利用贝叶斯公式进行用户购买率分析

一. 问题
我们要为一个电商商户预测其用户购买某个商品的概率，这个商户提供了5个商品，用户可以自由购买其中的商品，其中第5个商品是该商户的重要商品。商户用了很多方法引导其用户购买第5个商品。现在我要预测购买了前4个商品任意组合的用户购买第5个商品的概率。

二. 贝叶斯公式
这个问题是一个典型的贝叶斯问题。贝叶斯是英国数学家，统计学中有一个基本的工具用他的名字命名，叫贝叶斯公式，贝叶斯公式描述了事件A在事件B发生的条件下概率。比如：事件A发生的概率是P(A)，事件B发生的概率是P(B)，事件A和事件B同时发生的概率是P(AB)，事件A在事件B发生的条件下概率是P(A|B)。

P(A|B) = P(B|A)P(A) / P(B)

P(A) P(B) P(B|A) 都可以根据历史数据计算可得。
贝叶斯公式实际上是将要计算的结果转化为利用已知数据得出结论的工具。

三. 建模和求解
我们假设用户购买商品A₁的概率是P(A₁)，购买商品A₂的概率是P(A₂)，购买商品P(A₃)的概率就是P(A₃)，购买商品P(A₄)的概率就是P(A₄)，购买商品P(A₅)的概率就是P(A₅)

我们按照用户购买组合的情况，分组求解以上模型，我们将分为：

购买1个商品用户，购买第5个商品的概率
根据前面讨论的模型，该情况下的贝叶斯算式是：
P(A₅| A₁) = P(A₁|A₅) P(A₅) / P(A₁)
P(A₅| A₂) = P(A₂|A₅) P(A₅) / P(A₂)
P(A₅| A₃) = P(A₃|A₅) P(A₅) / P(A₃)
P(A₅| A₄) = P(A₄|A₅) P(A₅) / P(A₄)

4个算式中的P(A₁| A₅)，P(A₂| A₅)，P(A₃| A₅)，P(A₄| A₅)，P(A₁)，P(A₂)，P(A₃)，P(A₄)，P(A₅)都可以通过在已有的历史数据的统计计算得出，换句话说，我们计算所需要用到的所有数值都是已知的。

以上4个算式的结果是：
P(A₅| A₁) = 0.13%
P(A₅| A₂) = 0.13%
P(A₅| A₃) = 0.1%
P(A₅| A₄) = 0.12%

购买2个商品的用户，购买第5个商品的概率

购买3个商品的用户，购买第5个商品的概率：
P(A₅| A₁ A₂ A₃) = P(A₁ A₂ A₃|A₅) P(A₅) / P(A₁ A₂ A₃)
P(A₅| A₁ A₂ A₄) = P(A₁ A₂ A₄|A₅) P(A₅) / P(A₁ A₂ A₄)
P(A₅| A₁ A₃ A₄) = P(A₁ A₃ A₄|A₅) P(A₅) / P(A₁ A₃ A₄)
P(A₅| A₂ A₃ A₄) = P(A₂ A₄ A₄|A₅) P(A₅) / P(A₂ A₃ A₄)

购买4个商品的组合，购买第5个商品的概率：
P(A₅| A₁ A₂ A₃ A₄) = P(A₁ A₂ A₃ A₄|A₅) P(A₅) / P(A₁ A₂ A₃ A₄)

同样按照前面的方法计算，得出：
P(A₅| A₁ A₂ A₃ A₄) = P(A₁ A₂ A₃ A₄|A₅) P(A₅) / P(A₁ A₂ A₃ A₄) = 1.6%

四. 结果分析
我们从2个角度来分析结果，1个角度是从每种情况下比较不同组合间的概率，1个角度是不同情况间的横向对比。

每种情况下不同组合的概率：
（1）只购买1个商品的情况下，不管用户购买哪种商品，对购买第5种商品的概率都没太大影响。4个数据的标准差是0.014，均值是0.12。
（2）购买2个商品的情况下，购买A2A3和A3A4对结果是有明显效果的，但是购买A2A4组合的用户反而不太可能购买第5种商品。
（3）购买3个商品的情况下，购买A1A3A4组合的用户相比其他组合的用户效果最好，而购买A2A3A4的用户反而不太可能购买第5种商品。
购买不同数量商品组合间的对比
购买1个商品结果均值是0.12%，购买2个商品的结果均值是0.12%，购买3个商品的结果均值是0.3%，购买4个商品的结果均值是1.6%。可以看出当用户购买3个、4个商品是，对购买第5种商品的概率是很大提升的，

四. 结论

购买1个商品的情况下，购买哪个商品对最后购买第5个商品的概率影响不大。
购买2个商品的情况下，只有A2和A4组合对购买第5个商品的概率有提升，其他组合对目标概率的提升不高。
购买3个商品的情况下，普遍能大幅提升购买第5个商品的概率，但是A2A3A4组合除外。
购买4个商品的情况下，能大大提高购买第5个商品的概率，该商户应该想办法引导用户购买出第5个商品外的剩余全部的4个商品。