直线运动气缸耗气量计算

最近因为工作的关系需要计算气缸的耗气量，《现代实用气动技术》（SMC公司编写）中气缸最大耗气量公式为：
$\tag{1} Q_c=0.046D^2u_m(p+0.102)$
$Q_c$ ：气缸最大耗气量， $L/min$ （ANR）
$D$ ：气缸缸径， $cm$
$u_m$ ：气缸最大速度， $mm/s$
$p$ ：使用压力， $Mpa$

这个公式（1）在书中没有给出推导过程，我一直纠结这个公式到底是否适用于所有气缸还是只能用与SMC的气缸。后来我看到了机械设计手册上的公式经过推敲后发现这个公式是在某些条件下可通用。下面根据机械设计手册上的方法来推导上面的（1）式。

机械设计手册上对气缸耗气量的计算是逐步进行的，首先先计算气缸所需压缩空气的量，有如下两个公式：
$\tag{2} Q_{v_1}=\frac{\pi}{4}\cdot\frac{D^2S}{t_1}$
$\tag{3} Q_{v_2}=\frac{\pi}{4}\cdot\frac{(D-d)^2S}{t_2}$
$Q_v$ ：每秒压缩空气消耗量， $m^3/s$ ；当是双作用气缸或单作用气缸无杠腔工作或柱塞缸工作时 $Q_v=Q_{v_1}$ ；当气缸有杆腔工作时 $Q_v=Q_{v_2}$
$Q_{v_1}$ ：缸前进时（杆伸出）无杆腔（包括柱塞缸）压缩空气消耗量， $m^3/s$
$Q_{v_2}$ ：缸后退时（杆缩回）有杆腔压缩空气消耗量， $m^3/s$
$D$ ：气缸内径（柱塞缸的柱塞内径）， $m$
$d$ ：活塞杆直径， $m$
$t_1$ ：杆伸出时间， $s$
$t_2$ ：杆缩回时间， $s$

上面的公式摘自机械设计手册，如果我们把压缩空气作用的腔简称作用腔的话，压缩空气的空气消耗量简单来说就是作用腔在单位时间内的容积。由于气缸活塞的实际速度不是匀速，所以（2）和（3）求的值是平均值。我们在选型时需要按照最大的压缩空气需求量来计算，根据（2）和（3）我们可以得到以下两个公式：
$Q_{v_1max}=\frac{\pi}{4}D^2V_{max}\tag{4}$
$Q_{v_2max}=\frac{\pi}{4}(D-d)^2V_{max}\tag{5}$
$V_{max}$ ：活塞运动时的最大速度， $m/s$

注意 $Q_v$ 是压缩空气的消耗量所以我们还需要转换为自由空气的消耗量。

我们先来看下在压缩空气与自由空气的关系公式：
$Q=\frac{P \cdot Q_v}{P_a}=\frac{(P_a+P_g)Q_v}{P_a}\tag{6}$
$Q$ :自由空气流量
$Q_v$ :压缩空气流量
$P_a$ :外部大气压力
$P_g$ :表压力
$P$ :压缩空气压力

在ANR条件下，我们将标准大气压力(约为0.101Mpa)，（4）和（5）分别代入（6），可得：
$Q_{1max}=\frac{0.101+P_a}{0.101}\frac{\pi}{4}D^2V_{max}=7.776(0.101+P_a)D^2V_{max}\tag{7}$
$Q_{2max}=\frac{0.101+P_a}{0.101}\frac{\pi}{4}(D-d)^2V_{max}=7.776(0.101+P_a)(D-d)^2V_{max}\tag{8}$
$Q_{max}$ :气缸最大耗气量， $m^3/s$ ；当是双作用气缸或单作用气缸无杠腔工作或柱塞缸工作时 $Q_{max}=Q_{1max}$ ；当气缸有杆腔工作时 $Q_{max}=Q_{2max}$
$P_a$ ：表压力， $Mpa$
$Q_{1max}$ ：缸前进时（杆伸出）无杆腔（包括柱塞缸）自由空气最大消耗量， $m^3/s$
$Q_{2max}$ ：缸后退时（杆缩回）有杆腔自由空气最大消耗量， $m^3/s$
$D$ ：气缸内径（柱塞缸的柱塞内径）， $m$
$d$ ：活塞杆直径， $m$
$V_{max}$ ：气缸运动时最大速度， $m/s$

到这里我们发现（7）和最开始的（1）已经有点相似了，但还是有点区别。原因在于单位不一样，我们将（7）和（8）的单位换算成与（1）一样的单位可以得到：
$Q_{1max}=0.0466(0.101+P_a)D^{2}V_{max}\tag{9}$
$Q_{2max}=0.0466(0.101+P_a)(D-d)^{2}V_{max}\tag{10}$
$Q_{max}$ :气缸最大耗气量， $L/min$ ；当是双作用气缸或单作用气缸无杠腔工作或柱塞缸工作时 $Q_{max}=Q_{1max}$ ；当气缸有杆腔工作时 $Q_{max}=Q_{2max}$
$P_a$ ：表压力， $Mpa$
$Q_{1max}$ ：缸前进时（杆伸出）无杆腔（包括柱塞缸）自由空气最大消耗量， $L/min$
$Q_{2max}$ ：缸后退时（杆缩回）有杆腔自由空气最大消耗量， $L/min$
$D$ ：气缸内径（柱塞缸的柱塞内径）， $cm$
$d$ ：活塞杆直径， $cm$
$V_{max}$ ：气缸运动时最大速度， $mm/s$

至此，（9）和（10）就是我们得出的最后公式。我们将这两个公式与SMC给出的（1）公式比较发现：

（9）和（1）的常数部分还是有些区别，造成这种区别的原因是ANR条件下标准大气压的取值不同造成的。SMC是按照0.102 $Mpa$ 进行计算的，我则是按照0.101 $Mpa$ 计算的。我是按照标准大气压四舍五入的到0.101 $Mpa$ ，SMC给出的公式可能是进位取了偏大的值。这两个值本身很接近不必纠结，都可以用。
从机械设计手册上的公式一步步可以推到（9）和（10）两个公式，但是SMC只给了一个公式。SMC给的公式或者说（9）式适用于单杆双作用气缸、进气腔在无杆侧的单杆单作用气缸、柱塞气缸，（10）式适用于其它普通直线运动气缸，例如双杆的气缸或者进气腔在有杆侧的单作用气缸。

以上（9）和（10）只适用于直线运动的普通气缸，对于特殊气缸而言，只要掌握计算的原理最也能得出最大耗气量，但是需要具体分析，可能需要用到微积分知识，就不在这里继续讨论了。

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