本文主要用于理解正则化的原理，并且重点比较了L1与L2这两种正则化方法的区别。
基本目录如下：
正则化的原理
1.1 什么是正则化
1.2 常用的正则化方法
1.3 正则化的另一种解释L1与L2正则化的区别
2.1 解空间形状不同
2.2 先验假设不同
2.3 适用场景不同
------------------第一菇 - 正则化的原理------------------
1.1 什么是正则化
在机器学习领域，模型的优化绝对是一个重头戏。刚接触这个领域的同学，可能会沉迷于选择更加复杂或是更加fancy的模型去解决一些问题，反而忽略了对简单模型的优化本质（更别提复杂模型了）的理解，本文就回归到最基础的地方，以逻辑回归作为示例，带着大家来深入理解其中一种优化的方法（也就是本文的主角）- 正则化。
熟悉逻辑回归的同学，应该不难写出其目标函数（如下），
也就是说，我们要去优化的参数是，从而使得整个目标函数最小。这个时候，大家别急着去求解，停下来，想一想，参数
在这个目标函数中有什么特殊的地方。比如，我抛出一个问题，当给定的数据是线性可分的时候，逻辑回归的参数
会趋向于无穷大吗？或者换一种表达方式（如下图），对于两个类，我现在有ABC三条线可供选择，那逻辑回归更倾向于训练出的模型是哪个？
其实上面这个问题也很简单，我们还是得从逻辑回归的本质出发去理解。我们都知道，
大家有木有想过，当参数趋向于正无穷的时候，上式会发生什么？没错，上式会趋向于1！这是我们想得到的么？当然！因为，正样本的概率无限接近1，那意味着正样本几乎不会增大我们上面提到的目标函数，反之对于负样本，对于
趋向于无穷大的情况，概率接近0，也正是我们期望得到的。这也就是说，假设给定的数据是线性可分的，逻辑回归的参数
会趋向于无穷大（上述思考题答案就是B）！但这个无穷大真的是我们所期望的吗？显然不是，上面的A和C其实都是更加理想的分割线，因此，这种情况我们称之为对模型的过度训练，也就是过拟合了。而本文要介绍的正则化方法，正是为了解决这种参数过大的问题。
还是针对逻辑回归，此时，我们在原有的目标函数上加上正则项（范数），如下，
这个式子，就起到了控制参数的作用，这个想必大家应该都能瞬间领悟到吧？如果
过大的话，后面这项正则项（
）就会变得很大（而这与我们最小化目标函数的目标不符），其中
是超参数，当
越大，参数
就会相应取值更小，当
越小，参数
就会相应取值更大。至此，为何会有正则化一项，我们算是讲清楚了。
1.2 常用的正则化方法
其实说到正则化方法，我们的本质就是选择一种的范数。比较常见的有
，比较特殊的是nuclear norm（本文不作介绍）
对于范数就是数一下该向量中有多少个非0的个数。
其中对于范数就是，
对于范数就是，
1.3 正则化的另一种解释
事实上，正则化本身的目的想必大家都已经明白了，而再进一步想其实就是限制了参数的取值空间。因此，我们也可以简单理解为，“带正则项”和“带约束条件”（比如不能取过大的值）是等价的。而通过约束参数的取值空间，从而防止过拟合。因此，假设我们为上面的逻辑回归问题加一个参数的约束，比如说的
范数的平方不能大于
，则我们的问题就会转为，
熟悉求解带约束条件的凸优化问题的同学，应该也能很自然的联想到引入拉格朗日乘子的方法，因此我们就能得到，
而满足上式的KKT条件，其实就是上面提到的参数带
正则项的优化问题的最优解的条件（梯度为0，感兴趣的同学可以自行写一下很容易发现）
------------------第二菇 - L1与L2正则化的区别------------------
L1与L2正则化最大的不同，其实就在于前者更容易产生稀疏解（让很多参数置0），而后者则不会。以下将从多个角度来带领大家理解这个概念。
2.1 解空间形状不同
大多数的教科书或是博客，都会从两者的解空间形状来解释两者的区别，本文也不例外，先从解空间的角度来理解。
如下图所示，
左图是L1正则项约束后的解空间（假设二维空间，简单理解为），右图就是L2正则项约束后的解空间（简单理解为
）。彩色的等高线就是凸优化问题中目标函数的等高线，显然多边形的解空间更容易与等高线在交角处（顶点）碰撞出稀疏解（稀疏可以理解为，并非所有维度的参数均有值，部分参数为0，为0的话就可以理解为该维度的特征没有起到作用），而圆形的解空间，则很难在边角处碰撞，故不易产生稀疏解，更倾向于平滑的解。因此，几何角度的理解，比较直观易懂，本文也不作额外展开。
2.2 先验假设不同
从贝叶斯的角度来理解L1和L2正则的化，其实就跟上面所说的另一个另一种解释一样，我们只是提前为解空间加一个约束条件。而其中L1正则化的方式就是对模型的参数引入了拉普拉斯先验，而L2正则化则相当于对模型引入了高斯先验。本文拿拉普拉斯先验举例。
假设我们的场景还是逻辑回归，且该模型的参数满足拉普拉斯先验，则我们可以得到，
其中，就是该分布的参数。则我们可以写出，
则根据MAP的思想，我们可以得到，
则根据上面KKT条件讲的，需要求解上式的梯度，前半部分不变，后半部分我们可以写成，
大家有木有发现，其实这就是我们加的L1正则，同理运用高斯分布，我们可以推导出L2正则（有个二次项）。
理解到了这一层面，想必大家也对L1L2的先验有了比较深刻的理解，那其实我们来看一下俩个分布曲线图，也能大概推测出俩者的解分布。
比如，对于高斯分布曲线，
大家可以看到，高斯分布在极值点（0点）处是平滑的，因此，在极值点附近取不同值点可能性是接近点，因为，L2正则只会让参数更接近0但不会取值为0。
而对于拉普拉斯分布曲线，
大家可以看到，该分布在极值点（0点）处是一个尖峰，故其取值为0的可能性更大。以上就是从L1L2两者的先验假设不同来理解其解的不同。
2.3 适用场景不同
至此，想必大家对L1L2正则的理解已经很深刻了，但到真实的运用场景时，我们又该如何抉择呢？其实也很简单，从上面L1L2的区别，大家也应该知道，L1容易产生稀疏解，而L2则不会。在一般情况下（经验而论）我们一般采取L2正则会更多一一些（更易让参数值约束在小空间范围），但对于需要对特征进行筛选的场景，那我们可以选择L1正则，通过参数的值来确定哪些特征是有意义被留下来的。有些应用场景，也会把L1和L2联合起来使用，本文就不作展开来，有兴趣同学可以自行了解。
简单总结一下本文，先是讲述了正则化的一些本质理解，并且通过提问的方式引发读者对正则化的进一步思考。接着也附上了两种正则方式的比较，并给出了多种角度的理解。希望大家读完本文后对机器学习中的正则化这一块有全新的认识。有说的不对的地方也请大家指出，多多交流，大家一起进步～😁
