1.补码的由来

因为计算机是由其电路的接通与关闭来控制的，也只能用0和1来分别表示开和关。所有人们设计出了二进制，顾名思义，逢二进一。

但当人们想表示负数的时候，有人提出，其数字的机器码前面多用一位来标记符号，0代表正数，1代表负数，这样对人们很友好。

但新的问题又出现了，比如当计算机求两个数的加减法运算时，两个正数相加可以计算，但当两个正数相减时，计算机却不那么地好计算了，为什么？因为两个数相减时，还的比较绝对值的大小，然后大数减去小数，最后计算出结果后，计算机还的给结果一个符号，是正的还是负的？这时，它就不知道该怎么办了？

2.提出补码的思维过程

后来有人提出这样一个想法。他这个想法我们很好理解，就是通过家里面的圆形钟表得来的。

比如现在5点钟了，他的表钟现在是7点钟，该怎么调？他发现用两种方式都行，第一种是逆时针旋转2格到5点，还有一种是顺时针旋转10格到达5点，由于他一直喜欢顺时针（时间通过秒针、分钟、时针的顺时针旋转而增加），因为一圈刚刚有12格，顺时针旋转过的角度加上逆时针旋转过的角度刚好等于360度，也就是12格，这是不变的。

他想到计算机也可以这样工作，他欣喜若狂，因为减法（逆时针）可以相当于加法了（顺时针），只不过他们的超过了的一圈还是个问题，不过有了这个想法了，就可以先试试，等到具体要解决时再考虑也不迟。

好了，这个想法应该可行，说干就干，开始设计。

他为了表示方便，把顺时针旋转的格数叫做逆时针旋转格数的补数。同理，在计算机中，所有的数字都是0和1，那用0和1表示的数字就叫做机器码，在这里的机器码就叫做补码了。

有了补码，他就能让计算机相减了，哈哈，终于大功告成了。以后再让计算机算诸如：y = 3-5的减法等式，他反手先算-5的补码，相当于y = 3 + [-5]，式中的[-5]就是-5的补码。那[-5]（-5的补码）这个是多少呢？计算机当然不知道了，那的看那个“表盘”有多少格，就比如上面那个例子，表盘12格，“-2”（逆时针旋转2格）的补码是“+10”（顺时针旋转10格）。

他拿十进制类比，0~9，10进制一圈是10格，逢十进一；

拿十六进制的话就是0x0000~0xffff（0～15），十六进制是16格，逢十六进一；

那，二进制的话，就是逢二进一（这是1位的前提）

好了，那现在规定计算机中，用一个字节（8位）来存放数字，那么如果换算成数字，这个“表盘”一圈是多大呢，是2的8次方 = 256格。

那现在，他可以毫不犹豫的说：-5的补码是[-5]，即：

那如果要算：

呢？

他就这样算：

等等，我们晕了，怎么 y = 3-5明明等于-2，他为什么算出的答案等于254？

聪明的你发现了，没错，就是254。-2的补码[-2]就是254，在计算机中，所有计算的数字都是按照补码形式参与运算的，只不过，正数的补码还是它本身罢了。

你恍然大悟，但依然若有所思，

等等，那照他说，计算机计算y = 3-5 是按照：

这个等式计算的话，本来我们就是为了消除减法而提出补码的，怎么计算-5的补码[-5]时候，我们又用了减法 ，那不就是自相矛盾了吗？

能看到这一点，说明你已经理解了99%了，离成功就差一步了，

别慌，你仔细看（256-5）是个什么东西？

3.反码的提出

其实反码是计算补码的一个中间产物，是一个对于我们人来说多余的东西。

它专门为计算机计算补码提出的，我们有异常发达的大脑的人类当然不需要这玩意，为什么？请看下列：

在计算机中：
256表示：
5表示：

记住，我们是用8位存放数字的，怎么256超过9位了，这不行，这好想：“既然计算机不能表示256，那我就让计算机把256减去1后（我们头脑中的思维过程），刚好是255即1 1 1 1 1 1 1 1（8个1），让计算机用这8个1不就可以存储了吗吗？”。

然后就变成了下面这样的了：

然后他拿这8个1减去5的机器码，即：

那计算机计算这个就太容易了。按照我们小学生思维水平，上面减去下面就行了，但计算机发现，这就是一个取反位运算，马上就能计算出这个减法了。

这一思维的灵感是我想了一天后，在晚上爬到床上突然获得的，我一直再想为什么通过反码，然后加1就可以直接得到补码，原理是什么？大致过程是这样的：正好被减数都是1的话，减数加上它自己的每一位对应的取反，刚好对应相加就都是1了，相当于把原来那个数的所有0位置都填充上了1，换个角度说，这个刚好差1就是一圈了，这时，不就刚好相当于表盘逆时针和顺时针旋转格数相加，刚好等于一圈了吗？补码的原理不就是一圈一分为二，互为补数，这样才有了反码的，是不是很给力，请看下图的上下每一位，都有一个1，分别相加后，那不就是全部一圈差1吗

到这一步时，我们就计算出了（256-5）？，聪明的你已经发现了，是（255-5）而不是（256-5），因为刚才计算机不能表示256我们作出的妥协（我们人不需要，因为大脑多大的数字都能想到），现在我们再次把刚才减去的1加上就和原来的式子相等了，即：

到这一步，我们终于让计算机把这个-5的补码[-5]表示出来了（计算出来了），我们不妨回过头来总结一下，哦，我们发现，以后经常操作(256-1)-5这一步，我们给这一步叫做计算机求反码的过程，而计算的结果就叫做反码。

最后，我们发现让这个相反数+1就是我们求得的这个负数的补码。

4.数学结论（敲黑板）

老师说，记住了，求补码就是负数的符号位不变，其余的位数取反，然后加1。

其实，老师得出的结论是根据补码在数学上的定义得出的口诀，就像奇变偶不变，符号看象限一样的口诀。真正的数学公式如下：

如果我们把刚才求反码的过程也加上去，就是这样的：

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