2019-05-13

相似于对角阵的条件
$A\sim \Lambda = \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_n\\ \end{pmatrix} = P^{-1}AP$
$P = \{\xi_1,...,\xi_n\}可逆 \iff \xi_1,...,\xi_n线性无关$
$P^{-1}AP = \Lambda \iff AP = PA$
$(A\xi_1,...,A\xi_n) = (\lambda_1\xi_1,...,\lambda_n\xi_n)$
定理1，设A为n阶矩阵，则A相似于对角矩阵 $\iff$ A有n个线性无关的特征向量
定理2，设 $\lambda_1,\lambda_2$ 为A的两个不同的特征值， $\lambda_1$ 有线性无关的特征向量 $\alpha_1,...,\alpha_s$ ， $\lambda_2$ 有线性无关的特征向量 $\beta_1,...,\beta_t$ ，则 $\alpha_1,...,\alpha_s$ ， $\beta_1,...,\beta_t$ 线性无关。
一般设 $|\lambda E-A| = (\lambda-\lambda_1)^{c_1}...(\lambda-\lambda_s)^{c_s}，\lambda_1,...,\lambda_s$ 互异， $\lambda_i$ 有线性无关的特征向量 $\alpha_{i1},...,\alpha_{ir_i}.i = 1,...,s$ ,则 $\alpha_{11},...,\alpha_{1r_1},...,\alpha_{s1},...,\alpha_{sr_s}$ 线性无关。
设 $\lambda_1,\lambda_2$ 是A的两个不同的特征值， $\alpha_1,\beta_1$ 是对应的特征向量，则 $\alpha_1,\beta_1$ 线性无关。
推论2 ，设n阶矩阵A有n个不同的特征值，则A相似于对角矩阵。
定理3，设n阶矩阵A的特征多项式， $|\lambda E-A| = (\lambda-\lambda_1)^{c_1}...(\lambda-\lambda_s)^{c_s}，\lambda_1,...,\lambda_s$ ， $\lambda_i$ 有线性无关的特征向量 $\alpha_{i1},...,\alpha_{ir_i}.i = 1,...,s$ ，则A相似于对角矩阵 $\iff,r_i = c_i, \forall i ,r_i = c_i(c_i>1),n-r(\lambda_iE-A) = c_i(c_i>1)$
相似对角化与方阵的幂
$P^{-1}AP = \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_n\\ \end{pmatrix}$
$A = P\Lambda P^{-1}$
$A^{s} =( P\Lambda P^{-1}) ^s = P\Lambda^sP^{-1} = P\begin{pmatrix} \lambda_1^s & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_2^s & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_n^s\\ \end{pmatrix} P^{-1}$
$A\sim B \implies trA = trB,|A| = |B|$

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