2019-06-06

偏移四相移相键控0QPSK
基带采用矩形脉冲的QPSK的恒定包络，但功率谱密度是 $sinc^2$ 形状，旁瓣较大
采用升余弦滚降的QPSK的频谱能满足限带要求，但包络起伏过大，只能采用功率效率低，价格高的线性功效。
限带的QPSK包络
- 限带QPSK信号： $s(t) = a_{I}(t)\cos2\pi f_c t-a_{Q}(t)\sin2\pi f_c t$ ，其中的 $a_I(t)$ 和 $a_Q(t)$ 是 $I$ 路和 $Q$ 路的双极性PAM信号
- QPSK信号的包络： $\sqrt{a_{I}^2(t)+a_{Q}^2(t)}$ ， $a_{I},a_{Q}(t)$ 的零点位置相同，导致 $A(t)$ 的最小值是0，包络起伏大
OQPSK：将路和路信号在时间上错开时间，使路和路的零点错开，包络变成
- $a_n$ 序列经过串并转换， $I$ 路 $a_{2n}$ 通过成型滤波器与 $\cos (\omega_c t)$ 相乘， $Q$ 路延迟 $T_b,a_{2n+1}$ 通过成型滤波器与 $-\sin(\omega_c t)$ 相乘之后相加
OQPSK的功率谱密度，误比特率与QPSK相同， $P_b = \frac{1}{2}erfc(\sqrt{\frac{E_b}{N_0}})$
OQPSK是QPSK的改进，在限带场景下能减小信号包络的起伏，从而可以使用功率效率高，价格便宜的非线性功率放大器。
信号空间
线性内积向量空间
- 空间指集合，向量空间也叫矢量空间，是向量的集合，常常将向量说成点，于是空间就是点的集合。
- 如果空间中的向量对线性运算满足封闭性，则称线性空间。
- 如果线性空间定义有内积，则称线性内积空间
  - 如果某个操作能将两个向量映射为一个标量，并满足内积公理，就称为内积
实向量空间
- N维正交矢量空间 $R^N$ 就是线性内积空间的一种
- 两个N维矢量 $v_1 = (v_{11},v_{12},...,v_{1N})、v_2 = (v_{21},v_{22},...,v_{2N})$ 的内积是 $\langle v_1,v_2\rangle = v_1\cdot v_2 = \sum_{i = 1}^N v_{1i}v_{2i}$
- 向量 $v = (v_1,v_2,...,v_n)$ 的范数或长度是： $\parallel v \parallel = \sqrt{\sum_{i = 1}^N v_i^2}$
- 两个矢量 $v_1,v_2$ 的欧式距离是 $\parallel v_1-v_2 \parallel = \sqrt{\sum_{i = 1}^N(v_{1i}-v_{2i})^2}$
归一化正交基
- 内积为零称为正交： $\langle v_1,v_2\rangle = 0$
- N个两两正交、长度为1的向量 $e_1,e_2,...,e_N$ 构成了N维空间 $R^N$ 的完备归一化正交基 $\langle e_i,e_j\rangle = \begin{cases}0,i \neq j \\ 1 ,i = j\end{cases}$
- $e_1,e_2,..,e_N$ 形成了一个完备的坐标系统，使得 $R^N$ 中的任意向量 $v = (v_1,v_2,...,v_n)$ 都可表示为在N个坐标轴上的分矢量的和
信号空间
- 是一种线性内积向量空间，它是波形（实能量信号）的集合： $\Omega = \{x_1(t),x_2(t),...\}$
- 信号空间中的波形对线性运算满足封闭性：比如若 $x_1\in \Omega,x_2(t)\in \Omega$ ，则 $2x_1(t)-3x_2(t)\in \Omega$
- 两个实信号的内积是 $\langle x_1(t),x_2(t)\rangle = \int_{-\infty}^{\infty}x_1(t)x_2(t)dt$
- 与平方范数、平方长度对应的概念是能量： $E_x = \int_{-\infty}^{\infty}x_1(t)x_2(t)dt$
- 两个信号的平方欧式距离是差的能量 $d_{12}^2 = \int_{-\infty}^{\infty}[x_1(t)-x_2(t)]^2dt$
归一化正交基
- 内积为零称为正交： $\int_{-\infty}^{\infty}x_1(t)x_2(t)dt = 0$
- N个两两正交、能量为1的实信号 $f_1(t),f_2(t),..,f_N(t)$ 构成了一组归一化正交基 $\int_{-\infty}^{\infty}f_i(t)f_j(t)dt = \begin{cases}0,i\neq j\\1,i = j\end{cases}$
- $f_1(t),f_2(t),...,f_N(t)$ 形成了一个坐标系统，信号 $s(t)$ 在第 $i$ 个坐标轴 $f_i(t)$ 上的投影是 $s_i = \int_{-\infty}^{\infty}s(t)f_i(t)dt$
- 令集合 $\Omega$ 表示 $f_1(t),f_2(t),...,f_N(t)$ 的所有线性组合，也称 $\Omega$ 为 $f_1(t),f_2(t),..,f_N(t)$ 张成的信号空间，记为 $\Omega = span\{ f_1(t),f_2(t),...,f_N(t)\}$
- 对于任意的 $x(t)\in \Omega$ 有 $x(t) = \sum_{i}^Nx_i f_i(t),x_i = \int_{-\infty}^{\infty}x(t)f_i(t)dt$
- 在信号空间 $\Omega$ 中，信号 $x(t)$ 的坐标是 $x = (x_1,x_2,...,x_N)$
- $x(t)\in \Omega$ 的能量是 $E_x = \int_{-\infty}^{\infty}x^2(t)dt = \int_{-\infty}^{\infty}[\sum_{i = 1}^Nx_if_i(t)]^2dt = \int_{-\infty}^{\infty}\sum_{i = 1}^Nx_i f_i(t)\sum_{m = 1}^Nx_m f_m(t)dt = \int_{-\infty}^{\infty}\sum_{i = 1}^N\sum_{m = 1}^Nx_mx_if_i(t)f_m(t)dt = \sum_{i = 1}^Nx_i^2 = \parallel x \parallel^2$
- 给定一个不一定属于的信号,考虑中谁与最近
  - $s(t)$ 与任意某个 $x(t)\in \Omega$ 的误差是 $e(t) = s(t)-x(t)$
  - 两个信号之间的误差的能量是它们的平方欧式距离
    - $E_e = d_{sx}^2 = \int_{-\infty}^{\infty}[s(t)-x(t)]^2dt = E_s-\sum_{i = 1}^N s_i^2-\sum_{m = 1}^N(x_m-s_m)^2$
    - 在 $x_m = s_m$ 时最小，即 $\Omega$ 中离 $s(t)$ 最近的信号是 $\hat s(t) = \sum_{i = 1}^Ns_if_i(t)$
    - 若 $s(t)$ 本身就是 $\Omega$ 中的一个，则 $s(t) = \sum_{i = 1}^Ns_if_i(t)$
    - 此时称 $f_1(t),f_2(t),...,f_N(t)$ 是一组对 $s(t)$ 完备的归一化正交基函数，此时任意 $s(t)\in \Omega$ 可以映射为一个实数向量： $s = (s_1,s_2,...,s_N)$ ,它是 $s(t)$ 在N维信号空间 $\Omega$ 中的坐标，其含义是 $s(t)$ 可分解成基函数之和 $s(t) = \sum_{i = 1}^Ns_if_i(t)$
    - 用完备归一化正交基 $f_1(t),f_2(t),...,f_N(t)$ 来描述M个信号 $s_1(t),s_2(t),...,s_M(t):s_i(t) = \sum_{n = 1}^Ns_{in}f_n(t) ,s_{in} = \int_{-\infty}^{\infty}s_i(t)f_n(t)dt$
    - 第 $i$ 个波形 $s_i(t)$ 映射为 $N$ 维空间中的一个点。波形 $s_i(t)$ 的实向量表示为 $s_i = (s_{i1},s_{i2},...,s_{iN})，s_i(t)$ 在空间中的坐标向量
    - 波形 $s_i(t)$ 的能量是实数向量 $s_i$ 的平方范数 $E_i = \int_{-\infty}^{\infty}s_i^2(t)dt = \sum_{m = 1}^Ns_m^2 =\parallel s_i \parallel^2$
    - 两个波形的内积等于其坐标向量的内积： $\int_{-\infty}^{\infty}s_m(t)s_k(t)dt = \sum_{i = 1}^Ns_{mi}s_{ki} =\langle s_m,s_k\rangle$
    - 两个波形的相关系数等于其坐标向量的相关系数：
      - 介于-1与1之间
    - 两个波形的欧式距离等于其坐标向量的欧式距离
      - $d_{mk} = \sqrt{\sum_{i = 1}^N(s_{mi}-s_{ki})^2} = \parallel s_m-s_k \parallel$
      - 等能量( $E_m = E_k = E$ )时， $d_{mk} = \sqrt{2E(1-2\rho_{mk})}$
      - 相关系数越小(越负),波形之间的距离越大
M进制通信
- $M = 2^K$ 进制通信系统事先设计了 $M$ 个不同的波形 $s_1(t),s_2(t),...,s_M(t)$ ,发送端每次用 $K$ 个比特从这些波形中选一个发送.收端用受到噪音污染的信号 $r(t)$ 来辨发送的是哪一个。
星座图
- 在合适的完备归一化正交基下，M个波形 $s_1(t),s_2(t),...,s_M(t)$ 是某个N维信号空间中的M个点 $s_1,s_2,...,s_N$ .称这些点的集合为星座图。
- M个能量有限的信号波形映射N维信号空间中的M个点
波形是信号空间中的一个点,可用其坐标向量来描述
- 波形的能量等于坐标向量的平方范数

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2019-06-06

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