上一篇文章讲了神经网络的参数初试化，可以看到不同的初始化方法对我们的学习效果有很大影响。（参见：【DL笔记】神经网络参数初始化的学问）
本文继续讨论如何进一步优化我们的梯度下降算法，使得我们的学习更快，学习效果更佳。
首先，我们惯用的方法是“梯度下降法”，称为Gradient Decent，就是把所有的训练样本丢进去训练一次之后，把W和b更新一次，然后重复这个过程，具体重复多少次就看我们的“迭代次数”是多少。
【为了下面叙述的方便，我们称“把所有训练样本过一遍”为一个epoch，另外 gradient decent也就是梯度下降我们就简称为GD。】
我们传统的GD，也可以称为Batch GD，这个batch就是指一整批，就是指我们所有样本。
今天主要介绍的有如下方法，均是对传统batch gradient decent的改进：
- Mini-batch GD（小批量梯度下降法）
- GD with Momentum（动量法）
- Adam算法（Momentum与RMSprop算法结合）
一、Mini-batch GD
mini-batch是相对于batch来说的，后者我们前面说过，是走完一个epoch才把参数更新一次，这样其实很慢。
样本数量不多还好，但是样本多了就会明显耗费大量时间，比如5百万样本，这在深度学习里面是很平常的事情，但是使用传统的方法，即batch GD，意味着我们需要把5,000,000个样本跑一遍才能更新一次W和b。
mini-batch就是为了解决这个问题的，我们可以把5百万的样本分成一块一块的，比如1000个样本一块，称为一个mini-batch，这样我们就有5000个mini-batch。我们训练的时候，跑完一个mini-batch就把W和b更新一次，这样的的话，在一个epoch中，我们就已经把参数更新了5000次了！虽然每一步没有batch GD的一步走的准，但是我5000步加起来，怎么样也比你走一步的效果好的多，因此可以加快训练速度，更快到达最值点。
这就是mini-batch GD方法。
对于不同的mini-batch的大小（size），也有不一样的效果：
- size=样本数 —> Batch GD
- size=1 —> Stochastic GD（随机梯度下降）
有人可能会问，那size=1的时候，也就是来一个样本就更新一次，岂不是会更快？
不是的，它会有两个问题：
- 震动太剧烈，误差会灰常大，可能根本无法到达最低点
- 每次只计算一个样本，就失去了我们前面提到的“Vectorization（矢量化）”的优势，因此计算效率反而不高
因此，我们通常取一个中间的值，这样，既利用了Vectorization来加速计算，又可以在一个epoch中多次更新，速度就可以最快。
有意思的是，据吴恩达说，mini-batch size 通常取2的指数，主要是16，32，64，128，256，512，1024这几个值，因为计算机是二进制，这样的数字计算起来效率会更高一些。
口说无凭，现在我做个实验验证一下是不是mini-batch 更好：
实验条件：
三层神经网络，learning-rate=0.0007，batch size=300，mini-batch size=64，迭代次数=40000
数据集形状如下：
猜想：
①mini-batch GD效果要比batch GD更好
②mini-batch GD的cost曲线会比batch波动更大，但是最终cost却更低
实验代码和过程就不放了，直接看我们运行的结果：
batch GD：
耗时105s，准确率只有0.76，看图明显就知道还没训练好。
再看mini-batch GD：
哇塞，效果不错！准确率提高到了91.7%，而且从cost曲线上看，确实如我所料有很大的波动，但是最终的cost显著低于batch GD，因此学习的模型就更好。
出乎我意料的是，时间居然缩短了一半以上！一开始我估计时间应该差不多，因为我们迭代的40000次相当于40000个epoch，我前面只是说一个epoch中mini-batch更新的次数更多，没想到居然也更快（因为我觉得一个epoch中的操作变多了，可能会变慢一点）。
想了想，觉得应该是这样：因为mini-batch在一个epoch中走的步子多，因此可以迅速地找到“最佳下坡路”，找到了之后，就跟坐滑滑梯一样，越溜越快，因此比batch GD更快。
二、Momentum 动量法
上面的mini-batch GD给了我们一些惊喜了，但是似乎还可以更好，毕竟还有不少点都分类错误。
主要的原因就是因为，使用mini-batch之后，稳定性降低了，在梯度下降的时候会有较为剧烈的振动，这样可能导致在最低点附近瞎晃悠，因此效果会受影响。
动量法就是解决mini-batch的这个问题的，它让梯度下降不那么抖动。
看看Momentum的参数更新过程：
如果你熟悉神经网络梯度下降的过程，就知道，我们一般的梯度下降的更新过程（以W为例）是：W = W -αdW。
动量法相当于多了一个V_dW，它考虑了前面若干个dW，（实际上，V_dW约等于前1/(1-β)个dW的平均值，数学上称为“指数加权平均”）这样，dW的方向就会受到前面若干个dW的冲击，于是整体就变得更平缓。
可能画个示意图才能更好地说明吧：
mini-batch是上下起伏不定的箭头，但是把若干个的方向平均一下，就变得平缓多了，相当于抵消掉了很多的方向相反的误差。
我们也在做实验验证一下，实验条件跟上面一样，我们在mini-batch size=64的基础上，使用Momentum方法来更新参数，得到的效果如下：
这个超参数β调了我半天，最开始0.9，然后0.95，再0.99，再0.999，终于有了上面的这么一点点的提升，准确率到了92%。可见momentum有一些效果，但是此处还不太明显。
三、Adam算法
这个方法，对momentum再进一步改进，结合了RMSprop算法（是另一种减小梯度下降振动的方法），更新过程如下：
不仅有了我们刚刚的V_dW, 还有一个S_dW(就把它理解为跟V_dW的原理类似就行了)，然后，再对这两个玩意儿都进行了一个修正（corrected），最后参数更新是综合了这二者，结果效果就出奇的好：
准确率有了明显提升，达到94%，拟合的形状明显是那么一回事了。
对于Momentum的效果不那么明显的现在，吴恩达的解释是在learning-rate太小以及数据集比较简单的情况下，momentum发挥不了太大的作用，因此本实验中我们看不出惊人的效果。但在其他场景下也许就有很好的改善了。
当然，既然有了Adam算法，我们自然会使用Adam这个最佳实践了。
总结一下：
Mini-batch GD比传统GD效果更好，训练更快
Momentum动量法可以减小Mini-batch带来的振动
梯度下降的最佳优化方法是Adam算法
Adam算法中的超参数β1和β2以及learning-rate也会显著影响模型，因此需要我们反复调试
我的其他[深度学习]文章：
【DL笔记1】Logistic回归：最基础的神经网络
【DL笔记2】神经网络编程原则&Logistic Regression的算法解析
【DL笔记】神经网络参数初始化的学问
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