线性回归的原理

对于线性回归，其数据集是{(x1,y1),(x2,y2),,,,(xn,yn)},其中，xi=(xi1,,,,xid)， d表示的是数据的维度，n表示样本数。对于线性回归的一般形式为：

对于θ的确定，使得f(x)无限接近y。我们采用均方误差的方式进行衡量f(x)和y的近似程度。即：

image.png

我们的目的就是学习θ，使得上面的损失最小。
那为什么用均方误差进行衡量呢？

极大似然估计（概率角度的诠释）
下面用极大似然估计，来解释为什么要用均方误差作为性能度量。

先讲一下什么是极大似然估计
极大似然估计，通俗理解来说，利用已知的样本结果信息，反过来猜测最有可能(最大概率)导致样本出现该结果的模型参数值。
也就是说在提供了一种给定观察数据来评估模型参数的方法。已知模型，确定参数。

我们把目标值和变量写成如下等式：

image.png

image.png

所以带入上面的公式

image.png

因此对于所有样本，我们为了使得概率p最大化，因此有了如下：

image.png

线性回归损失函数、代价函数】目标函数

• 损失函数(Loss Function)：
  损失函数度量的是样本预测错误的程度(对于单个样本)。损失函数越小，拟合的程度越好，模型也就越好。

常用损失函数

1. 0-1损失函数、
   0-1 loss 是最原始的loss，它是一种较为简单的损失函数，如果预测值与目标值不相等，那么为1，否则为0，即：

   
   

0-1损失可用于分类问题，但是由于该函数是非凸的，在最优化过程中求解不方便，有阶跃，不连续。0-1 loss无法对x进行求导，在依赖于反向传播的深度学习任务中，无法被使用，所以使用不多。

2.平方损失函数、
平方损失函数标准形式如下：

image.png

特点：
(1)经常应用与回归问题

3.绝对损失函数、
绝对值损失函数是计算预测值与目标值的差的绝对值：

image.png

4.对数损失函数等
log对数损失函数的标准形式如下：

image.png

逻辑回归的损失函数就是log对数损失函数。

5. 5. 指数损失函数（exponential loss）

      
      
      
      

      特点：
      (1)对离群点、噪声非常敏感。经常用在AdaBoost算法中。

6. Hinge 损失函数
   Hinge损失函数标准形式如下：
   

   
   特点：
   (1)hinge损失函数表示如果被分类正确，损失为0，否则损失就为1-yf(x)
   SVM就是使用这个损失函数。

7.交叉熵损失函数 (Cross-entropy loss function)
交叉熵损失函数的标准形式如下:

本质上也是一种对数似然函数，可用于二分类和多分类任务中。

二分类问题中的loss函数（输入数据是softmax或者sigmoid函数的输出）：

• 代价函数(cost Function):
  代价函数是度量全部样本的平均误差。
  
  
  多分类问题中的loss函数（输入数据是softmax或者sigmoid函数的输出）：
  

当使用sigmoid作为激活函数的时候，常用交叉熵损失函数而不用均方误差损失函数，因为它可以完美解决平方损失函数权重更新过慢的问题，具有“误差大的时候，权重更新快；误差小的时候，权重更新慢”的良好性质.

常用的代价函数

1. 均方误差、

2.均方根误差、

3.平均绝对误差

• 目标函数(Object Function)：代价函数和正则化函数，最终要优化的函数。

线性回归的优化方法

1. 梯度下降：
   初始化参数θ 迭代使得J(θ)最小化：
   
   
   即：
   
   注：下标j表示第j个参数，上标i表示第i个数据点。

将所有的参数以向量形式表示，可得：

由于这个方法中，参数在每个数据点负梯度方面进行了移动，因此称为批梯度下降法对应的，我们可以每一次让参数只针对一个数据点进行移动，即：
每次只用一个样本的梯度进行更新，不是用所有样本的梯度进行更新，因此也叫随即梯度下降法。

随机梯度下降法的好处是，当数据点很多时，运行效率更高；

缺点是，因为每次只针对一个样本更新参数，未必找到最快路径达到最优值，甚至有时候会出现参数在最小值附近徘徊而不是立即收敛。但当数据量很大的时候，随机梯度下降法经常优于批梯度下降法。

当J为凸函数时，梯度下降法相当于让参数θ不断向J的最小值位置移动

梯度下降法的缺陷：如果函数为非凸函数，有可能找到的并非全局最优值，而是局部最优值。

2. 最小二乘法矩阵求解：
   令
   
   对于x(i)
   
   hθ(x)可以得到：

令偏导数等于零，由于最后一项和θ无关，偏导数为0。

重复迭代，可以让逼近取到 𝑓(𝜃) 的最小值
当我们对损失函数 𝑙(𝜃) 进行优化的时候，实际上是想要取到 𝑙′(𝜃) 的最小值，因此迭代公式为：
𝜃:=𝜃−𝑙′(𝜃)𝑙″(𝜃)

其中，是对的偏导数，是的海森矩阵，

4、拟牛顿法
拟牛顿法的思路是用一个矩阵替代计算复杂的海森矩阵H，因此要找到符合H性质的矩阵。

要求得海森矩阵符合的条件，同样对泰勒公式求导

令 𝑥=𝑥1 ，即迭代后的值，代入可得：
更一般的，


𝑥𝑘 为第k个迭代值

即找到矩阵G，使得它符合上式。 常用的拟牛顿法的算法包括DFP，BFGS等，作为选学内容，有兴趣者可自行查询材料学习。

线性回归的评价指标

R2也叫拟合优度，越接近1，表示可解释力度越大，模型拟合的效果越好。

• R2_score = 1，样本中预测值和真实值完全相等，没有任何误差，表示回归分析中自变量对因变量的解释越好。

• R2_score = 0。此时分子等于分母，样本的每项预测值都等于均值。

代码展示

生成数据：

 #生成数据
import numpy as np
#生成随机数
np.random.seed(1234)
x = np.random.rand(500,3)
#构建映射关系，模拟真实的数据待预测值,映射关系为y = 4.2 + 5.7*x1 + 10.8*x2，可自行设置值进行尝试
y = x.dot(np.array([4.2,5.7,10.8]))

先尝试调用sklearn的线性回归模型训练数据：

import numpy as np
from sklearn.linear_model import LinearRegression
import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline
 
lr = LinearRegression(fit_intercept=True) 
lr.fit(x,y)
print("估计的参数值为：%s" %(lr.coef_)) 
print('R2:%s' %(lr.score(x,y))) 
x_test = np.array([2,4,5]).reshape(1,-1)
y_hat = lr.predict(x_test)
print("预测值为: %s" %(y_hat))

估计的参数值为：[ 4.2 5.7 10.8]
R2:1.0
预测值为: [85.2]

最小二乘法的矩阵求解

class LR_LS():
    def __init__(self):
        self.w = None      
    def fit(self, X, y):
        # 最小二乘法矩阵求解
       
        self.w = np.linalg.inv(X.T.dot(X)).dot(X.T).dot(y)
        
        
    def predict(self, X):
        y_pred = X.dot(self.w)
        
        return y_pred

if __name__ == "__main__":
    lr_ls = LR_LS()
    lr_ls.fit(x,y)
    print("估计的参数值：%s" %(lr_ls.w))
    x_test = np.array([2,4,5]).reshape(1,-1)
    print("预测值为: %s" %(lr_ls.predict(x_test)))

梯度下降法:

class LR_GD():
    def __init__(self):
        self.w = None     
    def fit(self,X,y,alpha=0.02,loss = 1e-10): # 设定步长为0.002,判断是否收敛的条件为1e-10
        y = y.reshape(-1,1) #重塑y值的维度以便矩阵运算
        [m,d] = np.shape(X) #自变量的维度
        self.w = np.zeros((d)) #将参数的初始值定为0
        tol = 1e5
        #============================= show me your code =======================
        while tol > loss:
            h_f = X.dot(self.w).reshape(-1,1) 
            theta = self.w + alpha*np.mean(X*(y - h_f),axis=0) #计算迭代的参数值
            tol = np.sum(np.abs(theta - self.w))
            self.w = theta
        #============================= show me your code =======================
    def predict(self, X):
        # 用已经拟合的参数值预测新自变量
        y_pred = X.dot(self.w)
        return y_pred  

if __name__ == "__main__":
    lr_gd = LR_GD()
    lr_gd.fit(x,y)
    print("估计的参数值为：%s" %(lr_gd.w))
    x_test = np.array([2,4,5]).reshape(1,-1)
    print("预测值为：%s" %(lr_gd.predict(x_test)))

思考

1. 思考题：既然代价函数已经可以度量样本集的平均误差，为什么还要设定目标函数？

当模型复杂度增加时，有可能对训练集可以模拟的很好，但是预测测试集的效果不好，出现过拟合现象，这就出现了所谓的“结构化风险”。结构风险最小化即为了防止过拟合而提出来的策略

2. 问题：请用泰勒展开法推导牛顿法公式

将 𝑓(𝑥) 用泰勒公式展开到第二阶，

对上式求导，并令导数等于0，求得x值

可以求得，

牛顿法的收敛速度非常快，但海森矩阵的计算较为复杂，尤其当参数的维度很多时，会耗费大量计算成本。我们可以用其他矩阵替代海森矩阵，用拟牛顿法进行估计，