人人都能懂的机器学习——训练深度神经网络——优化算法2

RMSProp

AdaGrad的学习率降低得太快，并且最终也不会收敛到全集最优值。而RMSProp算法16通过使用指数衰减，从而只会积累最近几次迭代的梯度，解决了上述AdaGrad的问题。

RMSProp算法是由Geoffrey Hinton和Tijmen Tieleman在2012年提出的，并且Geoffrey Hinton在Coursera上有一节关于神经网络的课程上展示了这种算法。有趣的是，由于作者没有写任何论文来描述这种算法，所以研究人员只能在论文中引用“第6讲中的第29页幻灯片”。

接下来让我们看一下这个算法的方程：
$s \leftarrow \beta s-(1-\beta) (\nabla_{\theta}J(\theta))^2 \\\\ \theta \leftarrow \theta-\frac{\eta\nabla_{\theta}J(\theta)}{\sqrt{s+\epsilon}}$
衰减指数β一般设置为0.9。是的，又是一个新的超参数，但是不用担心，这个默认值一般表现得都不错，所以你完全不需要调优。

当然对于RMSProp算法，Keras也有相应部署完成的功能：

optimizer = keras.optimizers.RMSprop(lr=0.001, rho=0.9)

除了一些非常简单的问题，RMSProp几乎总是表现得比AdaGrad更出色。实际上，在Adam优化器出现之前，RMSProp是很多研究人员的优先选择。

Adam 和Nadam优化器

Diederik P. Kingma和Jimmy Ba于2015年提出了Adam优化器。所谓Adam是指自适应矩估计（adaptive moment estimation），它结合了动量优化器和RMSProp的想法：就像动量优化，它跟踪了过去梯度的指数衰减平均值；同时又像RMSProp，它跟踪了梯度平方的指数衰减平均值。
$m\leftarrow\beta_{1}m-(1-\beta_{1})\nabla_{\theta}J(\theta)\\\\ s\leftarrow\beta_{2}s+(1-\beta_{2})\nabla_{\theta}J(\theta)^2 \\\\ \hat{m}\leftarrow m/(1-\beta_{1}^{t}) \\\\ \hat{s}\leftarrow s/(1-\beta_{2}^{t}) \\\\ \theta \leftarrow \theta + \eta \hat{m} /(\hat{s}+\epsilon)$
方程这些是对梯度的平均值和方差的估计。均值常称为一阶矩，而方差常称为二阶矩，这就是算法的名称由来。在上述方程中，t代表的是循环次数（从1开始）。

如果只看第1第2和第5步，其实Adam与动量优化和RMSProp都很相近。唯一的区别是在第1步中计算了指数衰减平均值，而不是指数衰减和，但是除了一个常数因子以外，它们实际上是等价的（衰减平均值等于1–β1乘以衰减和）。第3步和第4步有一些技术性细节：因为m和s初始化为0，在训练开始时，它们将偏向于0，所以这两个步骤在训练开始加速m和s。

动量衰减超参数β1一般设置为0.9，缩小衰减超参数一般设置为0.999，平滑项ε一般设置为一个很小的数，比如10^-7。这些都是Keras中Adam类的默认值（epsilon参数默认值为None，也就是使用keras.backend.epsilon()，它的默认值也就是10^-7，如果需要更改值，则使用keras.backend.set_epsilon()）。使用Keras创建Adam优化器也十分简单：

optimizer = keras.optimizers.Adam(lr=0.001, beta_1=0.9, beta_2=0.999)

Adam也是一种自适应学习率的算法（跟AdaGrad和RMSProp一样），所以它基本不需要对学习率η进行调优。一般学习率的默认值设为η=0.001，这样使用Adam会比使用普通的梯度下降更方便。

这里再介绍一种Adam的变体：Nadam。其实Nadam是Adam优化器与Nesterov方法的结合，这意味着Nadam会收敛地更快。作者Timothy Dozat在2016年发表的论文中比较了多种任务下多种优化器的表现，结果表明Nadam总是要比Adam表现更出色，但有时会被RMSProp超越。

自适应优化器（包括RMSProp，Adam和Nadam）往往表现得很出色，收敛得又快又准确。但是，Ashia C. Wilson在2017年发表的论文中指出，自适应优化器可能在某些数据集上会得到泛化能力很差的结果。所以，当你对你的模型表现很不满意时，可能是你的数据集对自适应梯度比较敏感，可以尝试一下使用Nesterov梯度加速法。

目前所有讨论的优化技术都只依赖于一阶偏导数（雅可比矩阵）。有些优化技术的文献提出了惊人的基于二阶偏导数（Hessians矩阵，这是雅可比矩阵的偏导数）的优化算法。不幸的是，这些算法都不适用于深度神经网络，因为每个输出神经元都有n²个Hessians （其中n是参数数量）。由于DNN通常有上万个参数，二阶优化算法经常无法完整读取进入内存，就算可以进入内存，Hessians的计算速度也实在太慢了。

前面介绍的所有的优化算法只是产生密集型的模型，这意味着大多数参数将是非零的。如果在运行时需要一个非常快的模型，或者如果需要它占用更少的内存，那么会需要使用稀疏模型。

一个简单的方法就是正常训练模型，然后将小的权重去掉（直接设置成0）。但是要注意，这一般不会导致生成一个非常稀疏的模型，并且这种做法会降低模型的性能。

另一个更好的做法是，使用一个强l1正则化训练（在未来的文章中会介绍），这个方法会让优化器将尽可能多的权重推向0。

如果上述的技术还是效率不高，可以尝试使用TensorFlow Model Optimization Toolkit （TF-MOT），这个优化工具包提供了模型修剪API可以迭代反复地基于权重量级删去权重连接。

最后，我们比较一下所有介绍过的优化器，一颗*表示不好，三个*表示优秀。

种类	收敛速度	收敛质量
SGD	*	***
SGD(动量)	**	***
SGD(动量+Nesterov)	**	***
Adagrad	***	*(早停)
RMSProp	***	***
Adam	***	***
Nadan	***	***
Adamax	***	***

以上就是对几乎所有常用优化器的介绍了，接下来的文章我们将会讲述学习率规划以及防止过拟合的手段。

敬请期待吧！