Shortest-Path Algorithms


Bellman-Ford

  • Problem: 求取单源最短路径,可判断有无负环

  • Complexity: O(VE)

  • Algorithm:

bool Bellman-Ford(G,w) {
    // update at most G.V.num times
    for i = 0 : G.V.num {       
        bool update = false;
        for j = 0 : G.E.num -1 {
            e(u,v) = G.E[j];
            if (release(e(u, v))
                update = true;
        }
        if (update == false) 
            return true;    // no need to update again
        if (i == G.V.num && update) 
            return false; // has negative circle
    }
    return false; //won't go here actually
}

Dijkstra

  • Problem: 求取单源最短路径,不能有负边

  • Complexity: varying from O(V*V) to O(Vlog(V) + E)

  • Algorithm :

Using array:

void Dijkstra_naive(G, w) { // Complexity O(V*V) while (true) {
        minV = -1;
        pick[0] = true;
        for (i = 0 : G.V.num - 1) { // to get the nearest vertex
            if (pick[i] == 0 && (minV == -1 || d[i] < d[minV])) {
              minV = i;
            }
        }
        if (minV == -1) return true; // no need to update again
            pick[minV] = true;
            for (i = 0 : G.V.num - 1) {
                release(e(minV, i));
            }
        }
    }
}

Using priority queue:

// totally V poll() and E add(), with complexity O(VlogV + ElogV)
public void Dijkastra_Priority_Queue(Vertex source) {
    source.minDistance = 0.;
    PriorityQueue<Vertex> vertexQueue = new PriorityQueue<>();
    vertexQueue.add(source);

    while (!vertexQueue.isEmpty()) {
        Vertex u = vertexQueue.poll();  //O(log(V))

        // Visit each edge exiting u
        for (Edge e : u.adjacencies) {
            Vertex v = e.target;
            double weight = e.weight;
            double distanceThroughU = u.minDistance + weight;
            if (distanceThroughU < v.minDistance) {
                vertexQueue.remove(v);
                v.minDistance = distanceThroughU;
                v.previous = u;
                vertexQueue.add(v);     //O(log(V))
            }
        }
    }
}

Using Fibonacci heap:

public static void Dijkstra_Fibonacci_Heap(Node source) {
    source.minDistance = 0.;
    FibonacciHeap myHeap = new FibonacciHeap();
    myHeap.insert(source, source.minDistance);

    while (!myHeap.isEmpty()) {
        Node u = myHeap.min(); //O(logV)

        // Visit each edge exiting u
        for (Edge e : u.adjacencies) {
            Node v = e.target;
            double weight = e.weight;
            double distanceThroughU = u.minDistance + weight;
            if (distanceThroughU < v.minDistance) {
                v.minDistance = distanceThroughU;
                myHeap.decreaseKey(v, v.minDistance); //O(1)
                v.previous = u;
            }
        }
    }
}

Aboving two versions from: Stackoverflow

Floyd

  • Problem: 多源无负权最短路径

  • Complexity: O(V^3)

  • Algorithm:

Floyd = function(G,w) {
    for k = 0 : G.V.num - 1
        for i = 0 : G.V.num - 1
            for j = 0 : G.V.num - 1
                    d[i][j] = min(d[i][j], d[i][k] + d[k][j]);
}

SPFA

  • Problem: 单源最短路径,可含有负边

  • Complexity: O(kE) with k << E

  • Algorithm:

Using BFS:

void SPFA_bfs = function (G, s) {
    queue<int> q;
    q.push(s);
    pick[s] = 1;

    // if this while() loop executed too many times
    // then the graph has negative edge
    while (!q.empty) {
        u = q.front();
        q.pop();
        for e(u,v) in G.V[u].edges {
            if(release(e(u, v) && !pick[v]) {
                pick[v] = true;
                q.push(v);
            }
        }
    }
}

Using DFS:

void SPFA_dfs = function (G, u) {
    pick[u] = true; //pick is a global variable
        for (e(u, v) in G.V.[u].edges) {
        if (release(e(u,v)) && !pick[v]) {
            if (SPFA_dfs(v)) return true;   //no need to go on
        }
        else {
            return true;    //no need to go on
        }
    }
    pick[u] = false; // this is important
    return 0;
}

Discuss

Bellman-Ford is naive to checek release each edge for each iteration.

Dijkstra tries to release the edges of the nearest unpicked vertices only. So each time you need to get the nearset candidate. Using minHeap can reduce the complexity of getNearest() to 0(log(V)), but increase the inserting cost to 0(logV) (which is no need for Dijkstra_naive) Using FiboHeap use decreaseKey instead of insert(), with cost O(1) for each decreaseKey

SPFA use queue rather than heap to keep picked vertices. So adding or deleting vertices is simplfied to push() and pop() with complixity o(1). The main idea is that each vertex can be pushed into the queue only once.

Floyd is just dynamic programming


Reference

最短路(SPFA, Dijkstra, Floyd): http://blog.csdn.net/lttree/article/details/27186637
带权重最短路: https://www.renfei.org/blog/weighted-shortest-path.html
Fibonacci Dijkstra:
http://stackoverflow.com/questions/15392289/java-using-a-fibonacci-heap-for-implementing-dijkstras-algorithm
SPFA: http://www.cnblogs.com/scau20110726/archive/2012/11/18/2776124.html

最后编辑于
©著作权归作者所有,转载或内容合作请联系作者
  • 序言:七十年代末,一起剥皮案震惊了整个滨河市,随后出现的几起案子,更是在滨河造成了极大的恐慌,老刑警刘岩,带你破解...
    沈念sama阅读 203,362评论 5 477
  • 序言:滨河连续发生了三起死亡事件,死亡现场离奇诡异,居然都是意外死亡,警方通过查阅死者的电脑和手机,发现死者居然都...
    沈念sama阅读 85,330评论 2 381
  • 文/潘晓璐 我一进店门,熙熙楼的掌柜王于贵愁眉苦脸地迎上来,“玉大人,你说我怎么就摊上这事。” “怎么了?”我有些...
    开封第一讲书人阅读 150,247评论 0 337
  • 文/不坏的土叔 我叫张陵,是天一观的道长。 经常有香客问我,道长,这世上最难降的妖魔是什么? 我笑而不...
    开封第一讲书人阅读 54,560评论 1 273
  • 正文 为了忘掉前任,我火速办了婚礼,结果婚礼上,老公的妹妹穿的比我还像新娘。我一直安慰自己,他们只是感情好,可当我...
    茶点故事阅读 63,580评论 5 365
  • 文/花漫 我一把揭开白布。 她就那样静静地躺着,像睡着了一般。 火红的嫁衣衬着肌肤如雪。 梳的纹丝不乱的头发上,一...
    开封第一讲书人阅读 48,569评论 1 281
  • 那天,我揣着相机与录音,去河边找鬼。 笑死,一个胖子当着我的面吹牛,可吹牛的内容都是我干的。 我是一名探鬼主播,决...
    沈念sama阅读 37,929评论 3 395
  • 文/苍兰香墨 我猛地睁开眼,长吁一口气:“原来是场噩梦啊……” “哼!你这毒妇竟也来了?” 一声冷哼从身侧响起,我...
    开封第一讲书人阅读 36,587评论 0 258
  • 序言:老挝万荣一对情侣失踪,失踪者是张志新(化名)和其女友刘颖,没想到半个月后,有当地人在树林里发现了一具尸体,经...
    沈念sama阅读 40,840评论 1 297
  • 正文 独居荒郊野岭守林人离奇死亡,尸身上长有42处带血的脓包…… 初始之章·张勋 以下内容为张勋视角 年9月15日...
    茶点故事阅读 35,596评论 2 321
  • 正文 我和宋清朗相恋三年,在试婚纱的时候发现自己被绿了。 大学时的朋友给我发了我未婚夫和他白月光在一起吃饭的照片。...
    茶点故事阅读 37,678评论 1 329
  • 序言:一个原本活蹦乱跳的男人离奇死亡,死状恐怖,灵堂内的尸体忽然破棺而出,到底是诈尸还是另有隐情,我是刑警宁泽,带...
    沈念sama阅读 33,366评论 4 318
  • 正文 年R本政府宣布,位于F岛的核电站,受9级特大地震影响,放射性物质发生泄漏。R本人自食恶果不足惜,却给世界环境...
    茶点故事阅读 38,945评论 3 307
  • 文/蒙蒙 一、第九天 我趴在偏房一处隐蔽的房顶上张望。 院中可真热闹,春花似锦、人声如沸。这庄子的主人今日做“春日...
    开封第一讲书人阅读 29,929评论 0 19
  • 文/苍兰香墨 我抬头看了看天上的太阳。三九已至,却和暖如春,着一层夹袄步出监牢的瞬间,已是汗流浃背。 一阵脚步声响...
    开封第一讲书人阅读 31,165评论 1 259
  • 我被黑心中介骗来泰国打工, 没想到刚下飞机就差点儿被人妖公主榨干…… 1. 我叫王不留,地道东北人。 一个月前我还...
    沈念sama阅读 43,271评论 2 349
  • 正文 我出身青楼,却偏偏与公主长得像,于是被迫代替她去往敌国和亲。 传闻我的和亲对象是个残疾皇子,可洞房花烛夜当晚...
    茶点故事阅读 42,403评论 2 342

推荐阅读更多精彩内容