线性代数基础

线性代数

向量

$\vec{\text x} = \left[ \begin{matrix} x_1\\ x_2\\ \cdots \\ x_n\\ \end{matrix} \right]$

1.线性相关与线性无关

向量组线性相关

存在一组不全为 $0$ 的实数 $a_1, a_2, \cdots, a_n$ ，使得：

$\sum_{i = 1} ^{n} a_i \vec{\text v_i} = \vec{\text 0}$ 即至少有一个向量可以用其余向量线性表示。

向量组线性无关

当且仅当 $a_i = 0, i=1, 2, \cdots, n$ 时，才有：

$\sum_{i = 1} ^{n} a_i\vec{\text v_i} = \vec{\text 0}$ 即存在一个向量 $\vec{\beta}$ ，其不能等于向量组内任意向量，可由向量组内向量进行唯一的线性表示。

2. 向量空间的维数

一个向量空间所包含的最大线性无关向量的数据，称为向量空间的维数。

3. 向量的点积（内积）

$\vec{\text{u}}\cdot \vec{\text{v}} = u_{1}v_{1} + u_{2}v_{2} + \cdots + u_{n}x_{n} = |\vec{\text{u}}||\vec{\text{v}}| cos(\vec{\text{u}}, \vec{\text{v}} ) = \vec{\text{u}}^\text T\vec{\text{v}} = \vec{\text{u}}^\text T\vec{\text{v}}$

import numpy as np

u, v = np.array([1, 2, 3]), np.array([4, 5, 6])

uv = u.dot(v)
uv = np.dot(u, v)
uv

4. 三维向量的叉积（外积）

$\vec{\text{w}} = \vec{\text{u}} \times \vec{\text{v}} = \left| \begin{matrix} \vec{\text{i}} & \vec{\text{j}} & \vec{\text{k}} \\ u_x & u_y & u_z \\ v_x & v_y & v_z \end{matrix} \right| \\ = (u_yv_z - u_zv_y)\vec{\text{i}} - (u_xv_z - u_zv_x)\vec{\text{j}} + (u_xv_y - u_yv_x)\vec{\text{k}}$

其中， $\vec{\text{i}}, \vec{\text{j}}, \vec{\text{j}}$ 为 $x, y, z$ 轴的单位向量。

$\vec{\text{u}} = u_x\vec{\text{i}} + u_y\vec{\text{j}} + u_x\vec{\text{k}}, \\ \vec{\text{v}} = v_x\vec{\text{i}} + v_y\vec{\text{j}} + v_z\vec{\text{k}}$

$\vec{\text{u}}$ 和 $\vec{\text{v}}$ 的叉积垂直于 $\vec{\text{u}}, \vec{\text{v}}$ 构成的平面，其方向符合右手规则；
叉积的模等于 $\vec{\text{u}}, \vec{\text{v}}$ 构成的平面四边形的面积；
$\vec{\text{u}} \times \vec{\text{v}} = - \vec{\text{v}} \times \vec{\text{u}}$ ；
$\vec{\text{u}} \times (\vec{\text{v}} \times \vec{\text{w}}) = (\vec{\text{u}} \cdot \vec{\text{w}})\vec{\text{v}} - (\vec{\text{u}} \cdot \vec{\text{v}})\vec{\text{w}}$

import numpy as np

u, v = np.array([1, 2, 3]), np.array([4, 5, 6])

uv = np.cross(u, v).sum()
uv

5. 三维向量的混合积

$\left[ \vec{\text{u}}\vec{\text v}\vec{\text w} \right] = (\vec{\text u}\times\vec{\text v})\cdot \vec{\text w} = \vec{\text u} \cdot (\vec{\text v} \times \vec{\text w})\\\ = \left| \begin{matrix} u_x & u_y & u_z \\\ v_x & v_y & v_z \\\ w_x & w_y & w_z \end{matrix} \right| = \left| \begin{matrix} u_x & v_x & w_x \\\ u_y & v_y & w_y \\\ u_z & v_z & w_z \end{matrix} \right|$

其物理意义为：以 $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ 为三个棱边所围成平行六面体的体积。当 $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ 构成右手系时，该平行六面体的体积为正号。

6. 三维向量的并矢积

$\vec{\text u}\vec{ \text v} = \left[ \begin{matrix} u_xv_x & u_xv_y & u_xv_z \\ u_yv_x & u_yv_y & u_yv_z \\ u_zv_x & u_zv_y & u_zv_z \\ \end{matrix} \right]$

也记作 $\sideset{\vec{\text u}}{\vec{\text v}}\bigotimes$ 或者 $\vec{\text u}\vec{\text v}^\text T$

import numpy as np

u, v = np.array([1, 2, 3]), np.array([4, 5, 6])

uv = np.outer(u, v)
uv

array([[ 4,  5,  6],
       [ 8, 10, 12],
       [12, 15, 18]])

7. Gram - Schmidt正交化

设 $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_m(m\leq n)$ 是 $R^n$ 中的一个线性无关向量组，若令

$\beta_1 = \alpha_1 \\ \beta_2 = \alpha_2 - \frac{\left\langle \alpha_2, \beta_1\right\rangle}{\left\langle\beta_1, \beta_1\right\rangle}\beta_1 \\ \beta_m = \alpha_m - \frac{\left\langle \alpha_m, \beta_1 \right\rangle}{\left\langle \beta_1, \beta_1 \right\rangle}\beta_1 - \frac{\left\langle \alpha_m, \beta_2 \right\rangle}{\left\langle \beta_2, \beta_2 \right\rangle}\beta_2 - \dots - \frac{\left\langle \alpha_m, \beta_{m-1} \right\rangle}{\left\langle \beta_{m-1}, \beta_{m -1}\right\rangle}\beta_{m-1}$

则 $\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_m$ 就是一个正交向量组，若再令

$e_i = \frac{\beta_i}{|| \beta_i ||}(i = 1, 2, \dots, m)$

就得到一个标准正交向量组 $e_1, e_2, \dots, e_m$ ，且该向量组与 $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_m$ 等价。

import numpy as np

A = np.array([[1,1,6],  ## numpy.linalg 是对列向量进行标准正交化
              [1,2,4],
              [1,3,2]])

q, r = np.linalg.qr(A)
q, r

(array([[-5.77350269e-01,  7.07106781e-01,  4.08248290e-01],
        [-5.77350269e-01,  5.55111512e-17, -8.16496581e-01],
        [-5.77350269e-01, -7.07106781e-01,  4.08248290e-01]]),
 array([[-1.73205081, -3.46410162, -6.92820323],
        [ 0.        , -1.41421356,  2.82842712],
        [ 0.        ,  0.        ,  0.        ]]))

矩阵

$\text{A} = \left[ \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots &\vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mm} \end{matrix} \right]$

1. 矩阵的运算

加法 $\text{A} + \text{B} = \left[ \begin{matrix} a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} & \dots & a_{1n} + b_{1n}\\ a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22} & \dots & a_{2n} + b_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots &\vdots \\ a_{m1} + b_{m1} & a_{m2} + b_{m2} & \cdots & a_{mm} + b_{mm} \end{matrix} \right]$ ， $\text{A}, \text{B}$ 都为 $m\times n$ 矩阵
数乘 $k\text{A} = \left[ \begin{matrix} ka_{11} & ka_{12} & \dots & ka_{1n}\\ ka_{21} & ka_{22} & \dots & ka_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots &\vdots \\ ka_{m1} & ka_{m2} & \cdots & ka_{mm} \end{matrix} \right]$
乘积 $\text{A}\text{B} = \left[ \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots &\vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mm} \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} b_{11} & b_{12} & \dots & b_{1s} \\ b_{21} & b_{22} & \dots & b_{2s} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{n1} & b_{n2} & \dots & b_{ns} \end{matrix} \right] \\ = \left[ \begin{matrix} a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21} + \dots + a_{1n}b_{n1} & a_{11}b_{12} + a_{12}b_{22} + \dots + a_{1n}b_{n2} & \dots & a_{11}b_{1s} + a_{12}b_{2s} + \dots + a_{11}b_{ns} \\ a_{21}b_{11} + a_{22}b_{21} + \dots + a_{2n}b_{n1} & a_{21}b_{12} + a_{22}b_{22} + \dots + a_{2n}b_{n2} & \dots & a_{21}b_{1s} + a_{22}b_{2s} + \dots + a_{21}b_{ns} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1}b_{11} + a_{m2}b_{21} + \dots + a_{mn}b_{n1} & a_{m1}b_{12} + a_{m2}b_{22} + \dots + a_{mn}b_{n2} & \dots & a_{m1}b_{1s} + a_{m2}b_{2s} + \dots + a_{m1}b_{ns} \\ \end{matrix} \right]$
点乘（阿达马积） $\text{A} \cdot \text{B} = \left[ \begin{matrix} a_{11} b_{11} & a_{12} b_{12} & \dots & a_{1n} b_{1n}\\ a_{21} b_{21} & a_{22} b_{22} & \dots & a_{2n} b_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots &\vdots \\ a_{m1} b_{m1} & a_{m2} b_{m2} & \cdots & a_{mm} b_{mm} \end{matrix} \right]$
克罗内克积 $\sideset{\text A}{\text B}\bigotimes =\left[ \begin{matrix} a_{11}\text{B} & a_{12}\text{B} & \dots & a_{1n}\text{B}\\ a_{21}\text{B} & a_{22}\text{B} & \dots & a_{2n}\text{B}\\ \vdots & \vdots & \ddots &\vdots \\ a_{m1}\text{B} & a_{m2}\text{B} & \cdots & a_{mm}\text{B} \end{matrix} \right]$

2. $\text{A}^T、\text{A}^{-1}、\text{A}^*$

$\text{A}^T$ ，转置；
$\text{A}^{-1}$ ，矩阵的逆；
$\text{A}^*$ ，伴随矩阵。

反矩阵

$\text{A}^{-1} = \frac{1}{|\text{A}|}\text{A}^*$
$(\text{A}^{-1})^{-1} = \text{A}$
$(\text{A}\text{B})^{-1} = \text{B}^{-1}\text{A}^{-1}$
$(k\text{A})^{-1} = \frac{1}{k}\text{A}^{-1}$
$(\text{A}^{n})^{-1} = \text{A}^{-n}$
$(\text{A}^{n})^{-1} = (\text{A}^{-1})^{n}$
$\text{A}^{-1}\text{A} = \text{A}\text{A}^{-1} = \text{I}_{n}$

$(\text{A}^T)^T = \text{A}$
$(\text{AB})^T = \text{B}^T\text{A}^T$
$(k\text{A})^T = k\text{A}^T$
$(\text{A} \pm \text{B})^T = \text{A}^T + \text{B}^T$
$(\text{A}^*)^* = |\text{A}|^{n-2}\text{A}(n\geq 3)$
$(\text{A}\text{B})^* = \text{B}^*\text{A}^*$
$(k\text{A})^* = k^{n-1}\text{A}^* (n\geq 2)$
$(\text{A}^{-1})^T = (\text{A}^{T})^{-1}$
$(\text{A}^{-1})^* = (\text{A}\text{A}^*)^{-1}$
$(\text{A}^*)^T = (\text{A}^T)^*$
$\text{A}\text{A}^* = \text{A}^*\text{A} = |\text{A}|\text{E}$
$|\text{A}^*|= |\text{A}|^{n - 1}(n \geq 2)$
$(k\text{A}^*) = k^{n-1}\text{A}^*$
$(\text{A}^*)^* = |\text{A}|^{n-2}\text{A}(n\geq3)$
若矩阵可逆，则 $\text{A}^* = |\text{A}|\text{A}^{-1},(\text{A}^*)^*=\frac{1}{|\text{A}|}\text{A}$
若 $\text{A}$ 为 $n$ 阶方阵，则 $r(\text{A}^*) = \begin{cases} n, & r(\text{A}) = n \\ 1, & r(\text{A}) = n-1 \\ 0, & r(\text{A}) < n-1 \end{cases}$

import numpy as np

A = np.mat(np.random.randint(10, size = (3,3)))
A = np.mat([[-3, 2, -5], [-1, 0, -2], [3, -4, 1]])
print(A)
print(A.T) # 转置
print(A.I) # 逆
print(np.linalg.det(A)) # 行列式
print(np.dot(np.linalg.det(A), A.I)) # 伴随矩阵

[[-3  2 -5]
 [-1  0 -2]
 [ 3 -4  1]]
[[-3 -1  3]
 [ 2  0 -4]
 [-5 -2  1]]
[[ 1.33333333 -3.          0.66666667]
 [ 0.83333333 -2.          0.16666667]
 [-0.66666667  1.         -0.33333333]]
-6.0
[[-8. 18. -4.]
 [-5. 12. -1.]
 [ 4. -6.  2.]]

3. 矩阵的秩

$r(\text{A}) = 行秩 = 列秩$
$r(\text{A}_{m\times n})\leq \min(m, n)$
$\text{A}\neq 0 \Rightarrow r(\text{A}) \geq 1$
$r(\text{A} \pm \text{B}) \leq r(\text{A}) + r(\text{B})$
初等变换不改变矩阵的秩
$r(\text{A}) + r(\text{B}) - n \leq r(\text{A}\text{B}) \leq \min(r(\text{A}, r(\text{B})))$ ，特别当 $\text{A}\text{B}=\text{O}$ ，则： $r(\text{A}) + r(\text{B}) \leq n$
若 $\text{A}^{-1}$ 存在，则 $r(\text{AB})=r(\text{B})$ ；若 $\text{B}^{-1}$ 存在，则 $r(\text{AB}) = r(\text{A})$ ；若 $r(\text{A}_{m\times n}) = n$ ，则 $r(\text{AB})=r(\text{B})$ ；若 $r(\text{A}_{m\times s}) = n$ ，则 $r(\text{AB}) = r(\text{A})$
$r(\text{A}_{m\times s}) = n \Leftrightarrow \text{A}x = 0$ 只有零解

import numpy as np
A = np.array([[1, 1], [2, 2]]) # rank = 1
# A = np.array([[1, 2], [3, 4]]) # rank = 2
A_rank = np.linalg.matrix_rank(A)
A_rank

4. 特征值与特征向量

设 $\text{A}$ 为 $n$ 阶矩阵，若存在常数 $\lambda$ 和 $n$ 维非零向量 $\vec{\text{X}}$ ，使得 $\text{A}\vec{\text{X}} = \lambda \vec{\text{X}}$
设 $\lambda$ 是 $\text{A}$ 的一个特征值，则 $k\text{A}$ 特征值 $k\lambda$ ， $a\text{A}+b\text{E}$ 特征值 $a\lambda + b$ ， $\text{A}^2$ 特征值 $\lambda^2$ ， $\text{A}^m$ 特征值 $\lambda^m$ ， $f(\text{A})$ 特征值 $f(\lambda)$ ， $\text{A}^{T}$ 特征值 $\lambda$ ， $\text{A}^{-1}$ 特征值 $\lambda^{-1}$ ， $\text{A}^{*}$ 特征值 $\frac{|\text{A}|}{\lambda}$
若 $\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$ 为 $\text{A}$ 的 $n$ 个特征值，则 $\sum_{i=1}^n=\lambda_i = \sum_{i = 1}^{n}a_{ii}=|\text{A}|$
设 $\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_s$ 为 $\text{A}$ 的 $s$ 个特征值，对应特征向量为 $\vec{a_1},\vec{a_2},\cdots,\vec{a_s}$ ，若 $\vec{\text{a}} = k_1\vec{a_1} + k_2\vec{a_2} + \cdots + k_s\vec{a_s}$ ，则 $\text{A}^n\vec{\text{a}} = k_1\lambda_1^n\vec{a_1} + k_2\lambda_2^n\vec{a_2} + \cdots + k_s\lambda_s^n\vec{a_s}$

import numpy as np

A = np.mat([[-1, 1, 0], [-4, 3, 0], [1, 0, 2]])
eigenvalue, featurevector = np.linalg.eig(A)
eigenvalue, featurevector

(array([2., 1., 1.]), matrix([[ 0.        ,  0.40824829,  0.40824829],
         [ 0.        ,  0.81649658,  0.81649658],
         [ 1.        , -0.40824829, -0.40824829]]))

5. 相似矩阵

设 $\text{A},\text{B}$ 都是 $n$ 阶矩阵，若存在可逆矩阵 $\text{P}$ ，使 $\text{P}^{-1}\text{AP}=\text{B}$ ，则称 $\text{B}$ 是 $\text{A}$ 的相似矩阵, 并称矩阵 $\text{A}$ 与 $\text{B}$ 相似，记为 $\text{A}\text{~}\text{B}$ 。
对进行运算称为对进行相似变换，称可逆矩阵为相似变换矩阵。

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