今天橄榄树教室的课堂可谓热闹非凡，你争我辩，甚至是面红耳赤，这到底是怎么回事儿？现在把镜头拉回课堂中。
宋老师刚刚把这节课要探索“梯形的面积”的话题说完，凯同学立即脱口而出：梯形面积我会求，太简单了，不就是上底加下底的和乘高除以2嘛！此时良立即反驳：你能说出它的计算公式，但是你知道它是怎么得来的吗？
于是，一场轰轰烈烈的探索和争辩就这样拉开了帷幕！（由于小组多，小编只能跟踪一个小组来记录他们探索的整个历程。）
只见瀚这一组先在本子上画了下面这幅图，并写了如下结论：
瀚说，ADC的面积是1/2ha，ABC的面积是1/2he，把它们相加得到1/2ha+1/2he，加号两边的乘法算式中，除了1/2外，再也找不到其它相同的量，因为这两个三角形的高不相等。而数学要追求简洁美，我们并不能将这个算式化简，所以这种方法不可行，最后以失败告终。
到底该以哪条边为底求这两个三角形的面积，并能与梯形的上底，下底和高联系上呢？瀚小组开始尝试画出ABD（如下图）的三条高（因为他们已经发现了ADC的高和梯形的高相等，只要再找到ABD的一条和梯形的高有关系就行）。
有了直观的图形后，他们一下子就发现可以利用h3这条高求ABD的面积，因为三角形的高h3与梯形的高相等，而此时的底AB不但是ABD的底，也是梯形的上底，如上图分析。就这样，梯形的面积也便呼之欲出了。
他重新用文字语言梳理了一下自己的思路：沿着梯形的对角线将梯形分割成两个三角形，分别求出两个三角形的面积，ACD的面积1/2ha，ABD的面积1/2ha，ABD的面积1/2hc，梯形的面积就等于两个三角形的面积之和，也就是1/2ha+1/2hc，根据乘法分配律可以将其化简成1/2h×（a+c）。而a正好是梯形的下底，c是梯形的上底，h是梯形的高，所以梯形面积就等于（上底+下底）×高÷2。也就意味着，如果知道了梯形的上底，下底和高，那么我们就能求出这个梯形的面积。反过来，我们要求梯形的面积，我们必须知道梯形的上底，下底和高分别是多少。
符号语言表示：S=（a+b）×h÷2
有没有井井有条的感觉？其实下面发生的事情更会令你对他刮目相看。
按照正常思路，这个过程到此就可以暂告一段落，直接进入下一个阶段——探索其它方法，但是瀚作为小组长，人家可是容不得一个组员拉下。瞧！直播又来啦！
他先让芸来画图，并解释，芸很快通过考察。
紧接着烨上场，只见瀚严格要求烨规范画图，尤其是平行线的画法，更是示范在先，模仿在后。然后要求他画高的时候一定要画出虚线，标上直角符号......尽管被瀚这样多次“无理”要求，但是烨却在要求中擦了再画，画了再擦，始终保持谦逊的绅士风度。
在烨分享思路的过程中，瀚不断追问他，为什么这样做？它的合理性在哪里？直到烨顺利分析结束，他才真正“放过”了烨。
由于时间有限，尽管他们仅仅探索了一种方法，但是每个人对梯形面积公式的来历却是非常清晰，非常牢固的，每个孩子脸上绽放的笑容就是最好的答案。
小编因为一直沉醉于瀚的小组讨论中，差点儿把其它小组讨论的精彩结论给严重忽视了。那就让我们一起带着欣赏的眼光来走进下一组涵的讨论吧。
涵说，我们是先研究等腰梯形面积公式的，沿着等腰梯形的高，我们将一个等腰梯形分割成一个直角三角形和一个直角梯形，再把这个直角三角形补在这个梯形的左边，这样就构成了一个长方形。如图：
此时，长方形的面积就等于这个等腰梯形的面积。也就是说我们只要将长方形的面积求出来就可以了。而长方形的长等于梯形的上底减去梯形的下底，再除以2，再加上底。其实长方形的长也可以等于梯形的上底加下底的和的1/2）长方形的宽就是梯形的高。这样一来，梯形的面积就顺利得到了。
符号语言表示：S梯形=【（a-b）÷2+b】×h=1/2（a+b）×h
等腰梯形具备上面的规律，一般的梯形呢？咱们再来欣赏另一个小组的分享。
先把这个一般梯形分割成两个直角三角形和一个长方形，然后再分别把这两个三角形补成两个长方形，再把最右边的小长方形平移到图形的左边，这样的话，梯形的面积就可以通过求大长方形的面积得到了，其中阴影部分的面积就是原来梯形的面积，阴影部分中的两个三角形面积是左边长方形面积的1/2，再加上右边长方形的面积，通过化简后，便可得到梯形的面积。
符号语言表示：S梯形=（b-a）×h÷2+a×h=（b-a）×h÷2+2a×h÷2=（b-a+2a）×h÷2=（b+a）×h÷2（此化简过程是通过老师引导的）
除了上述方法外，良还展示了他的成果：
任意两个完全相同的梯形总能拼成一个平行四边形，这个平行四边形的底是原来梯形的上底与下底的和，平行四边形的高就是梯形的高，所以，只要计算出平行四边形的面积后，再除以2，便是这个梯形的面积。
符号语言表示：S梯形=（a+b）×h÷2
还有，还有：
过B点做AD的平行线交DC于点E，沿着BE把这个梯形分割成一个平行四边形和一个三角形。三角形的面积等于1/2a h，平行四边形的面积等于bh，为什么它们的高都用h表示呢？因为平行线之间的距离处处相等，所以，平行四边形ABED的高和BEC的高相等。经过各种转化、合并后，也可以探索出梯形的面积。
符号语言表示：S=1/2ha+hb=1/2ha+1/2hb×2=1/2h×（a+2b）（大家突然疑惑了，怎么不是前边证明的结果呀，括号里并不是上底与下底的和呀，这是通过老师引导，孩子们发现此时的a表示BEC的底，b表示梯形的上底，那么下底就是a+b），所以这样也可以证明梯形的面积等于上底加下底的和乘以高除以2。
行至此时，宋宋老师神秘地告诉孩子们，其实梯形、三角形、平行四边形和长方形的面积可以归纳为一类，它们是相辅相存的。
如梯形，可以把上底无限缩短，当它的长度缩短至0时，就变成了一个三角形。此时，梯形的面积就和三角形的面积公式一样了。最初孩子们不信，看着完全不同的面积公式，怎么会变成一样的呢？通过讨论，孩子们惊奇的发现，真的是。梯形的面积=（上底+下底）×高÷2=（0+下底）×高÷2=下底×高÷2。
反之，三角形的一个点无限拉长为一条线段时，它又变成了梯形，当拉长至和下底同样长时，又变成了一个长方形；或者说梯形的上底可以向两端无限延伸，当它延伸至和梯形的下底相等时，梯形就变成了长方形。梯形的面积=（上底+下底）×高÷2=2×下底×高÷2=下底×高。
同理，长方形也可以通过拉伸变化，变成梯形，甚至三角形；而平行四边形则是两个完全相同的三角形......好神奇的变化，孩子们讨论的简直入迷了，被这些图形的多变魔力彻底折服了。
一节讨论课就这样结束了，可是孩子们探索的热情有增无减，探索的欲望也随着岁月的悠长绵延不绝。
