回顾前面的文章，序列x[n]的傅里叶变换（实际上是DTFT，由于本书把它叫做序列的傅里叶变换，因此这里以及后面的文章也统一称DTFT为傅里叶变换）被定义为
X(ejω)=∑n=−∞∞x[n]e−jωn
序列x[n]的z变换被定义成
X(z)=∑n=−∞∞x[n]z−n
其中z就是一个复数变量，可见z变换与傅里叶变换一样把序列变成了函数。复变量z可以表示形式z=|z|ejω=rejω，代入z变换变成
X(z)=∑n=−∞∞x[n]r−ne−jωn
可以发现傅里叶变换就是r=1的z变换。
要使得z变换有意义，那么变换所得的函数必须在有限处收敛，即
|X(z)|=∣∣∣∑n=−∞∞x[n]r−ne−jωn∣∣∣<∑n=−∞∞|x[n]|r−n=x[0]+∑n=1∞|x[n]|(r−1)n+∑n=1∞|x[−n]|rn<∞
按照root test，需要满足以下条件才能使得函数收敛
⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪lim supn→∞|x[n]|1nr−1<1lim supn→∞|x[−n]|1nr<1
即
⎧⎩⎨⎪⎪rr><limn→∞|x[n]|1nlimn→∞|x[−n]|1−n
观察上面的不等式，可以发现z变换的收敛可以分为五种
x[n]是右边序列，即序列在n<N1<∞处全为0，那么该序列的收敛域就是从极点（使得函数趋于±∞的点）往外延伸到z=±∞
x[n]是左边序列，即序列在n>N2>−∞处全为0 ，那么该序列的收敛域就是从极点向内延伸至z=0
x[n]是双边序列，把该序列分成右边序列与左边序列后，如果这两个序列的z变换的收敛域有重合的部分，则该序列z变换的收敛域呈圆环状
x[n]是双边序列，把该序列分成右边序列与左边序列后，如果这两个序列的z变换的收敛域没有重合的部分，则该序列z变换不存在收敛域
x[n]是有限长序列，那么该序列的z变换必定在有限的范围内收敛
图中阴影部分为收敛域，其中红色圆圈是|z|=r=1，即傅里叶变换，如果z变换的收敛域包含r=1的圆圈，就表明该序列的傅里叶变换收敛。
z变换例子
考虑一个为两个实指数和的信号
x[n]=(12)nu[n]+(−13)nu[n]
其z变换为
X(z)=∑n=−∞∞{(12)nu[n]+(−13)nu[n]}z−n=∑n=−∞∞(12)nu[n]z−n+∑n=−∞∞(−13)nu[n]z−n=∑n=0∞(12z−1)n+∑n=0∞(−13z−1)n=11−12z−1+11+13z−1Geometric Series=2z(z−112)(z−12)(z+13)
为了使z变换收敛，必须满足条件
{∣∣12z−1∣∣∣∣−13z−1∣∣<<11
即
{|z||z|>>1213
由此可得到收敛域为|z|>12。观察z变换的结果，可以发现：
当z=12或者z=−13时，z变换趋于无穷，因此这两个点为极点
当z=0或者z=112时，z变换为0，因此这两个点为零点。
