{x^q}dx$

,当
$q<1$

是收敛，当
$p>=1$

时发散
特别滴，要记住，广义积分
$\int^{1}_{-1}\frac{dx}{x^2}$

是发散的

第六章定积分的应用

第一节定积分在工程上的应用

功
水压力
引力
一般三个步骤

定区间
求微元
算积分

第二节定积分在几何学上的应用

平面图形的面积

平面直角坐标系
极坐标系
曲线
$p=\phi(\theta)$

及
$\theta=\alpha,\theta=\beta$

围成的曲边扇形的面积为

$A=\frac {1}{2}\int^{\beta}_{\alpha}\phi^2(\theta)d\theta$

体积
平面曲线的弧长

弧长公式
$ds=\sqrt{(dx)^2+(dy)^2}=\sqrt{\phi'^2(t)+\psi'^2(t)}dt$

旋转曲面的面积

旋转体的侧面积公式
$S=2\pi\int^{b}_{a}f(x)\sqrt{1+f'^2(x)}dx$

这个公式可以明显得由平行四边形面积公式推出，上底和下底均为
$2\pi f(x)$

,高为
$\sqrt{(dx)^2+(dy)^2}=\sqrt{1+y'^2}dx$

曲线的曲率

平面曲线的曲率是用来刻画曲线的弯曲程度
曲率定义：曲线弧两点之间的切线改变角度
$\Delta\alpha$

与曲线弧在这两点的长度
$\Delta s$

的比值
$|\frac{\Delta\alpha}{\Delta s}|$

为曲线弧在这两点的平均曲率，当这两点无线趋近的话，取其极限值即为
$K=|\frac{d\alpha}{ds}|=\frac{|y''|}{(1+y'^2)^{3/2}}$

,该公式可由
$y'=tan\alpha$

与公式
$ds=\sqrt{(dx)^2+(dy)^2}$

联合推出
曲率半径-
$R=\frac{1}{K}$

,曲率中心，曲率圆的概念一定要了解以下哦

第七章常微分方程

第一节微分方程的基本概念

问题的提出

凡含有未知函数的导数(或微分)的方程称为微分方程
未知函数是一元函数的方程为常微分方程
未知函数是多元函数的方程为偏微分方程
方程中所出现的导数的最高阶数称为微分方程的阶
代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称为微分方程的解
解的类型
通解含有独立任意常数的解，且任意常数的个数与方程的阶数相同
特解不含任意常数的解
初始条件
初值问题(柯西问题)
解的图像微分方程的积分曲线
通解的图像积分曲线簇

基本概念

第二节一阶微分方程常见类型及解法

可分离变量的微分方程

也就是说x可以放在方程一边，y可以放在方程另一边的微分方程

齐次微分方程

如果一阶微分方程可以写成
$\frac{dy}{dx}=g(\frac{y}{x})$

的形式，则称之为齐次型方程，做变量代换
$u=\frac{y}{x}，即y=ux,\frac{dy}{dx}=u+x\cdot\frac{du}{dx}$

进行代换，得到
$x\frac{du}{dx}+u=g(u)$

,即
$\frac{du}{dx}=\frac{g(u)-u}{x}$

，进而转换为可分离变量的微分方程进行求解

一阶线性微分方程

一阶线性微分方程的标准形式
$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$

即
$y'+P(x)y=Q(x)$

,当
$Q(x)$

衡等于0时方程称为齐次的，否则称为非齐次方程
一阶线性微分方程可以使用凑微分的方法来求解，如对于上式的
$y'+P(x)y=Q(x)$

来说，我们在方程左右分别乘以
$Z(x)$

，使得上式变为
$y'Z(x)+P(x)Z(x)y=Q(x)Z(x)$

,使得左边可以凑成
$[yZ(x)]'$

的形式，即
$Z'(x)=P(x)Z(x)$

，这样便可以将一阶线性微分方程解出来了
当
$Q(x)=0$

时，微分方程形式变为
$y'+P(x)y=0$

,可明显求得其通解为
$y=Ce^{-\int{p(x)dx}},(C=\pm e^{C1})$
当
$Q(x)$

不为0时，按照我们上述的方法，可得一阶线性非齐次微分方程的通解为
$y=e^{-\int{p(x)dx}}[\int{Q(x)}(e^{-\int{p(x)dx}}dx+C],(C=\pm e^{C1})$

利用变量代换求解微分方程
伯努利方程

形如
$\frac {dy}{dx}+P(x)y=Q(x)\cdot y^n(n\neq0,1)$

的方程，称为伯努利方程
当
$n=0,1$

时，方程为线性微分方程
当
$n\neq0,1$

时，方程为非线性微分方程
伯努利方程解法：只需要做变换，令
$z=y^{1-n}$

，方程就可化为
$z$

的一阶线性方程
一阶微分方程虽然类型不多，但是变化多样，需要多看题目进行回顾

第三节二阶线性微分方程理论及解法

二阶线性微分方程解的性质与结构
形如
$\frac {d^2y}{d^2x}+P(x)\frac{dy}{dx}+Q(x)y=f(x)$

即为二阶线性微分方程，特别地，当
$f(x)=0$

时，为二阶线性齐次微分方程；当
$f(x)\neq0$

时，为二阶线性非齐次微分方程
n阶线性微分方程形式如下
$y^{(n)}+P_1(x)y^{(n-1)}+...+P_{(n-1)}(x)y'+P_n(x)y=f(x)$

非齐次线性方程的两个特解之差是对应线性方程的特解
二阶常系数线性齐次微分方程
解法：特征方程法

将解
$y=e^{rx}$

代入二阶常系数齐次线性方程
$y''+py'+qy=0$

,可得
$(r^2+pr+q)e^{rx}=0$

,则特征方程为
$r^2+pr+q=0$
特征方程有两个不相等的实根的情况(
$\Delta>0$

)：两个根为
$r1,r2$

,即有两个线性无关的特解
$y1=e^{r1x},y2=e^{r2x}$

,可得其次方程的通解为
$y=C_1e^{r1x}+C_2e^{r2x}$
特征方程有两个相等的实根，则齐次方程的通解为
$y=C_1e^{r1x}+C_2xe^{r2x}=(C_1+C_2x)e^{r1x}$
特征方程有一对共轭复根即(
$\Delta<0$

):
$r1=\alpha+i\beta,r2=\alpha-i\beta$

,运用欧拉公式
$e^{ix}=cosx+isinx$

将两根重新组合，得到齐次方程的通解为
$y=e^{\alpha x}(C_1cos\beta x+C_2sin\beta x)$
由上述可推广至n阶线性齐次方程

二阶常系数线性非齐次方程
二阶常系数非齐次线性方程解法
基本形式
$y''+py'+qy=f(x)$

(p,q均为常数)，根据解的结构定理，其通解为
$y=Y+y*$

,其中
$Y$

为对应的齐次方程的通解，
$y*$

为非齐次方程的特解
求特解的方法-待定系数法

若
$f(x)=e^{\lambda x}P_m(x)$

型，即
$y''+py'+qy=P_m(x)e^{\lambda x}$

结论：最终的特解为
$y*=x^ke^{\lambda x}Q_m(x)$

,当
$\lambda$

不是根时，
$k=0$

,当
$\lambda$

是单根时，
$k=1$

，当
$\lambda$

是重根时，
$k=2$

.
若
$f(x)=e^{\lambda x}[P_l(x)cos\omega x+P_n(x)sin\omega x]$

型

第四节其他若干类型的高阶微分方程及解法

可降阶的高阶微分方程

$y''=f(x,y')$

型的方程，令
$p=y'$

，则
$y''=\frac{dp}{dx}=p'$

，即可将方程化为
$p'=f(x,p)$
$y''=f(y,y')$

型的方程，另
$p=y'$

，则
$y''=\frac {dp}{dx}=\frac {dp}{dy}\cdot\frac {dy}{dx}=p\frac{dp}{dy}$

，可将方程化为
$p\frac {dp}{dy}= f(y,p)$

欧拉方程
常系数线性微分方程组

第八章向量代数与空间解析几何概要

第一节向量及其线性运算概要

空间直角坐标系

空间直角坐标系的构成
空间两点间的距离

向量

向量的几何表示
向量的坐标表示

向量的线性运算

向量的加法
数
$\lambda$

与向量
$a$

的乘法
向量的方向余弦

第二节向量的乘积

向量的数量积

设向量
$\vec{a},\vec{b}$

的夹角为
$\theta$

，称
$|\vec{a}||\vec{b}|cos\theta$

为
$\vec{a}$

与
$\vec{b}$

的数量级(点积)，记为
$\vec{a}\cdot\vec{b}$

,即
$\vec{a}\cdot\vec{b}$

=
$|\vec{a}||\vec{b}|cos\theta$

注意一、数量积
$\vec{a}\cdot\vec{b}$

为一个数
注意二、物理学中的功为
$W=\vec{F}\cdot\vec{s}$

向量的向量积
向量的混合积

第三节空间平面

平面的方程

点法式方程
$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$
平面一般方程
$Ax+By+Cz+D=0$

,平面的法向量为
$\vec{n}=\{A,B,C\}$
平面的截距式方程
$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$

两平面的夹角

两平面法向量的夹角(常为锐角)称为两平面的夹角

点到平面的距离

第四节空间直线

直线的方程

直线的一般式方程(两个空间平面的交线)

$一般式方程 \begin{cases} A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0\\ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0 \end{cases}$
直线的对称式方程(也称为点向式方程)
$\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p}$
直线的参数式方程

$x=x_0+mt$

$y=y_0+nt$

$z=z_0+pt$

直线的点向式方程可以和参数式方程很好地进行切换

直线与直线、直线与平面的夹角

直线与平面的夹角

$\phi=arcsin\frac{|\vec{s}\cdot\vec{n}|}{|\vec{s}||\vec{n}|}$

，其中
$\vec{s}$

为直线的方向向量，
$\vec{n}$

为平面的法向量

平面束方程

$过直线L: \begin{cases} A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0\\ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0 \end{cases}的平面束方程为$

$\lambda_1(A_1x+B_1y+C_1z+D_1)+\lambda_2(A_2x+B_2y+C_2z+D_2)=0(\lambda_1,\lambda_2不全为0)$

第五节空间曲面

曲面的概念
常见空间曲面

柱面
圆柱面
$x^2+y^2=R^2$

抛物柱面
$y^2=2x$

椭圆柱面
$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$
旋转曲面
注意旋转曲面方程的求法
二次曲面
椭圆面
抛物面：椭圆抛物面、双曲抛物面
双曲面：单叶双曲面、双叶双曲面
椭圆锥面

第六节空间曲线

空间曲线的方程

空间曲线的一般方程，可视为两个曲面的交线

$\begin{cases} F(x,y,z)=0\\ G(x,y,z)=0 \end{cases}$

$如 \begin{cases} x^2+y^2=1\\ 2x+3z=6 \end{cases}表示圆柱面与平面的交线C$
空间曲线的参数方程

$x=x(t)$

$y=y(t)$

$z=z(t)$

一般式方程和参数式方程的互换一定要学会哦

空间曲线在坐标面上的投影
举个例子理解，如果要求空间曲线在
$xoy$

面上的投影方程，即需要在一般式方程上消去z，然后结合
$z=0$

,这样投影方程便可以求出

第九章多元函数微分学

第一节多元函数的概念

平面点集

邻域、内点、聚点、边界点
有界点集和无界点集
开集与闭集、连通域与区域

二元函数
$n$

维空间与
$n$

元函数

第二节二元函数的极限与连续

二元函数的极限

常见求
$\lim_{x\rightarrow x_0,y\rightarrow y_0}f(x,y)=A$

的方法
通过简单的变量代换，将二元函数极限转化为一元函数极限
利用有界函数乘以无穷小仍为无穷小
利用夹逼定理
等价无穷小代换
二元函数的连续性

二元函数的连续性及性质

第三节偏导数

偏导数的概念

如果函数
$z=f(x,y)$

在区域
$D$

内的任一点均可偏导，就称函数
$z=f(x,y)$

在区域
$D$

内可偏导，其偏导数称为偏导函数，记为
$\frac{\partial z}{\partial x}$

,
$\frac{\partial f}{\partial x}$

,
$Z'_x$

,
$f'(x,y)$

牢记：可偏导不一定连续，偏导只是在x方向上和y方向上，连续可以从任意方向上逼近，同时也要记住，连续也不一定可偏导；这两个之间均没有直接关系

偏导数的计算

偏导的计算：如对
$x$

求偏导，就可以把
$y$

视作常数对
$x$

求导即可
同时，偏导数的概念可以推广到二元以上的函数上去

偏导数的几何意义(了解)
高阶偏导数

二阶偏导数，一共有四个
$f''_{xx}(x,y),f''_{xy}(x,y),f''_{yx}(x,y),f''_{yy}(x,y)$
同时要记住
$\frac{\partial^2z}{\partial x\partial y}=\frac{\partial^2z}{\partial y\partial x}$

这一结论并不总是成立的，成立的条件是
$f''_{xy}(x,y)$

和
$f''_{yx}(x,y)$

都在点
$(x,y)$

处连续

第四节全微分

全微分的概念

$dz=df=A\Delta x+B\Delta y=Adx+Bdy$

函数可微的充分必要条件

可微的必要条件连续且可偏导，即连续未必可微，可偏导未必可微
可微的充分条件偏导连续即可微，反过来不一定成立，即可微偏导不一定连续

全微分在近似计算中的应用

全微分等于所有偏微分之和

第五节多元复合函数的求导法则

链式法则
利用变量关系图求偏导数或全导数链式法则

画出变量关系图
在变量关系图中，如果复合后的函数或因变量(如
$z$

)到某个自变量(如
$x$

)的路径数目为
$i$

，则表明复合函数
$(z)$

对该自变量
$(x)$

的(偏)导数为
$i$

项之和
在一条路径中，如果有
$j$

条线段相连，则表明该路径对应的项为
$j$

个(偏)导数的乘积，且每个(偏)导数为线段左边变量对右边变量的(偏)导数
由上述过程，正确写出求偏导数或全导数的链式法则，并由此求出偏导数或全导数
口诀：路径用加，线段用乘，单出口求导，多出口偏导

全微分形式的不变性

第六节隐函数的微分法

由一个方程所确定的隐函数的求(偏)导公式
由方程组所确定的隐函数组的求(偏)导公式
全微分法
方程(组)在什么条件下才能确定隐函数
在方程(组)能确定隐函数时，研究其连续性、可微性及求(偏)导方法问题

第七节方向导数和梯度

方向导数(沿任意方向的方向导数)

二元函数
$f(x,y)$

在点
$P(x,y)$

沿方向
$\vec{l}$

(方向角为
$\alpha,\beta$

)的方向导数为
$\frac{\partial f}{\vec{l}}=\frac{\partial f}{\partial x}cos\alpha+\frac{\partial f}{\partial y}cos\beta$

梯度(方向导数取最大的方向)

三元z函数
$f(x,y,z)$

在点
$P(x,y,z)$

处的梯度为
$grad f=\{\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z}\}$

第八节二元函数的泰勒公式

不过多了解可由一元函数的泰勒公式进行推广得到

第九节多元函数微分学在极值中的应用

二元函数的极值
极值存在的充分条件：设函数
$z=f(x,y)$

在点
$P_0(x_0,y_0)$

的某个邻域内具有二阶连续偏导数，且
$f'_x(x_0,y_0)=0,f'_y(x_0,y_0)=0$

,令
$A=f''_{xx}(x_0,y_0),B=f''_{xy}(x_0,y_0),C=f''_{yy}(x_0,y_0)$

则

$当AC-B^2>0时，取极值 \begin{cases} A<0时取极大值\\ A>0时取极小值 \end{cases}$
当
$AC-B^2<0$

时，不取极值
当
$AC-B^2=0$

时，不能确定是否取极值

条件极值
第一种方法：化为无条件极值法
拉格朗日乘数法
拉格朗日乘数法步骤

第一步：引入
$F(x,y,\lambda)=f(x,y)+\lambda\phi(x,y)$
第二步：建立方程组

$F'_x=f'_x+\lambda\phi'_x=0$

$F'_y=f'_y+\lambda\phi'_y=0$

$F'_{\lambda}=\phi=0$

并求出所有拉格朗日稳定点
$(x_0,y_0)$
第三步：由实际问题判断条件极值的存在性，并求出条件极值

最大值与最小值
有界闭区域上连续函数最值的解题步骤

第一步：求出区域内部所有可能的最值点(驻点和不可偏导点)
第二步：求出区域边界上所有可能的最值点(利用条件极值的方法)
第三步：计算上述点处的函数值，并比较得出结论

第十节多元函数微分学在几何学中的应用

空间曲线的切线与法平面
空间光滑曲线在点
$M$

处的切线为此点处割线的极限位置，过点
$M$

与切线垂直的平面称为曲线在该点的法平面

曲线方程为参数方程时切线和法平面是很好确定的
当曲线方程为一般式方程时，需要联立方程求得
$\frac{dy}{dx},\frac{dz}{dx}$

,则曲线切向量为
$\{1,\frac{dy}{dx}|_{x_0},\frac{dz}{dx}\}|_{x_0}$

空间曲面的切平面与法线

法向量：
$\vec{n}=\{F'_x(x_0,y_0,z_0),F'_y(x_0,y_0,z_0),F'_z(x_0,y_0,z_0)\}$
切平面方程：
$F'_x(x_0,y_0,z_0)(x-x_0)+F'_y(x_0,y_0,z_0)(y-y_0)+F'_z(x_0,y_0,z_0)(z-z_0)=0$
法线方程
$\frac{x-x_0}{F'_x(x_0,y_0,z_0)}=\frac{y-y_0}{F'_y(x_0,y_0,z_0)}=\frac{z-z_0}{F'_z(x_0,y_0,z_0)}$

第十章重积分

第一节二重积分的概念和性质

二重积分的实际背景

曲顶柱体的体积基本思路：大化小，常代变，近似和，求极限
平面薄片的质量

二重积分的概念
二重积分存在定理：若函数
$f(x,y)$

在有界闭域
$D$

上连续，则
$f(x,y)$

在
$D$

上可积
二重积分的性质

二重积分的奇偶对称性
二重积分的轮换对称性

第二节二重积分的计算

利用直角坐标系计算二重积分要领：转化为两次定积分计算
必要时交换积分顺序很重要，可能会大大简化计算
二重积分的换元法

需要用到雅可比行列式
$\iint f(x,y)dxdy=\iint f(x(u,v),y(u,v))\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}dudv$

其中
$\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}$

可理解为变换前后面积元素
$dxdy$

与
$dudv$

之比

利用极坐标计算二重积分

公式如下
$\iint f(x,y)dxdy=\iint f(rcos\theta,rsin\theta)rdrd\theta$

,这一公式同样也可用雅可比行列式导出，也可用面积公式直观地看出来
反常二重积分

$\iint e^{-(x^2+y^2)}dxdy=\int^{2\pi}_{0}d\theta\int^{+\infty}_{0}re^{-r^2}dr=2\pi\cdot\frac{1}{2}(-e^{-r^2}|^{+\infty}_{0})=\pi$

第三节三重积分的概念与性质

三重积分概念的实际背景

$\iiint f(x,y,z)dv=\iiint f(x,y,z)dxdydz$

三重积分存在定理若函数
$f(x,y,z)$

在有限闭区域
$\Omega$

上连续，则
$f(x,y,z)$

在
$\Omega$

上可积

三重积分的概念
三重积分的性质

三重积分的奇偶轮换性
三重积分的轮换对称性

第四节三重积分的计算

利用直角坐标计算

投影法
三次积分法(该方法为最常用的基本方法)
截面法
三重积分换元法：和二重积分类似，都是用到了雅可比行列式，在这里就不详细说明了，运用三重积分换元法，可以轻松导出下面柱面坐标计算和球面坐标计算的公式

利用柱面坐标计算

柱面坐标与直角坐标之间的关系
$dv=dxdydz=rdrd\theta dz$

$\iiint f(x,y,z)dv=\iiint f(rcos\theta,rsin\theta,z)rdrd\theta dz$

适用范围
积分区域为圆柱体、圆锥体、旋转抛物体、旋转椭球体，或其中的一部分
投影区域为圆盘或圆盘的一部分
被积函数含有
$x^2+y^2$
计算方法和上述差不多，就不详细介绍了

利用球面坐标计算
直角坐标系与球面坐标系的关系

$x=\rho sin\phi cos\theta$
$y=\rho sin\phi sin\theta$
$z=\rho cos\phi$

由于

$\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(\rho,\phi,\theta)}=\left |\begin{array}{cccc} sin\phi cos\theta &\rho cos\phi cos\theta & -\rho sin\phi sin\theta \\ sin\phi sin\theta &\rho cos\phi sin\theta & \rho sin\phi cos\theta \\ cos\phi & -sin\phi &0\\ \end{array}\right|=\rho^2sin\phi$

因此，
$dv=dxdydz=\rho^2sin\phi d\rho d\phi d\theta$

$\iiint f(x,y,z)dxdydz=\iiint f(\rho sin\phi cos\theta,\rho sin\phi sin\theta,\rho cos\phi)\cdot \rho^2sin\phi d\rho d\phi d\theta$

三重积分适用范围
积分区域为球体或其中一部分，以及球体与圆锥体所围区域
被积函数含有
$x^2+y^2+z^2$

第五节重积分的应用

几何应用

曲顶柱体的体积
空间曲面的面积
$S=\iint\sqrt{1+Z'^{2}_{x}+Z'^{2}_{y}}dxdy$

物理应用

质量
静力矩
若平面薄片占有
$XOY$

坐标面上区域
$D$

,在点
$(x,y)$

处的面密度为
$\rho (x,y)$

,该平面薄片关于
$X$

轴、
$Y$

轴的静力矩分别为

$M_x=\iint y\rho(x,y)dxdy,M_y=\iint x\rho(x,y)dxdy$
质心
设空间有
$n$

个质点，分别位于
$(x_k,y_k,z_k)$

,其质量分别为
$m_k(k=1,2,...,n)$

,由力学知，该质点系的质心坐标为

$\overline{x}=\frac{\sum^{n}_{k=1}x_km_k}{\sum^{n}_{k=1}m_k}=\frac{\iiint x\rho(x,y,z)dxdydz}{\iiint \rho(x,y,z)dxdydz}$

$\overline{y}=\frac{\sum^{n}_{k=1}y_km_k}{\sum^{n}_{k=1}m_k}=\frac{\iiint y\rho(x,y,z)dxdydz}{\iiint \rho(x,y,z)dxdydz}$

$\overline{z}=\frac{\sum^{n}_{k=1}z_km_k}{\sum^{n}_{k=1}m_k}=\frac{\iiint z\rho(x,y,z)dxdydz}{\iiint \rho(x,y,z)dxdydz}$

当
$\rho$

恒为常数时，得到的质心坐标即为形心坐标
转动惯量
物体对
$z$

轴的转动惯量为
$I_z=\iiint(x^2+y^2)\rho(x,y,z)dxdydz$

物体对
$y$

轴的转动惯量为
$I_z=\iiint(x^2+z^2)\rho(x,y,z)dxdydz$

物体对
$x$

轴的转动惯量为
$I_z=\iiint(z^2+y^2)\rho(x,y,z)dxdydz$
引力
物体对原点处产生的引力
$x$

轴上的分量为
$F_x=k\iiint\frac{\rho(x,y,z)x}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}dv$

物体对原点处产生的引力
$y$

轴上的分量为
$F_x=k\iiint\frac{\rho(x,y,z)y}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}dv$

物体对原点处产生的引力
$z$

轴上的分量为
$F_x=k\iiint\frac{\rho(x,y,z)z}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}dv$

第十一章曲线积分

第一节对弧长的曲线积分

对弧长的曲线积分的实际背景
分割
$\rightarrow$

近似
$\rightarrow$

求和
$\rightarrow$

取极限

几何背景(曲边柱面的面积)
物理背景(曲线型构件的质量)

对弧长的曲线积分的概念及性质

第一类曲线积分(对弧长的曲线积分)线性性、对曲线的可加性、度量性、对称性、轮换对称性
基本思路：运用弧积分
$ds=\sqrt{\phi'^2(t)+\psi'^2(t)}dt$

公式将曲线积分转换为定积分

对弧长的2曲线积分的计算

第二节对坐标的曲线积分

对坐标的曲线积分的背景

变力沿曲线所做的功

$\vec{F}(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y)j$

第二类曲线积分(对坐标曲线积分)

$W=\int_{L}P(x,y)dx+Q(x,y)dy$

第二类曲线积分yu曲线的方向有关

对坐标的曲线积分的概念与性质
对坐标的曲线积分的计算方法

参数方程法如

$\begin{cases} x=\phi(t)\\ y=\psi(t) \end{cases}t:\alpha\rightarrow\beta$

,直接代入化为仅含有
$t$

的定积分进行运算

两类曲线积分之间的联系

空间曲线
$\tau$

上的两类曲线积分的联系是

$\int_{\tau}Pdx+Qdy+Rdz=\int_{\tau}(Pcos\alpha+Qcos\beta+Rcos\gamma)ds$

其中与
$\tau$

同方向的单位切向量为
$\tau=\{cos\alpha,cos\beta,cos\gamma\}=\{\frac{dx}{ds},\frac{dy}{ds},\frac{dz}{ds}\}$

第三节格林公式

平面区域的正向边界曲线
格林公式将平面上有界封闭曲线
$L$

上的曲线积分通过
$L$

所围成的平面闭区域
$D$

上的二重积分计算
对平面有界区域
$D$

的边界
$L$

，规定
$L$

的正向如下

当人沿
$L$

的正向行走时，区域
$D$

总在他的左边
单连通：
$L$

的正向为逆时针方向(内部无洞)
复连通：
$L$

的正向为外逆内顺，即
$L_1$

逆
$L_2$

顺
区域
$D$

的带有正向的边界曲线，称为
$D$

的正向边界曲线(内部有洞)

格林公式

设
$D$

是
$xoy$

面上的有界闭区域，其边界曲线
$L$

由有限条光滑或分段光滑的正向曲线所组成，
$P(x,y)$

及
$Q(x,y)$

在
$D$

上具有一阶连续偏导数，则有
$\int Pdx+Qdy=\iint(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy-格林公式$

第四节平面曲线积分与路径无关的条件

平面上曲线积分与路径无关的等价条件

在
$D$

内存在可微函数
$u(x,y)$

使得
$du(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy$
在
$D$

内每一点都有
$\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$

二元函数原函数及求法
全微分方程

若存在
$u(x,y)$

使得
$du(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy$

就称
$P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0$

为全微分方程

第五节曲线积分的应用

曲顶柱面的面积
曲线形物体的质量，质心和惯性矩

曲线型物体的质量
$M=\int_{L}\rho(x,y)ds,M=\int_{\tau}\rho(x,y,z)ds$

,其中
$\rho$

为密度
空间曲线的质心
$\overline{x}=\frac{1}{M}\int_{\tau}x\rho(x,y,z)ds,\overline{y}=\frac{1}{M}\int_{\tau}y\rho(x,y,z)ds,\overline{z}=\frac{1}{M}\int_{\tau}z\rho(x,y,z)ds$
空间曲线的形心
$\overline{x}=\frac{1}{l}\int_{\tau}xds,\overline{y}=\frac{1}{l}\int_{\tau}yds,\overline{z}=\frac{1}{l}\int_{\tau}zds$
平面曲线型物体转动惯量

$I_x=\int_{\tau}y^2\rho(x,y)ds$

$I_y=\int_{\tau}x^2\rho(x,y)ds$

$I_z=\int_{\tau}(x^2+y^2)\rho(x,y)ds$

变力做功
$W=\int_{L}P(x,y)dxz+Q(x,y)dy$

$W=\int_{\tau}P(x,y,z)dxz+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz$

第十二章曲面积分

第一型(对面积的)曲面积分
第二型(对坐标的)曲面积分

第一节对面积的曲面积分

分割

$\rightarrow$

近似
$\rightarrow$

求和
$\rightarrow$

取极限

对面积的曲面积分的实际背景

$\iint f(x,y,z)dS=\lim_{\lambda \rightarrow 0}\sum^{n}_{i=1}f(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\Delta S_i$

第一类曲面积分的物理意义面密度为连续函数
$\rho (x,y,z)$

的光滑曲面
$\sum$

的质量
$M=\iint\rho(x,y,z)dS$

对面积的曲面积分的概念与性质
对面积的曲面积分的计算
基本思想：化为二重积分进行计算

$M=\iint\rho(x,y,z)dS，dS=\sqrt{1+z'^2_x+z'^2_y}dxdy$

第二节对坐标曲面积分

曲面的侧

曲面的分类(双侧曲面有两侧的曲面，上侧-下侧，左侧-右侧；单侧曲面，莫比乌斯带)
我们的研究对象：我们只考虑双侧曲面，不考虑单侧曲面
有向曲面(法向量的方向称为有向曲面的正向)
通常将封闭曲面
$\sum$

分为内侧和外侧，内侧指点
$(x,y,z)$

处的法向量指向曲面所围空间有界区域内部的那一侧，而另一侧指外侧

对坐标的曲面积分的实际背景

流向曲面一侧的流量

对坐标的曲面积分的概念及性质
定义

设
$\sum$

为光滑有向曲面，向量场
$\vec{F}(x,y,z)=\{P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)\}$

在
$\sum$

上有界，若对
$\sum$

的任意分割和局部任意取点，
$\lim_{\lambda\rightarrow 0}\sum^{n}_{i=1}[P(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)(\Delta \sigma_{yz})_i+Q(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)(\Delta \sigma_{zx})_i+R(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)(\Delta \sigma_{xy})_i]$

存在且唯一，就称此极限为
$\vec{F}$

在有向曲面
$\sum$

上的第二类曲面积分或对坐标的曲面积分

$\iint P(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy=\lim_{\lambda\rightarrow 0}\sum^{n}_{i=1}[P(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)(\Delta \sigma_{yz})_i+Q(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)(\Delta \sigma_{zx})_i+R(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)(\Delta \sigma_{xy})_i]$

上式中，
$dydz,dzdx,dxdy$

分别为有向投影
$(\Delta \sigma_{yz})_i,(\Delta \sigma_{zx})_i,(\Delta \sigma_{xy})_i$

的元素，也可对应即为
$d\sigma_{yz},d\sigma_{zx},d\sigma_{xy}$

,即有
$dydz=d\sigma_{yz}=cos\alpha dS,dzdx=d\sigma_{zx}=cos\beta dS,dxdy=d\sigma_{xy}=cos\gamma dS$

称为有向投影元素

对坐标的曲面积分的计算法

思想：化为二重积分进行计算

两类曲面积分之间的联系

$\iint Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=\iint(Pcos\alpha+Qcos\beta+Rcos\gamma)dS$

，其中
$\vec{n}=\{cos\alpha,cos\beta,cos\gamma\}$

为有向曲面
$\sum$

上任意一点
$(x,y,z)$

处指定侧的单位法向量

第三节高斯公式和斯托克斯公式

高斯公式

$\iint Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=\iiint(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial P}{\partial z})dv$

对于非封闭曲面的曲面积分，可添加辅助面，化为封闭曲面的曲面积分，再利用高斯公式，然后减去辅助面上的积分
斯托克斯公式

定理
设有向光滑曲线
$\sum$

的边界
$\Tau$

时分段光滑有向曲线，且
$\sum$

的侧与
$\Tau$

的方向符合右手法则，
$P,Q,R$

在包含
$\sum$

在内的一个空间域内具有一阶连续偏导数，则有
$\int_\Tau Pdx+Qdy+Rdz=\iint(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac {\partial Q}{\partial z})dydz+(\frac {\partial P}{\partial z}-\frac {\partial R}{\partial x})dzdx+(\frac {\partial Q}{\partial x}-\frac {\partial P}{\partial y})dxdy$

斯托克斯公式的实质：建立了有向曲面上的曲面积分与其边界上的曲线积分之间的联系

第四节曲面积分的应用

曲面的面积

$S=\iint dS=\iint \sqrt{1+f'^2_x(x,y)+f'^2_y(x,y)}dxdy$
曲面状物体的质量，质心和转动惯量
曲面状物体对质点的引力
通量与散度

散度的定义：设
$\vec{A}(x,y,z)=P(x,y,z)\vec{i}+Q(x,y,z)\vec{j}+R(x,y,z)\vec{k}$

向量场
$A$

中点
$M(x,y,z)$

处散度
$div \vec{A}=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}$

牢记：散度是数量，不是矢量

环流量与旋度
场论中三个重要概念：梯度、散度、旋度

设
$u=u(x,y,z),\vec{A}=\{P.Q.R\}$

,则
梯度：
$grad\,u=\{\frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial u}{\partial y},\frac{\partial u}{\partial z}\}$
散度：

$div \vec{A}=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}$
旋度：

$\rot \vec {A}=\left |\begin{array}{cccc} \vec{i} &\vec{j} & \vec{k} \\ \frac {\partial}{\partial x} &\frac {\partial}{\partial y} & \frac {\partial}{\partial z} \\ P & Q &R\\ \end{array}\right|=\{\frac {\partial R}{\partial y}-\frac {\partial Q}{\partial z},\frac {\partial P}{\partial z}-\frac {\partial R}{\partial x},\frac {\partial Q}{\partial x}-\frac {\partial P}{\partial y}\}$

第十三章无穷级数

第一节常数项级数的概念及其性质

常数项级数的概念

无穷级数的概念
级数的收敛与发散概念
如果级数
$\sum^{\infty}_{n=1}u_n$

的部分和数列
$s_n$

有极限
$s$

,即
$\lim{s_n}=s$

，就称无穷级数
$\sum^{\infty}_{n=1}u_n$

收敛，此极限
$s$

称为级数
$\sum^{\infty}_{n=1}u_n$

的和，如果
$s_n$

没有极限，就称无穷级数发散

常数项级数的基本性质
级数收敛的必要条件

若级数
$\sum^{infty}_{n=1}u_n$

收敛，则
$\lim_{n\rightarrow \infty}u_n=0$
收敛级数可以逐项相加与逐项相减，即两个收敛的级数和也收敛，若一个级数收敛，另一个发散，则该两个级数之和发散；若两个级数均发散，则这两个级数和的级数不可判断敛散性
级数的敛散性与其前有限性无关
一个级数加括号后收敛，原级数敛散性不确定

第二节正向级数及其审敛法

基本定理

定理一：正向级数
$\sum^{\infty}_{n=1}u_n$

收敛，则其部分和数列
$\{s_n\}有上界$

积分审敛法

若
$f(x)$

在
$[1,+\infty)$

满足：非负、连续、单减，则正向级数
$\sum^{\infty}_{n=1}f(n)$

与反常积分
$\int^{+\infty}_{1}f(x)dx$

同敛散
特别滴，对于级数
$\sum^{\infty}_{n=1}\frac{1}{n^p}$

当
$p>1$

时，该级数收敛，
$p<=1$

时，该级数发散，当
$p=1$

时，为挑个级数，是发散的

比较审敛法

大收则小收
小散则大散
即判定一个正向级数的敛散性，可与另一个已知敛散性的正向级数比较来确定
比较审敛法的极限形式
设两个正向级数
$\sum^{\infty}_{n=1}u_n,\sum^{\infty}_{n=1}v_n$

满足
$\lim_{n\rightarrow \infty}\frac {u_n}{v_n}=l$

,则有
当
$0<l<\infty$

时，两个级数同时收敛或发散
当
$l=0$

时，若
$\sum^{\infty}_{n=1}v_n$

收敛，则
$\sum^{\infty}_{n=1}u_n$

收敛
当
$l=\infty$

时,若
$\sum^{\infty}_{n=1}v_n$

发散，则
$\sum^{\infty}_{n=1}u_n$

发散
当
$0<l<\infty$

时，两个级数同时收敛或发散

比值审敛法

设若
$\sum^{\infty}_{n=1}u_n$

为正向级数，且
$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac {u_{n+1}}{u_n}=\rho$

,则
当
$\rho<1$

时，级数收敛
当
$\rho>1$

时，级数发散
当
$\rho=1$

时，级数可能收敛，也可能发散
比值审敛法的优点，不必找"参照级数"

根植审敛法

设若
$\sum^{\infty}_{n=1}u_n$

为正向级数，且
$\lim_{n\rightarrow \infty}\sqrt[n]{u_n}=\rho$

，则
当
$\rho<1$

时，级数收敛
当
$\rho>1$

时，级数发散
当
$\rho=1$

时，级数可能收敛，也可能发散

第三节级数的绝对收敛与条件收敛

交错级数及其审敛法

正负向相间的级数称为交错级数
$\sum^{\infty}_{n=1}(-1)^nu_n$
交错级数判别法(莱布尼茨判别法)(若交错级数
$\sum^{\infty}_{n=1}(-1)^{n-1}u_n$

满足条件
$u_n>=u_{n+1}(n=1,2,3,...);且\lim_{n\rightarrow \infty}u_n=0$

),则
$\sum^{\infty}_{n=1}(-1)^{n-1}u_n$

收敛，满足上述两个条件的级数称为莱布尼茨交错级数

绝对收敛与条件收敛

若级数
$\sum^{\infty}_{n=1}|u_n|$

收敛，则级数
$\sum^{\infty}_{n=1}u_n$

必定收敛
若
$\sum^{\infty}_{n=1}|u_n|$

收敛，则称
$\sum^{\infty}_{n=1}u_n$

为绝对收敛
若
$\sum^{\infty}_{n=1}|u_n|$

发散，
$\sum^{\infty}_{n=1}u_n$

收敛，则称
$\sum^{\infty}_{n=1}u_n$

为条件收敛

第四节幂级数

函数项级数的概念
函数项级数、收敛点-收敛域、发散点-发散域、和函数(认真了解一下这几个概念咯)

例如等比级数
$\sum^{\infty}_{n=0}x^n=1+x+x^2+L+x^n+L$

收敛域是
$(-1,1)$

发散域是
$(-\infty,-1],[1,+\infty)$

和函数
$s(x)=\sum^{\infty}_{n=1}x^n=\frac{1}{1-x}$

,当
$x\in(-1,1)$

时
收敛域是
$(-1,1)$
收敛半径
$R$

的求法
设
$\sum^{\infty}_{n=0}a_nx^n$

且
$\lim_{n\rightarrow\infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|=\rho$

或
$(\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{|a_n|})=\rho$

则当
$0<\rho<+\infty$

时，收敛半径
$R=\frac{1}{\rho}$

则当
$\rho=0$

时，收敛半径
$R=+\infty$

则当
$\rho=+\infty$

时，收敛半径
$R=0$

幂级数及其收敛性

求幂级数收敛域的方法
对标准型幂级数
$\sum^{\infty}_{n=0}a_nx^n(a_n\neq0)$
由公式收敛半径，再讨论端点的收敛性
对非标准型幂级数(缺项或通项为复合式)
求收敛半径时直接用比值法或根植法，也可通过换元化为标准型再求
也可以由比值审敛法求得

幂级数的运算及性质
若
$\sum^{\infty}_{n=0}a_nx^n$

的收敛半径
$R>0$

,其核函数
$S(x)$

，则

$S(x)$

在收敛域上连续
$S(x)$

在收敛区间内可逐项求导
$S(x)$

在收敛区间内可逐项积分
注意：逐项求导、积分时，运算前后端点处的敛散性可能改变
求幂级数和函数的方法
求导(去分母)
$\rightarrow$

求和
$\rightarrow$

积分
积分(去分子)
$\rightarrow$

求和
$\rightarrow$

求导

第五节函数的幂级数展开式

泰勒(
$Taylor$

)级数
函数展开成幂级数
幂级数
$\sum^{\infty}_{n=0}a_nx^n$

求和
$\rightarrow$

和函数
$S(x)$

和函数
$S(x)$

展开成幂级数
$\sum^{\infty}_{n=0}a_nx^n$

展开方法(两种)

直接展开法-使用泰勒公式
间接展开法-使用已有结论

幂级数的应用

近似计算
欧拉公式
欧拉公式的几个简单应用-蒂莫夫公式

$(cosx+isinx)^n=(e^{ix})^n=e^{inx}=cosnx+isinnx$
微分方程的幂级数解

第六节傅里叶级数

三角级数及三角函数系的正交性

周期函数与三角函数
$y=Asin(\omega t+\phi)$

谐波函数
其中
$A$

为振幅，
$\omega$

为角频率，
$\phi$

为初相
复杂的周期运动
$y=A_0+\sum^{\infty}_{n=1}A_n(n\omega t+\phi_n)$

谐波叠加
将上述公式展开化简，令
$\frac{a_0}{2}=A_0,a_n=A_nsin\phi_n,b_n=A_ncos\phi_n,\omega t=x$

得到函数项级数
$\frac {a_0}{2}+\sum^{\infty}_{n=1}(a_ncosnx+b_nsinnx)$

形如上式的级数称为三角级数
三角级数的正交性

周期为
$2\pi$

函数的
$Fourier$

展开式

设
$f(x)$

是周期为
$2\pi$

的周期函数，且
$f(x)=\frac {a_0}{2}+\sum^{\infty}_{n=1}(a_ncosnx+b_nsinnx)$

,右向级数可逐项积分，则有

$a_n=\frac {1}{\pi}\int^{\pi}_{-\pi} f(x)cosnxdx(n=0,1,...)$

$b_n=\frac {1}{\pi}\int^{\pi}_{-\pi}f(x)sinnxdx(n=1,2,...)$

上述即为欧拉-傅里叶公式，由
$f(x)$

的欧拉-傅里叶公式所得的
$a_n,b_n$

称为
$f(x)$

的傅里叶系数，由
$f(x)$

的傅里叶系数
$a_n,b_n$

构成的三角级数
$\frac{a_0}{2}+\sum^{\infty}_{n=1}(a_ncosnx+b_nsinnx)$

称为
$f(x)$

的傅里叶级数

周期为
$2l$

函数的
$Fourier$

展开式

高等数学

高等数学

第一章

第一节 函数的概念

第二节 函数的几种特性

第三节 初等函数

第四节 一些常用的不等式和等式

第二章 极限与连续

第一节 数列与极限

第三节 极限运算法则

第四节 无穷小与无穷大

第五节 极限存在准则及两个重要极限

第六节 连续函数及其性质

第三章

第一节 导数的概念

第二节 导数的求导法则

第三节 高阶导数

第四节 隐函数和参变量函数的求导

第五节 函数的微分

第四章

第一节 微分中值定理

第二节 洛必达法则

第三节 泰勒公式

第四节 函数单调性与极值

第五节 函数的凹凸性与曲线的拐点

第六节 函数的图形

第五章 一元函数微分学

第一节 定积分的概念及性质

第二节 微积分基本定理

第三节 不定积分的概念与性质

第四节 换元积分法

第五节 分步积分法

第六节 有理函数的积分

第七节 反常(广义)积分

第六章 定积分的应用

第一节 定积分在工程上的应用

第二节 定积分在几何学上的应用

第七章 常微分方程

第一节 微分方程的基本概念

第二节 一阶微分方程常见类型及解法

第三节 二阶线性微分方程理论及解法

第四节 其他若干类型的高阶微分方程及解法

第八章 向量代数与空间解析几何概要

第一节 向量及其线性运算概要

第二节 向量的乘积

第三节 空间平面

第四节 空间直线

第五节 空间曲面

第六节 空间曲线

第九章 多元函数微分学

第一节 多元函数的概念

第二节 二元函数的极限与连续

第三节 偏导数

第四节 全微分

第五节 多元复合函数的求导法则

第六节 隐函数的微分法

第七节 方向导数和梯度

第八节 二元函数的泰勒公式

第九节 多元函数微分学在极值中的应用

第十节 多元函数微分学在几何学中的应用

第十章 重积分

第一节 二重积分的概念和性质

第二节 二重积分的计算

第三节 三重积分的概念与性质

第四节 三重积分的计算

第五节 重积分的应用

第十一章 曲线积分

第一节 对弧长的曲线积分

第二节 对坐标的曲线积分

第三节 格林公式

第四节 平面曲线积分与路径无关的条件

第五节 曲线积分的应用

第十二章 曲面积分

第一节 对面积的曲面积分

第二节 对坐标曲面积分

第三节 高斯公式和斯托克斯公式

第四节 曲面积分的应用

第十三章 无穷级数

第一节 常数项级数的概念及其性质

第二节 正向级数及其审敛法

第一节函数的概念

第二节函数的几种特性

第三节初等函数

第四节一些常用的不等式和等式

第二章极限与连续

第一节数列与极限

第三节极限运算法则

第四节无穷小与无穷大

第五节极限存在准则及两个重要极限

第六节连续函数及其性质

第一节导数的概念

第二节导数的求导法则

第三节高阶导数

第四节隐函数和参变量函数的求导

第五节函数的微分

第一节微分中值定理

第二节洛必达法则

第三节泰勒公式

第四节函数单调性与极值

第五节函数的凹凸性与曲线的拐点

第六节函数的图形

第五章一元函数微分学

第一节定积分的概念及性质

第二节微积分基本定理

第三节不定积分的概念与性质

第四节换元积分法

第五节分步积分法

第六节有理函数的积分

第七节反常(广义)积分

第六章定积分的应用

第一节定积分在工程上的应用

第二节定积分在几何学上的应用

第七章常微分方程

第一节微分方程的基本概念

第二节一阶微分方程常见类型及解法

第三节二阶线性微分方程理论及解法

第四节其他若干类型的高阶微分方程及解法

第八章向量代数与空间解析几何概要

第一节向量及其线性运算概要

第二节向量的乘积

第三节空间平面

第四节空间直线

第五节空间曲面

第六节空间曲线

第九章多元函数微分学

第一节多元函数的概念

第二节二元函数的极限与连续

第三节偏导数

第四节全微分

第五节多元复合函数的求导法则

第六节隐函数的微分法

第七节方向导数和梯度

第八节二元函数的泰勒公式

第九节多元函数微分学在极值中的应用

第十节多元函数微分学在几何学中的应用

第十章重积分

第一节二重积分的概念和性质

第二节二重积分的计算

第三节三重积分的概念与性质

第四节三重积分的计算

第五节重积分的应用

第十一章曲线积分

第一节对弧长的曲线积分

第二节对坐标的曲线积分

第三节格林公式

第四节平面曲线积分与路径无关的条件

第五节曲线积分的应用

第十二章曲面积分

第一节对面积的曲面积分

第二节对坐标曲面积分

第三节高斯公式和斯托克斯公式

第四节曲面积分的应用

第十三章无穷级数

第一节常数项级数的概念及其性质

第二节正向级数及其审敛法

第三节级数的绝对收敛与条件收敛

第四节幂级数

第五节函数的幂级数展开式

第六节傅里叶级数