二叉树
跟链表一样，二叉树也是一种动态数据结构，即，不需要在创建时指定大小。
跟链表不同的是，二叉树中的每个节点，除了要存放元素e，它还有两个指向其它节点的引用，分别用Node left和Node right来表示。
类似的，如果每个节点中有3个指向其它节点的引用，就称其为"三叉树"...
二叉树具有唯一的根节点。
二叉树中每个节点最多指向其它的两个节点，我们称这两个节点为"左孩子"和"右孩子"，即每个节点最多有两个孩子。
一个孩子都没有的节点，称之为"叶子节点"。
二叉树的每个节点，最多只能有一个父亲节点，没有父亲节点的节点就是"根节点"。
二叉树的形象化描述如下图：
image.png
二叉树具有天然的递归结构。
1.每个节点的"左子树"也是一棵二叉树，每个节点的"右子树"也是一棵二叉树。
- 二叉树不一定是"满的"，即，某些节点可能只有一个子节点；更极端一点，整棵二叉树可以仅有一个节点；在极端一点，整棵二叉树可以一个节点都没有；
实现二分搜索树
二分搜索树的构造函数、getSize方法、isEmpty方法及add方法的实现逻辑如下：
public class BST<E extends Comparable> {
private class Node {
public E e;
public Node left, right;
// 构造函数
public Node(E e) {
this.e = e;
left = null;
right = null;
}
}
private Node root;
private int size; // 记录二分搜索树中存储的元素个数
public BST() {
root = null;
size = 0;
}
// 实现size方法
public int size() {
return size;
}
// 实现isEmpty方法
public boolean isEmpty() {
return size == 0;
}
// 实现add方法
public void add(E e) {
root = add(root, e);
}
// 向以node为根的二分搜索树中插入元素e，递归算法
// 返回插入新节点后二分搜索树的根
private Node add(Node node, E e) {
if (node == null) {
size++;
return new Node(e);
}
if (e.compareTo(node.e) < 0) {
node.left = add(node.left, e);
} else if (e.compareTo(node.e) > 0) {
node.right = add(node.right, e);
}
return node;
}
}
二分搜索树的contains方法实现逻辑如下：
// 实现contains方法，判断二分搜索树中是否包含元素e
public boolean contains(E e) {
return contains(root, e);
}
// 判断以node为根的二分搜索树中是否包含元素e
private boolean contains(Node node, E e) {
if (node == null) {
return false;
}
if (e.compareTo(node.e) == 0) {
return true;
} else if (e.compareTo(node.e) < 0) {
return contains(node.left, e);
} else {
return contains(node.right, e);
}
}
二分搜索树的遍历操作，遍历操作就是把所有节点都访问一遍
前序遍历的业务逻辑如下：
//二分搜索树的前序遍历
public void preOder() {
preOrder(root);
}
private void preOrder(Node node) {
if (node == null) {
return;
}
System.out.print(node.e);
preOrder(node.left);
preOrder(node.right);
}
中序遍历的业务逻辑如下：
// 二分搜索树的中序遍历
public void inOrder() {
inOrder(root);
}
// 中序遍历以node为根的二分搜索树，递归算法
private void inOrder(Node node) {
if (node == null) {
return;
}
inOrder(node.left);
System.out.print(node.e);
inOrder(node.right);
}
后序遍历的业务逻辑如下：
// 二分搜索树的后序遍历
public void postOrder() {
postOrder(root);
}
// 后序遍历以node为根的二分搜索树，递归算法
private void postOrder(Node node) {
if (node == null) {
return;
}
postOrder(node.left);
postOrder(node.right);
System.out.print(node.e);
}
简单测试如下：
public class Main {
public static void main(String[] args) {
BST<Integer> bst = new BST<>();
int[] nums = {5, 3, 6, 8, 4, 2};
for (int num : nums) {
// 测试add方法
bst.add(num);
}
// 测试前序遍历
bst.preOrder();
System.out.println();
// 测试中序遍历
bst.inOrder();
System.out.println();
// 测试后序遍历
bst.postOrder();
}
}
输出结果：
532468
234568
243865
前序遍历是最自然的遍历方式，也是最常用的遍历方式；中序遍历的结果是按从小到大的顺序的排列的；后序遍历可以用于为二分搜索树释放内存。
利用"栈"实现二分搜索树的非递归前序遍历
// 二分搜索树的非递归前序遍历
public void preOrderNR() {
Stack<Node> stack = new Stack<>();
stack.push(root);
while (!stack.isEmpty()) {
Node cur = stack.pop();
System.out.print(cur.e);
if (cur.right != null) {
stack.push(cur.right);
}
if (cur.left != null) {
stack.push(cur.left);
}
}
}
二分搜索树的非递归实现比递归实现更加复杂。
二分搜索树的前序、中序和后续遍历都属于"深度优先"算法。
二分搜索树的"层序遍历"属于"广度优先"算法。
利用"队列"实现二分搜索树的"层序遍历"
// 二分搜索树的层序遍历
public void levelOrder() {
Queue<Node> q = new LinkedList<>();
q.add(root);
while (!q.isEmpty()) {
Node cur = q.remove();
System.out.print(cur.e);
if (cur.left != null) {
q.add(cur.left);
}
if (cur.right != null) {
q.add(cur.right);
}
}
}
获取二分搜索树中的最小元素和最大元素
// 寻找二分搜索树中的最小元素
public E minimum() {
if (size == 0) {
throw new IllegalArgumentException("BST is empty.");
}
return minimum(root).e;
}
// 返回以node为根的二分搜索树的最小元素所在节点
private Node minimum(Node node) {
if (node.left == null) {
return node;
}
return minimum(node.left);
}
// 寻找二分搜索树中的最大元素
public E maximum() {
if (size == 0) {
throw new IllegalArgumentException("BST is empty.");
}
return maximum(root).e;
}
// 返回以node为根的二分搜索树的最大元素所在节点
private Node maximum(Node node) {
if (node.right == null) {
return node;
}
return maximum(node.right);
}
删除二分搜索树中最小元素和最大元素所在节点
// 从二分搜索树中删除最小元素所在节点，返回最小元素
public E removeMin() {
E ret = minimum();
root = removeMin(root);
return ret;
}
// 删除掉以node为根的二分搜索树中的最小元素所在节点
// 返回删除节点后新的二分搜索树的根
private Node removeMin(Node node) {
if (node.left == null) {
Node rightNode = node.right;
node.right = null;
size--;
return rightNode;
}
node.left = removeMin(node.left);
return node;
}
// 从二分搜索树中删除最大元素所在节点，返回最小元素
public E removeMax() {
E ret = maximum();
root = removeMax(root);
return ret;
}
// 删除掉以node为根的二分搜索树中的最小元素所在节点
// 返回删除节点后新的二分搜索树的根
private Node removeMax(Node node) {
if (node.right == null) {
Node leftNode = node.left;
node.left = null;
size--;
return leftNode;
}
node.right = removeMax(node.right);
return node;
}
删除二分搜索树中指定元素所对应的节点
// 从二分搜索树中删除元素为e的节点
public void remove(E e) {
remove(root, e);
}
// 删除以node为根节点的二分搜索树中元素为e的节点，递归算法
// 返回删除节点后新的二分搜索树的根
private Node remove(Node node, E e) {
if (node == null) {
return null;
}
if (e.compareTo(node.e) < 0) {
node.left = remove(node.left, e);
return node;
} else if (e.compareTo(node.e) > 0) {
node.right = remove(node.right, e);
return node;
} else {
// 待删除节点左子树为空的情况
if (node.left == null) {
Node rightNode = node.right;
node.right = null;
size--;
return rightNode;
// 待删除节点右子树为空的情况
} else if (node.right == null) {
Node leftNode = node.left;
node.left = null;
size--;
return leftNode;
// 待删除节点左右子树均不为空
// 找到比待删除节点大的最小节点，即待删除节点右子树的最小节点
// 用这个节点顶替待删除节点
} else {
Node successor = minimum(node.right);
successor.right = removeMin(node.right); //这里进行了size--操作
successor.left = node.left;
node.left = null;
node.right = null;
return successor;
}
}
}
```
