假如我对你说：「我正在说谎。」
这句话是真话还是假话？
如果你相信「我正在说谎」，那么这就是一句真话，而不是一句谎言。可如果它不是谎言，那我就没有在说谎，就和「我正在说谎」自相矛盾了。
我们都知道，没有人可以既说谎又不说谎，这个问题根本就是个悖论，用逻辑把我们套路了。
类似的悖论还有：
你能不能穿越回去杀掉你的祖父呢？
想一想，如果你穿越回去杀掉了你的祖父，你的祖父就不能生出你的父亲，也就不会有你了。如果你没有出生，又怎么能穿越回去杀掉你的祖父呢？
就我们人类现在对时空知识的掌握程度而言，还真不能解答这个问题。
上述两个悖论，都是形式逻辑上导致的矛盾，用美国哲学家、逻辑学家威拉德·冯·奥曼·蒯因（Willard Van Orman Quine）的话来说，它们都是「二律背反」（Antinomy），字面意思是「违反法则」。
康德在《纯粹理性批判》中，曾指出二律背反所造成的困境：当你面临两个完全相反的命题时，往往会发现无论如何证明，两边的逻辑同样严整，却怎么都得不出共识来。
康德将那些引起我们争论不休的问题，那些我们本身含混不清的概念都放入到「物自体」当中，认为那是我们永远无法知道的事情，使我们认知的边界。不过，不久之后，费希特就对康德进行了批判，认为既然康德宣称「物自体」是我们不可能认识的，可说出这句话之后，不久意味着已经对「物自体」这一事物有所认识了吗？
于是，康德认为，这些问题实际上是我们人类没有能力解决的问题，属于「物自体」的范畴。
一言以蔽之，无解。
但在蒯因看来，二律背反这一类悖论是真正的悖论。这些悖论将人类知识的边界一展无遗，造成我们的「思想危机」，我们不得不去解决它。
比如，大名鼎鼎的英国哲学家罗素在1901年提出一个「理发师悖论」，让当时数学界的人们头疼得要命：
有一个理发师，他声称「我只给那些不给自己刮脸的人刮脸」。
那么，他给不给自己刮脸呢？
当理发师这样说的时候，就造成了一个困境。因为如果他给自己刮脸了，他就是一个「给自己刮脸的人」，那么他就不能给自己刮脸。
可是，如果他不给自己刮脸，那么他就成了一个「不给自己刮脸的人」，那他就必须给自己刮脸了。
罗素的「理发师悖论」曾经引起了一场深刻的数学危机。是的，这个悖论是看起来总刮过胡子的罗素，在研究数学的基础，写作《数学的原理》（ The Principles of Mathematics）时提出的。
理发师悖论看起来很浅显，但当用数学语言来表达时，就会发现，事情可没这么简单。
具体而言，当一个集合S被定义为所以不属于S的元素组成，那么，S本身在这个集合内吗？要是按照定义来看，S不应该在S内；那要是S不在S之内，那它就应该属于这个集合。
这个悖论直接动摇了罗素设想中的数学大厦的基础，他把自己难住了，以至于他写了两年的《数学的原理》被他自己称为一本愚蠢的书。后来实在写不下去了，就与他的老师阿尔弗雷德·诺思·怀特海（Alfred North Whitehead）另开炉灶，合作《数学原理》（Principia Mathematica）以取代前面工作。
但是以两位大数学家之力，依然花了艰难的十年才完成这本书。这本书很厚，有2000页，出版的时候剑桥大学出版社估算了下，要亏损600英镑。于是，由出版社承担了一半，皇家学会承担了200英镑，两位作者一个人掏了50英镑。罗素调侃自己，花了十年时间，赚了负50英镑。而且，出版近50年后，按照罗素自己听说的，完整读完的人只有六个人。
一个小小悖论，饱含多少酸楚。
写作《数学原理》的十年间，罗素悖论对罗素的煎熬到了难以描述的程度。有很长一段时间，他陷入了智力僵局，常常一整天对着一张白纸，一个字也写不出来。甚至出现了厌世情绪，看见疾驰的列车，想卧轨了事。
被难住的不仅仅是罗素，还有另外一个逻辑主义的代表性人物，德国的戈特洛布·弗雷格（Gottlob Frege），他花了20年时间，构建逻辑主义的数学大厦，写了皇皇巨著《算术的基本原理》（Basic Laws of Arithmetic），就在第二卷马上付印之时，接到了罗素的一封信，信里除了恭维弗雷格「在您的工作中我找到了我们时代据我所知最好的工作」以及「我在所有主要方面都完全赞同您」外，用很不起眼的一小段文字提到了已经折磨罗素一段时间的罗素悖论。
果然，弗雷格也被彻底击倒。贯穿他整个数学体系中最基础的一个原理——第五基本规律——被罗素悖论直接颠覆。甚至可以说，如果不解决罗素悖论，他的《算术的基本原理》从根上被推翻。但是已经完全来不及修改了，弗雷格只能在书后面加了一个附录，诚实的写出了自己的尴尬：
「对一位科学作者来说， 很少有东西能比自己的工作完成之后大厦的根基遭到动摇更为不幸了。 在本书付印在即的时候， 伯特兰·罗素的一封信就将我推到了那样的境地……」
在蒯因的归类里，以上悖论所体现的悖论类型：二律背反（Antinomy ），属于最重要的类型。它所代表的是人类知识的边界。人类如果能解决之，则必然意味着人类知识上的突破。
文章前面附的视频里，视频小哥也举了一个更浅显的例子来说明二律背反（Antinomy ）对人类知识的重要性。
我们现有的地质学研究发现，我们远古时期的地球上，已经出现液态海洋和萌芽的生命。但就我们所掌握的关于恒星的知识来看，数十亿年前的太阳，所释放的热量不像现在这么大（关于太阳的过去与未来，请点击阅读《人类应该对未来恐惧吗？》），也就不足以让处于冰冻状态的地球解冻。矛盾之处在于，假如没有足够热的太阳融化冰，地球上怎么会有液态水呢？
显而易见，在对太阳的认识以及对远古地球的认识产生矛盾时，我们没有足够知识去判断，这两者哪个真哪个假。所以这样的一个二律背反的矛盾，我们无法判断出真假，如同罗素面对罗素悖论时无法简单肯定或否定一样。归根到底，是我们的认识不足。
要解决二律背反（Antinomy ），别无他法，只有升级人类知识才有可能。
正如蒯因1961年在《悖论的方式》一文中所指出：
「当然，一个二律背反悖论带来的冲击，除了对旧概念修改舍弃外，无法解决。」
（An antinomy, however, packs a surprise that can be accommodated by nothing less than a repudiation of part of our conceptual heritage.）
反过来说，一旦人类知识增长了，二律背反（Antinomy）所代表的矛盾，被人类理解了，人类有能力对之下真假断言了，那么，按照蒯因的分类，对人类来说，一个二律背反（Antinomy）悖论，就转化成了另外两种类型的悖论：「Falsidical Paradox」与「Veridical Paradox」。
「Falsidical Paradox」，即证假式悖论，看似悖论，其实命题是假的；
「Veridical Paradox」，即证真式悖论，看似悖论，其实命题是真的。
典型的证假式悖论（falsidical Paradox），是大数学家德·摩根（ Augustus De Morgan）的2=1悖论。
这些证明步骤看似合情合理，但结论2=1显然荒谬。
原因出在推理的第二步，两边同时除以（X-1），相当于两边同时除以0，而这是不能成立的。
所以只要知识足够，我们就有能力对看似悖论的命题下断言。
对于证假式悖论（falsidical Paradox），更经典的例子是折磨人类上千年的芝诺悖论（Zeno's Paradox）。
芝诺是2000年前的希腊哲学家：
芝诺声称，希腊神话中跑得最快的英雄阿基里斯也不可能追上乌龟。假如让乌龟先走了一段路，阿基里斯想要追上乌龟，就势必要先追上龟曾经停留的那个点，而当阿基里斯到达那个点之后，乌龟也继续走了一段路。
这样下去，每当阿基里斯追上乌龟上次到达的点时，乌龟就都又走出了一个新点。
所以，阿基里斯永远追不上乌龟。
是不是很难以接受？
即便是你我，在现实中都不可能跑不过乌龟。可芝诺那个时代的人（包括芝诺），就是没法在理论上解决芝诺悖论。
真正解决芝诺悖论，还是靠人类知识的增长，对「无限」或「无穷」概念的理解：无限个数字相加，可以等于一个有限数字。
这是违反人类感性直觉的知识。
假如阿基里斯想要到达乌龟的起跑点，他要先跑过这段路的1/2，为了到达这1/2，他又要先到达这1/2的1/2，也即是1/4，以此类推，他需要一直跑啊跑，过程中有无数个点等着他。
看起来，他真的永远无法跑过龟。
问题在于，这无数个点1/2+1/4+1/8+1/16+1/32...... 一直加下去，最后加起来，并不是一个无穷大的数，而是等于1！
也即是说，无穷多的数字加起来可以是一个有限的值，阿基里斯可以轻松的到达这个距离，芝诺想破脑袋也想不出来。
微积分发明后，人们意识到「无限」这个概念，芝诺悖论完全可以用收敛级数来解决。
芝诺悖论、2=1悖论，都看上去为真，实际上为假。在区分这类证假式悖论（falsidical paradox）时，蒯因指出：
「证假式悖论虽让人意外，但只要我们能找到悖论潜藏的谬误，就不过虚惊一场。」
（A falsidical paradox packs a surprise, but it is seen as a false alarm when we solve the underlying fallacy. ）
它与二律背反（Antinomy）的区别在于，对于二律背反（Antinomy），我们没有足够的知识去判断真假，而证假式悖论，我们已经有了足够知识，之所以会出现悖论，其实是悖论背后隐藏的知识与人类的直觉相逆。
是不是感觉像遇到了魔术表演？都欺骗了我们的直觉感官，但其实是假的。
罪魁祸首是「无限」这个超越日常认知的概念。
围绕「无限」的概念，还可以构造出相反类型的悖论，即前面提到的证真式悖论（veridical paradox），此时命题看似不正确，其实为真。
比如，我要问你：
自然数和偶数哪个更多？
也许你会说，当然是自然数多，因为它是从0开始，然后1、2、3、4、5、6......这样连续排列下去的。
偶数虽然也是从0开始，却是0、2、4、6、8......这样排列下去的。自然数除了偶数外，还包括1、3、5、7......等奇数，所以自然数显然比偶数多。
是这样吗？
伽利略偏偏认为，要是我们将这两个数列一一对应，也就是将自然数的0对应偶数的0，将自然数的1对应偶数的2，以此类推的话，那么它们最终是一样多的。
01234...
↕↕↕↕↕...
02468...
这个悖论也称为「伽利略悖论」（Galileo's Paradox）。这个命题看似荒谬，却是正确的。奥秘就在于「无限」或「无穷」。
数学上，对无穷的准确理解，是通过集合论来研究的。无穷集的特征，即在于它的部分与总体拥有同样多的元素。
这在今日已是数学上的常规认识，并且有非常广泛的应用，但在伽利略年代，却是惊世骇俗之论。有些宗教上的认识甚至认为，对无穷的理解与运用侵犯了上帝领域。
同样，只有对无限有认知，才能理解「希尔伯特旅馆悖论」：
论假设有一个旅馆，这个旅馆有无数多个房间，并且住满了客人。有一天，又有无数多个人来到了这个旅馆，问题是，他们能够住下吗？
直觉上，是不是觉得没法儿住下呢？
来看看德国数学家大卫·希尔伯特（David Hilbert ）的答案。
希尔伯特认为，即使有无数多个人，仍然能够住下。既然旅馆有无数多个房间，那就让每一个现在住在旅馆的1号房间的人挪到2号，住在2号房间的人挪到4号，这样住在n号房间的客人住到2n号，以此类推，最终就可以塞下新来的无数多个人了。
是不是很神奇？
伽利略悖论、希尔伯特悖论，都是貌似为假，其实为真，这类悖论被蒯因统称为「verdical paradox」，或者说证真式悖论，
蒯因这样评价：
「证真式悖论确令人意外，但一旦我们明白了如何论证，这种意外马上就烟消云散了。」
（A veridical paradox packs a surprise, but the surprise quickly dissipates itself as we ponder the proof.）
生活当中，不乏证真式悖论（verdical paradox）。其实就是我们不够聪明，或者反应不够快，没能理解透背后的道理，只跟着感觉走，结果做出错误判断。
举个例子，假设你去参加一个电视节目，最后的PK环节，主持人让你从三扇门中选一个：其中一扇门后是奖品，一辆汽车，选对了，你就可以开着车回家；剩下两扇门后面是两只羊，用来嘲讽你的。
当你选择了一扇门时，主持人会打开另外两扇门中的一扇，你发现这扇门后面是一只羊。这时候，主持人问你，要不要改选？
你会如何选才能更高概率拿到高价值的车呢？
乍看之下，羊、车是随机分布。剩下两个门，一个后面是车、一个后面是羊，那车在其中某个门后面的概率应该一样，都是1/2。所以改选不改选，结果概率一样。所以，似乎没有改选必要。
但果真如此吗？
假如你一开始选中门A，只有三种可能，要么是车，要么是羊I，要么是羊II。
情况1：门A里是车，此时不管主持人选择哪个门里面的羊，你改选的结果都是羊；
情况2：门A里是羊I，此时主持人选择门后有羊II的给你看，剩下的门后面是车，假如你改选的话，结果是把车开回家；
情况3：门A里是羊II，此时主持人选择门后有羊I的给你看，剩下的门后面是车，假如你改选的话，结果是把车开回家。
瞧瞧，三种情况下，有两种情况改选有利，改选有利的概率是2/3。
而坚持不改选、只有1/3的概率选中车。
显然，改选有利的概率是坚持不改选还有利的两倍。所以应该改选。
是不是很违反直觉？
这三扇门造成的选择困难症，其实就是著名的蒙提·霍尔悖论（Monty Hall problem，又称三门悖论），这一悖论来源于美国电视节目《让我们做个交易》（Let’s Make a Deal ）。
回过头来看看提到的三类悖论，多有意思啊。
◆二律背反：代表着人类知识的边界。既无法判断为真，也无法判断为假，原因是我们人类所掌握的知识不够；一旦相关知识边界被人类突破，「二律背反」悖论就演变为「证假式」悖论或者「证真式」悖论。
◆证假式悖论：看起来为真，实际为假的悖论。往往是悖论所隐藏的知识，与人类直觉悖逆，所以让我们误以为真。
◆证真式悖论：看起来为假，实际为真的悖论。我们觉得这个悖论反常识，恰恰是我们的常识不可靠。
无论证真式还是证假式悖论，都并非真正的悖论，倒更类似我们人类的思维体操：让我们去审视我们的常识。这类悖论，引发我们的好奇心、探索心，最终让我们个人的知识得到增长或补漏。
人类的惰性之一，就是愿意呆在舒适区不动。而悖论，除非你视而不见，否则，就跟钉子一样，让你不得不跳出日常依赖之常识的舒适区，去突破自己的知识边界，去运用理性迭代知识。
这算是悖论的奇妙之处吧。
正如康德的名言那样：要有勇气运用你自己的理智。■
