判别式的概念及算例

1. 判别式的概念

多项式的判别式是为了考虑多项式是否有重跟而引入的工具, 在高等代数引入这个概念是有许多东西都没有交代清楚,本文将对此进行整理.

**定义 1 **: 设 $\mathbb{F}$ 为域, $\mathbb{F}[X]$ 为域 $\mathbb{F}$ 上的多项式环, 对于环 $\mathbb{F}[X]$ 任意的多项式
$f(X)=a_{n}X^n+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{1}X+a_0,a_{n}\neq 0,$
我们称
$\Delta f(X)=a_{n}^{2n-2}\prod_{1\leq i< j\leq n}(\alpha_{i}-\alpha_{i})^2$
为多项式 $f(X)$ 的判别式, 其中 $\alpha_{i} ,i=1,2,\dots,n ,$ 为 $f(X)$ 在其分裂域上的零点.

注:

只要判别式在定义中有 $a_{n}^{2n-2}$ 这个常数只是技术上的处理,计算判别式有效的方法还是通过结式来计算,当然在使用结式来计算式, 判别式的计算立刻就可以推广到环上.
对于任意的域 $\mathbb{F}$ , 其上的 $n$ 次多项式 $f(X)=a_{n}X^n+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{1}X+a_0,a_{n}\neq 0$ 在其上分裂域上恰好只要 $n$ 个零点(重数计算在内).

2. 多项式的结式

定义 2: 设
$f(x)=a_{m}X^{m}+a_{m-1}X^{m-1}+a_{m-2}X^{m-2}+\cdots +a_{1}X+a_0, \\g(x)=b_{n}X^{m}+b_{n-1}X^{n-1}+b_{n-2}X^{n-2}+\cdots +b_{1}X+b_0$
为多项式环 $\mathbb{F}[X]$ 上的多项式,我们称行列式
$R(f(X),g(X))=\left| \begin{array}{ccccccccc} a_m & a_{m-1} & a_{m-2} & \cdots & a_0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_{m} & a_{m-1} & \cdots & a_1 & a_0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & a_{m} & \cdots & a_2 & a_1 & a_0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \cdots & \vdots & \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & a_m & a_{m-1} & a_{m-2} & \cdots & a_{0} \\ b_n & b_{n-1} & b_{n-2} & \cdots & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & b_{n} & b_{n-1} & \cdots & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \cdots & \vdots & \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & b_{n} & b_{n-1} & \cdots & b_{0} \end{array} \right|$

为多项式 $f(X)$ 与 $g(X)$ 的结式,也称为多项式 $f(X)$ 与 $g(X)$ 的结式 Sylvester 行列式.

当然,下面定理是关于多项式的结式的两个重要结果

定理 1: 设
$f(X)=a_{m}X^{m}+a_{m-1}X^{m-1}+a_{m-2}X^{m-2}+\cdots +a_{1}X+a_0, \\g(X)=b_{n}X^{m}+b_{n-1}X^{n-1}+b_{n-2}X^{n-2}+\cdots +b_{1}X+b_0$
为多项式环 $\mathbb{F}[X]$ 上的多项式, $x_1,x_2,\cdots,x_m$ , $y_1,y_2,\cdots,y_n$ 分别为他们在其分裂域上的零点,则
$R(f(X),g(X))=a_{m}^{n}b_{n}^{m}\prod_{j=1}^{m}\prod_{i=1}^{n}(x_j-y_i)$
定理 2: 设
$f(X)=a_{m}X^{m}+a_{m-1}X^{m-1}+a_{m-2}X^{m-2}+\cdots +a_{1}X+a_0$
为多项式环 $\mathbb{F}[X]$ 上的多项式, 则其判别式为
$\Delta(f(X))=(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}} a_{m}^{-1}R(f(X),f'(X))$

3. 判别式的具体算例

3.1 二次多项式的判别式的计算

对于二次多项式 $f(X)=aX^2+bX+c$ , 下面我们来计算其判别式, 我们假设 $\alpha_1,\alpha_2$ 为其分裂域 $\mathbb{E}$ 上的两个跟,因此在环 $\mathbb{E}[X]$ 上 $f(X)$ 可以分解成
$f(X)=aX^2+bX+c=a(X-\alpha_1)(X-\alpha_2)$
因此我们有
$aX^2+bX+c=a(X-\alpha_1)(X-\alpha_2)=aX^2-a(\alpha_1+\alpha_2)X+a\alpha_1\alpha_2$
因此有
$\alpha_1+\alpha_2=-\frac{b}{a}\\ \alpha_1 \alpha_2=-\frac{b}{a}$
从而
$\Delta f(X)=a^{2\times 2-2}\prod_{1\leq i< j\leq 2}(\alpha_{i}-\alpha_{i})^2 \\ =a^2 (\alpha_1 + \alpha_2)^2-4\alpha_1 \alpha_2 \\ =b^2-4ac$
也就是
$\Delta (aX^2+bX+c)=b^2-4ac.$
下面我们具体通过例子来考察这个判别式的意义,我们考虑二元域 $\mathbb{F}_{2}=\{\bar{0},\bar{1}\}$ , 对于其上的二次多项式为
$f(X)=aX^2+bX+c \in \mathbb{F}_{2}[X]$
只有如下 $4$ 种可能.

$f_{1}(X)=\bar{1}X^2$
$f_{2}(X)=\bar{1}X^2+\bar{1}X+\bar{1}$
$f_{3}(X)=\bar{1}X^2+\bar{1}$
$f_{4}(X)=\bar{1}X^2+ \bar{1}X$

需要注意如下事实

$f_{1}(X)$ 在 $\mathbb{F}_{2}$ 有两个相等的零点 $\bar{0}$ . 其判别式为
$\Delta f_{1}(X)=\bar{0}^2-4\bar{1}\bar{0}=\bar{0}.$
$f_{2}(X)$ 在 $\mathbb{F}_{2}$ 上没有零点 .
$\Delta f_{2}(X) =\bar{0}^2-4\bar{1}\bar{1}=\bar{0}.$
$f_{3}(X)$ 在 $\mathbb{F}_{2}$ 有两个相等的零点 $\bar{1}$ ,
$\Delta f_{3}(X)=\bar{1}^2-4\bar{1}\bar{1}=\bar{1}.$
并且有如下的因式分解

$f_{3}(X)=(\bar{1}X-\bar{1})(\bar{1}X +\bar{1})=(\bar{1}X-\bar{1})(\bar{1}X-\bar{1})$

$f_{4}(X)$ 的两个零点为 $\bar{0},\bar{1}$ ,
$\Delta f_{4}(X) =\bar{1}^2 -4\bar{1}\bar{0}=\bar{1}.$
并且有如下因式分解
$f_{4}(X) =\bar{1}X(\bar{1}X-\bar{1})=\bar{1}X(\bar{1}X+\bar{1})$

当然我们可以借助结式来进行计算,

于是由
$f'(X)=2aX+b$
于是
$R(f(X),f'(X))=\left| \begin{array}{ccc} a & b & c \\ 2a & b & 0 \\ 0 & 2a & b \\ \end{array}\right|=-a(b^2-4ac)$
因此
$\Delta (aX^2+bX+c)=(-1)^{\frac{2\times 1}{2}}\frac{1}{a}(-a(b^2-4ac))=b^2-4ac.$

3.2 $3$ 次多项式的判别式的计算

对于 $3$ 次多项式的判别式的计算是重要的, 在数论中会涉及到如下形式
$y^2=aX^3+bX^2+cX+d$
的椭圆曲线(当然在定义是需要排除奇异的情形,此时就需要计算 $f(X)=aX^3+bX^2+cX+d$ 的判别式).

直接用定义计算 $f(X)=aX^3+bX^2+cX+d \in \mathbb{F}[X]$ 的判别式的计算量是相当巨大的,但是有了结式这个工具, 计算就变得容易多了.

首先我们注意到
$f'(X)=3aX^2+2bX+c$
因此
$R(f(X),f'(X))=\left|\begin{array}{ccccc} a & b & c & d & 0 \\ 0 & a & b & c & d \\ 3a & 2b & c & 0 & 0 \\ 0 & 3a & 2b & c & 0 \\ 0 & 0 & 3a & 2b & c \end{array}\right|$
经过计算可得
$\Delta (f(X))= - \frac{18a^2d^2+2b^3d+4ac^2-b^2c^2-11abcd}{a^2}$

最后编辑于：2020.05.22 08:31:45

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